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【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习配套题组层级快练45


题组层级快练(四十五)
1.已知 a,b∈(0,1)且 a≠b,下列各式中最大的是( A.a2+b2 C.2ab 答案 D 解析 只需比较 a2+b2 与 a+b.由于 a,b∈(0,1),∴a2<a,b2<b,∴a2+b2<a+b. 2 2.若 x>0,则 x+ 的最小值是( x A.2 C. 2 答案 D 2 解析 由基本不等式可得 x+ ≥

2 x 2 2 x·=2 2,当且仅当 x= 即 x= 2时取等号,故最小值是 2 2. x x ) 9 B. 4 9 D. 8 ) B .4 D.2 2 B.2 ab D.a+b )

3 3.若 0<x< ,则 y=x(3-2x)的最大值是( 2 9 A. 16 C.2 答案 D

4.已知函数 g(x)=2x,且有 g(a)g(b)=2,若 a>0 且 b>0,则 ab 的最大值为( 1 A. 2 C.2 答案 B a+b 2 1 + 解析 ∵2a2b=2a b=2,∴a+b=1,ab≤( ) = ,故选 B. 2 4 5.下列函数中,最小值为 4 的是( 4 A.y=x+ x B.y=sinx+ 4 (0<x<π) sinx
-x

)

1 B. 4 D.4

)

C.y=4ex+e

D.y=log3x+logx3(0<x<1) 答案 C 解析 注意基本不等式等号成立的条件是“a=b”, 同时考虑函数的定义域, ①x 的定义域为{x|x∈R, 4 且 x≠0},函数没有最小值;②若 sinx= 取到最小值 4,则 sin2x=4,显然不成立.④没有最小值.故 sinx 选 C.

6.下列命题中正确的是(

)

1 A.函数 y=x+ 的最小值为 2 x B.函数 y= x2+3 的最小值为 2 x2+2

4 C.函数 y=2-3x- (x>0)的最小值为 2-4 3 x 4 D.函数 y=2-3x- (x>0)的最大值为 2-4 3 x 答案 D 1 解析 y=x+ 的定义域为{x|x≠0},当 x>0 时,有最小值 2,当 x<0 时,有最大值-2,故 A 项不正 x 确; y= x2+3 x +2
2

= x2+2+

1 ≥2, x +2
2

∵ x2+2≥ 2,∴取不到“=”,故 B 项不正确; 4 4 ∵x>0 时,3x+ ≥2· 3x·=4 3, x x 4 2 当且仅当 3x= ,即 x= 3时取“=”, x 3 4 ∴y=2-(3x+ )有最大值 2-4 3,故 C 项不正确,D 项正确. x 1 a 7.“a= ”是“对任意的正数 x,2x+ ≥1”的( 8 x A.充分不必要条件 C.充要条件 答案 A 1 a 解析 令 p:“a= ”,q:“对任意的正数 x,2x+ ≥1”. 8 x 1 a 1 若 p 成立,则 a= ,则 2x+ =2x+ ≥2 8 x 8x 1 2x· =1,即 q 成立,p?q; 8x )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 若 q 成立,则 2x2-x+a≥0 恒成立,解得 a≥ ,∴q?/ p. 8 ∴p 是 q 的充分不必要条件. 8.设实数 x,y,m,n 满足 x2+y2=1,m2+n2=3,那么 mx+ny 的最大值是( A. 3 C. 5 答案 A 解析 方法一:设 x=sinα,y=cosα,m= 3sinβ,n= 3cosβ,其中 α,β∈R. ∴mx+ny= 3sinβsinα+ 3cosβcosα= 3cos(α-β).故选 A. B .2 D. 10 2 )

方法二:m2+n2=3?( ∴2=x2+y2+( ∴mx+ny≤ 3.

m 2 n ) +( )2=1, 3 3

m 2 n 2 ) +( )2≥ (mx+ny). 3 3 3

1 1 9.若 x,y 是正数,则(x+ )2+(y+ )2 的最小值是( 2y 2x A.3 C.4 答案 C x 1 y 1 解析 原式=x2+ + 2+y2+ + 2≥4. y 4y x 4x 当且仅当 x=y= 1 时取“=”号. 2 7 B. 2 9 D. 2

)

