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问题

1. 2011年高考考试中,某地有考生有2万名,如果 为了了解这些考生数学的主观题的得分情况,我们应 该怎样做?
2. 今有某灯泡厂生产的灯泡10000只,怎样才能 了解到这批灯泡的使用寿命呢?

数理统计是研究如何有效地收集,整理,分 析受随机影响的数据,并对所考虑的问题作出推 断或预测,直至为采取决策和行动提供依据

和建 议的一门学科。它是一门应用性很强的学科,凡 是有大量数据出现的地方,都要用到数理统计。 现在,数理统计的内容已异常丰富,成为数学中 最活跃的学科之一。教科书选择了数理统计中最 基本问题来介绍这门学科的思想与方法。

数理统计所要解决的问题是如何根据样本来 推断总体,第一个问题:总体、个体、样本、样 本容量的概念 总体:所要考察对象的全体。 个体:总体中的每一个考察对象。 样本:从总体中抽取的一部分个体叫做这个总体的 一个样本。 样本容量:样本中个体的数目。

总体、个体、样本、样本容量
1. 2011年高考考试中,某地有考生有2万名,如果 为了了解这些考生数学的主观题的得分情况,我们随 机抽取了200名考生的主观题得分情况.
2. 今有某灯泡厂生产的灯泡10只,我们随机抽取 了3只做实验来了解到这批灯泡的使用寿命.
如何抽取样本?怎样使抽取的样本充分地反映总体的况?

1、简单随机抽样
一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个 抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体 被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。
注意以下四点: (1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限; (2)它是从总体中逐个进行抽取; (3)它是一种不放回抽样;

(4)它是一种等概率抽样。

结论 ①用简单随机抽样,从含有N个个体的总体中抽取一个容
量为n的样本时,每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率 n 1 为 ;在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为 . N N ②简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性.

随机抽样的方法: 抽签法 随机数表法
1、抽签法 先将总体中的所有个体(共N个)编号(号码可以从1到 N),并把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用 小球、卡片、纸条等制作),然后将这些号签放在同一个箱 子里,进行均匀搅拌。抽签时,每次从中抽出1个号签,连续 抽取n次,就得到一个容量为n的样本。对个体编号时,也可 以利用已有的编号。例如学生的学号,座位号等。 练习:将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同 一个箱子里均匀搅拌,从中抽出15个号签,就相应的15名学 生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜 爱、很不喜爱)进行调查。分析并说明整个抽签过程中每 个同学被抽到的概率是相等的。

证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。
2、用随机数表法进行抽取

下面举例说明如何用随机数表来抽取样本。 为了检验某种产品的质量,决定从40件产品中抽取10件 进行检查,在利用随机数表抽取这个样本时,可以按下 面的步骤进行: 第一步,先将40件产品编号,可以编为00,01,02,, 38,39。 第二步,在附录1随机数表中任选一个数作为开始,例 如从第8行第9列的数5开始,为便于说明,我们将附录1 中的第6行至第10行摘录如下。
16 22 77 94 39 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 60 86 32 44 49 54 43 54 82 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 09 47 27 96 54 17 37 93 23 78 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 90 52 84 77 27 84 26 34 91 64 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 08 02 73 43 28

第三步,从选定的数5开始向右读下去,得到一个两位 数字号码59,由于59>39,将它去掉;继续向右读,得 到16,将它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是12,由 于它在前面已经取出,将它去掉,再继续下去,得到34。 至此,10个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本 号码是 16 19 10 12 07 39 38 33 21 34 注 将总体中的N个个体编号时可以从0开始,例如 N=100时编号可以是00,01,02,99,这样总体中的 所有个体均可用两位数字号码表示,便于运用随机 数表。

注:当随机地选定开始读数的数后,读数的方向可以
向右,也可以向左、向上、向下等等。 在上面每两位、每两位地读数过程中,得到一串两位 数字号码,在去掉其中不合要求和与前面重复的号码 后,其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽 取的各个个体的号码。由于随机数表中每个位置上出 现哪一个数字是等概率的,每次读到哪一个两位数字 号码,即从总体中抽到哪一个个体的号码也是等概率 的。因而利用随机数表抽取样本保证了各个个体被抽 取的概率相等。

