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3.3.2 均匀随机数的产生


§ 3.3.2 几何概型的应用与均匀随机数的产生
学习目标 1.理解并掌握几何概型的概率公式和其应用解题的关键; 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法; 3.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题. 重点难点 重点: 1.应用几何概型概率公式解决几何概型问题; 2.掌握利用计算器(计算机)产生均匀随机数的方法 难点: 利用计算器或计算机产生均匀随机数并运用

到概率的实际应用中. 学法指导 通过例题和练习在应用中巩固几何概型概率公式解题的关键(即时刻明确构 成事件 A 的基本要素是“点” ,而试验的全部结果是一个几何图形);通过模拟试 验,感知应用数字解决问题的方法。 知识链接 几何概型的定义,以及相关的古典概型中的随机模拟方法. 问题探究 【提出问题】 1.随机试验的结果有无限多个,当再满足 时, 我们称这样的概率模型为几何概型. 2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式为: P(A)=
试验的全部结果所构成 的区域长度(面积 )

.

【巩固提高】 例 1 如图 1 所示,平面上画了一些彼此相距 2 a 的平行 线,把一枚半径 r ? a 的硬币任意掷在这个平面上, 求硬币不与任一条平行相碰的概率. 分析:硬币不与直线相碰,可以看作硬币的中心 O 到 直线的距离 | OM |? r , 这样就可以把问题转化为中心 O 到较近的一条直线的距离 | OM | 满足 r ?| OM |? a 的 概率问题。因为硬币是任意掷在平面上的,所以硬币 中心 O 到较近一条直线的距离 | OM | 在 0 到 a 之间是等 可能的任意一个值,所以这符合几何概型的条件。 注:解决本题的关键是把硬币与直线的关系转化为硬 币中心到直线的距离,从而转化为长度型的几何概率 问题.
1

M

2a r 图1

O

算器产生(见教材 P137). 思考 2:如何利用计算机 产生 0~1 之间的均匀随 机数?

例 2 在区间 (0, 1) 上随机取两个数 m ,n ,求关于 x 的 一元二次方程 x ? nx ? m ? 0 有实根的概率.
2

分析:题目中有两个随机变量,这时一般构造二维 几何模型(即利用直角坐标系) ,将问题转化为面积 型的几何概率问题求解. 注:要注意对“等可能”的理解.

计算机只能产生[0,1]上 的均匀随机数,如果试验 的结果是区间[a,b]上等 可能出现的任何一个值, 那么就需要产生[a,b]上 的均匀随机数. 思考 3:请问你有什么好 办法利用计算机来产生 [2,6]上的均匀随机数? [a,b]上的均匀随机数又 如何产生呢? (行胜于言, 试一试吧! )

【探究新知】 我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机 数,还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近 似值,对于几何概型,我们也可以进行上述工作. 一个人到单位的时间可能是 8:00~9:00 之间 的任何一个时刻, 若设定他到单位的时间为 8 点过 X 分种,则 X 可以是 0~60 之间的任何一刻,并且是 等可能的.我们称 X 服从[0,60]上的均匀分布,X 为 [0,60]上的均匀随机数. 思考 1:一般地,X 为[a,b]上的均匀随机数的含义 如何?X 的取值是离散的,还是连续的?

【理论迁移】 认真阅读思考教材 P 137~138 例 2 的解析,尤其是方法 二. 例 3 在正方形中随机 撒一把豆子,如何用随 机模拟的方法估计圆周 率的值. 提示: 每个豆子落在正

我们常用的是[0,1]上的均匀随机数,可以利用计
2

方形内任何一点是等可能的,那么落在每个区域的豆 子数就与这个区域的面积成正比,这样出现了一个关 键的等量关系.

例3图

例 4 利用随机模拟方法计算由 y=1 和 y=x 所围成 的图形的面积. 提示:面积比等于落在其中点的个数比.

2

例4图

例题要点: 1.利用几何概型的概率公式,结合随机模拟试验, 可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题,体现 了数学知识的应用价值. 2. 用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想 是,构造一个包含这个图形的规则图形作为参照,通 过计算机产生某区间内的均匀随机数,再利用两个图 形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的 均匀随机点的个数之比来解决.

【课堂小结】
1.在区间[a, b]上的均匀随机数与整数值随机数的 共同点都是等可能取值,不同点是均匀随机数可以取 区间内的任意一个实数,整数值随机数只取区间内的 整数. 2.利用计算机和线性变换 Y=X*(b-a)+a,可以产 生任意区间[a,b]上的均匀随机数,其操作方法要通 过上机实习才能掌握.

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目标检测 1.设 A 为圆周上一定点,在圆周上等可能地任取一 点与 A 连结, 则弦长超过半径和半径 2 倍的概率分 分别为


2.(选做)已知半圆 O 的直径 AB=2R,作平行于 AB 的 弦 MN,则 MN<R 的概率为 .

3.有一个半径为 5 的圆,现将一枚半径为 1 的硬币 向圆投去,如果不考虑硬币完全落在圆外的情况, 则硬币完全落在圆内的概率是 . 纠错矫正

4.将[0,1]内的均匀随机数转化为 [-2,6]内的均匀随

机数,需实施的变换为( ) A. a ? a1 ? 8 B. a ? a1 ? 8 ? 2 C. a ? a1 ? 8 ? 2 D. a ? a1 ? 6 5. 在 图 的 正 方 形 中 随 机 撒 一 把 芝 麻 , 用随机模拟的方法来估计圆周率 ? 的值 . 如果撒了 1000 个芝麻,落在圆内的芝麻总数是 776 颗,那么这 次模拟中 ? 的估计值是_________.(精确 0.001)

总结反思

6. (选做) 若过正三角形 ABC 的顶点 A 任作一条直线 L , 则 L 与线段 BC 相交的概率为 7.例 4 随机地向半圆 0 ? y ? .

2ax ? x 2 (a ? 0) 内掷一 点,点落在半圆内任何区域的概率均与该区域的面 ? 积成正比, 求该点与原点连线与 x 轴的夹角小于 的 4 概率 .

例4图
8.教材 P 146 , B组 第 4 题.

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