1 4 10.(2015· 安徽池州二中月考)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是( a b 7 A. 2 9 C. 2 答案 C 解析 1 4 1 1 4 1 b 4a 1 依 题 意 得 + = ( + )(a + b) = ×[5 + ( + )]≥ ×(5 + 2 a b 2 a b 2 a b 2 B .4 D.5

)

b 4a 9 × )= ,当且仅当 a b 2

a+b=2, ? ?b 4a ?a= b , ? ?a>0,b>0,

2 4 1 4 9 即 a= ,b= 时取等号,即 + 的最小值是 . 3 3 a b 2

y2 11.已知 x,y,z∈(0,+∞),且满足 x-2y+3z=0,则 的最小值为( xz A.3 C.9 答案 A 12.(1)当 x>1 时,x+ (2)当 x≥4 时,x+ 16 答案 (1)5 (2) 3 解析 (1)∵x>1,∴x-1>0. 4 的最小值为________; x-1 B .6 D.12

)

4 的最小值为________. x-1

4 4 ∴x+ =x-1+ +1≥2 4+1=5. x-1 x-1 (当且仅当 x-1= 4 .即 x=3 时“=”号成立) x-1

4 ∴x+ 的最小值为 5. x-1 (2)∵x≥4,∴x-1≥3. 4 ∵函数 y=x+ 在[3,+∞)上为增函数, x ∴当 x-1=3 时,y=(x-1)+ 4 16 +1 有最小值 . 3 x-1

1 13.若 a>0,b>0,a+b=1,则 ab+ 的最小值为________. ab 答案 17 4

a+b 2 1 解析 ab≤( )= , 2 4 1 当且仅当 a=b= 时取等号. 2 1 1 y=x+ 在 x∈(0, ]上为减函数. x 4 1 1 17 ∴ab+ 的最小值为 +4= . ab 4 4 a 14.(2013· 四川文)已知函数 f(x)=4x+ (x>0,a>0)在 x=3 时取得最小值,则 a=________. x 答案 36 a 解析 f(x)=4x+ ≥2 x a a 4x·=4 a(当且仅当 4x= ,即 a=4x2 时取等号),则由题意知 a=4×32=36. x x

15.已知 x>0,y>0,2x+y=1,则 xy 的最大值为________. 答案 1 8

2x+y 2 1 解析 ∵2xy≤( )= , 2 4 1 1 1 ∴xy≤ .(当且仅当 2x=y 即 x= ,y= 时取“=”号.) 8 4 2 1 ∴xy 的最大值为 . 8 16.设 x>0,y>0,且 答案 16 1 1 1 解析 由 + = ,化为 3(2+y)+3(2+x)=(2+y)(2+x),整理为 xy=x+y+8.∵x,y 均为正实 2+x 2+y 3 数,∴xy=x+y+8≥2 xy+8,∴( xy)2-2 xy-8≥0,解是 xy≥4,即 xy≥16,当且仅当 x=y=4 时取 1 1 1 + = ,则 xy 的最小值为________. x+2 y+2 3

等号,∴xy 的最小值为 16. 16 17.已知 a>b>0,求 a2+ 的最小值. b?a-b? 答案 16 64 思路 由 b(a-b)求出最大值,从而去掉 b,再由 a2+ 2 ,求出最小值. a 解析 ∵a>b>0,∴a-b>0. b+?a-b? 2 a2 ∴b(a-b)≤[ ]= . 2 4 16 64 ∴a2+ ≥a2+ 2 ≥2 a b?a-b? 64 a2· 2 =16. a

64 当 a2= 2 且 b=a-b,即 a=2 2,b= 2时等号成立. a 16 ∴a2+ 的最小值为 16. b?a-b? 18.已知 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1), (1)求 xy 的最小值; (2)求 x+y 的最小值. 答案 (1)1 (2)2 x>0, ? ? 解析 由 lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得?y>0, ? ?3xy=x+y+1. (1)∵x>0,y>0, ∴3xy=x+y+1≥2 xy+1. ∴3xy-2 xy-1≥0,即 3( xy)2-2 xy-1≥0. ∴(3 xy+1)( xy-1)≥0. ∴ xy≥1.∴xy≥1. 当且仅当 x=y=1 时,等号成立. ∴xy 的最小值为 1. x+y 2 (2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3· ( ). 2 ∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0. ∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0. ∴x+y≥2.当且仅当 x=y=1 时取等号. ∴x+y 的最小值为 2.

1.(2013· 重庆理) ?3-a??a+6?(-6≤a≤3)的最大值为(

)

A.9 C.3 答案 B 解析 ≤

9 B. 2 3 2 D. 2

方 法 一 : 因 为 - 6≤a≤3 , 所 以 3 - a≥0 , a + 6≥0. 由 基 本 不 等 式 , 可 知 ?3-a??a+6?

?3-a?+?a+6? 9 3 = ,当且仅当 a=- 时等号成立. 2 2 2 方法二: ?3-a??a+6?= 3 81 9 3 -?a+ ?2+ ≤ ,当且仅当 a=- 时等号成立. 2 4 2 2 )

2 1 2.已知 x>0,y>0,且 + =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( x y A.m≥4 或 m≤-2 C.-2<m<4 答案 D 2 1 解析 ∵x>0,y>0,且 + =1, x y 2 1 4y x ∴x+2y=(x+2y)( + )=4+ + ≥4+2 x y x y B.m≥2 或 m≤-4 D.-4<m<2

4y x 4y x ·=8,当且仅当 = ,即 4y2=x2,x=2y 时取等号, x y x y

2 1 又 + =1,此时 x=4,y=2,∴(x+2y)min=8,要使 x+2y>m2+2m 恒成立,只需(x+2y)min>m2+2m 恒成 x y 立,即 8>m2+2m,解得-4<m<2. x2+2x+2 3.函数 y= (x>-1)的图像最低点的坐标是( x+1 A.(1,2) C.(1,1) 答案 D ?x+1?2+1 1 解析 y= =(x+1)+ ≥2. x+1 x+1 当且仅当 x=0 时等号成立. 4.设 x>0,y>0,且(x-1)(y-1)≥2,则 xy 的取值范围为__________. 答案 [3+2 2,+∞) 解析 (x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1 ≤xy-2 xy+1, 又(x-1)(y-1)≥2,即 xy-2 xy+1≥2, ∴ xy≥ 2+1,∴xy≥3+2 2. 5.若实数 x,y 满足 x2+y2+xy=1,则 x+y 的最大值是________. 答案 2 3 3 )

B.(1,-2) D.(0,2)

1 1 3 4 解析 ∵xy≤ (x+y)2,∴1=x2+y2+xy=(x+y)2-xy≥(x+y)2- (x+y)2= (x+y)2,∴(x+y)2≤ .∴- 4 4 4 3 2 3 2 3 3 2 3 ≤x+y≤ ,当 x=y= 时,x+y 取得最大值 . 3 3 3 3 6.设 x,y 为实数,若 4x2+y2+xy=1,则 2x+y 的最大值是________. 答案 2 10 5

3 3 2x+y 2 8 解析 ∵4x2+y2+xy=1,∴(2x+y)2=3xy+1= ×2xy+1≤ ×( ) +1,∴(2x+y)2≤ ,∴(2x+ 2 2 2 5 y)max= 2 10 . 5

7.如图,在半径为 30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中点 A,B 在直径上, 点 C,D 在圆周上.

(1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大?并求最大面积; (2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗), 应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积. 解析 (1)连接 OC. 设 BC=x,矩形 ABCD 的面积为 S.

则 AB=2 900-x2,其中 0<x<30. 所以 S=2x 900-x2=2 x2?900-x2?≤x2+(900-x2)=900.当且仅当 x2=900-x2,即 x=15 2时,S 取 最大值 900 cm2. 答:取 BC 为 15 2 cm 时,矩形 ABCD 的面积最大,最大值为 900 cm2. (2)设圆柱底面的半径为 r,高为 x,体积为 V. 由 AB=2 900-x2=2πr,得 r= 900-x2 . π

1 所以 V=πr2x= (900x-x3),其中 0<x<30. π 1 由 V′= (900-3x2)=0,得 x=10 3. π 1 因此 V= (900x-x3)在(0,10 3)上是增函数,在(10 3,30)上是减函数. π 6 000 3 所以当 x=10 3时,V 取最大值为 cm3. π

6 000 3 答:取 BC 为 10 3 cm 时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为 cm3. π


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