2、用随机数表法进行抽取

(1)随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数,并 保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。 (2)随机数表并不是唯一的,因此可以任选一个数作为开 始,读数的方向可以向左,也可以向右、向上、向下等等。 (3)用随机数表进行抽样的步骤:将总体中个体编号;选 定开始的数字;获取样本号码。 (4)由于随机数表是等概率的,因此利用随机数表抽取样 本保证了被抽取个体的概率是相等的。 随机抽样并不是随意或随便抽取,因为随 意或随便抽取都会带有主观或客观的影响因素

随机抽样的方法: 抽签法 随机数表法

练习:将全班同学按学号编号,制作相应的卡片号签,放入同 一个箱子里均匀搅拌,从中抽出15个号签,就相应的15名学 生对看足球比赛的喜爱程度(很喜爱、喜爱、一般、不喜 爱、很不喜爱)进行调查。 上述问题中抽取样本的方法用随机数表法来进行! 规则:从39页表中第31行第11、12列的两位数开始, 依次向下读数,到头后再转向它左面的两位数号码, 并向上读数,以此下去,直到取足样本。

2.分层抽样
当已知总体由差异明显的几部分组成时,为 了使样本充分地反映总体的情况,常将总体分成 几部分,然后按照各部分所占的比例进行抽样。 其中所分成的各部分叫做层。 由于分层抽样的要求不同,各层的抽样的样本 容量也不相同,所以,应当按照实际情况,合理 地将样本容量分配到各个层,以确保抽样的合理 性,研究时可以根据不同的要求来分层抽样。

分层抽样适用于总体由差异明显的几部分组成的 情况,每一部分称为层,在每一层中实行简单随机 抽样。这种方法较充分地利用了总体己有信息,是 一种实用、操作性强的方法。

分层抽样的一个重要问题是一个总体如何分层。分 层抽样中分多少层,要视具体情况而定。总的原则 是:层内样本的差异要小,而层与层之间的差异尽 可能地大,否则将失去分层的意义。

例2、一个单位的职工有500人,其中不到35岁的有125 人,35~49岁的有280人,50岁以上的有95人。为了了 解该单位职工年龄与身体状况的有关指标,从中抽取 100名职工作为样本,应该怎样抽取? 分析:这总体具有某些特征,它可以分成几个不同 解:抽取人数与职工总数的比是100:500=1:5, 的部分:不到35岁;35~49岁;50岁以上,把每一部 则各年龄段(层)的职工人数依次是125:280:95=25: 分称为一个层,因此该总体可以分为3个层。由于抽取 56:19,然后分别在各年龄段(层)运用简单随机抽 的样本为100,所以必须确定每一层的比例,在每一个 样方法抽取。 层中实行简单随机抽样。 答:在分层抽样时,不到35岁、35~49岁、50岁以 上的三个年龄段分别抽取25人、56人和19人。

分层抽样的抽取步骤:
(1)总体与样本容量确定抽取的比例。 (2)由分层情况,确定各层抽取的样本数。 (3)各层的抽取数之和应等于样本容量。 (4)对于不能取整的数,求其近似值。

3.系统抽样 当总体的个数较多时,采用简单随机抽样太麻 烦,这时将总体分成均衡的部分,然后按照预先 定出的规则,从每一部分中抽取1个个体,得到所 需要的样本,这种抽样称为系统抽样。
系统抽样时,将总体中的个体均分后的每一段进行 抽样时,采用简单随机抽样;系统抽样每次抽样时,总 体中各个个体被抽取的概率也是相等的;如总体的个体 数不能被样本容量整除时,可以先用简单随机抽样从总 体中剔除几个个体,然后再按系统抽样进行。需要说明 的是整个抽样过程中每个个体被抽到的概率仍然相等。

系统抽样的步骤为:
(1)先将总体中的N个体编号.有时可直接利用个体自 身所带的号码. N
n (2)确定分段间隔k。对编号均衡地分段, 是整

N N k? 数时, ; 不是整数时,从N中剔除一些个体,使 n n
得其为整数为止。

(3)第一段用简单随机抽样确定起始号码l。 (4)按照规则抽取样本:l;l+k;l+2k;……l+nk

系统抽样与简单随机抽样比较 , 有何优、缺点?

1、系统抽样比简单随机抽样更容易实施; 2、系统抽样的效果会受个体编号的影响,而 简单随机抽样的效果不受个体编号的影响; 3、系统抽样比简单随机抽样的应用范围广。

4.三种抽样方法的比较

5.课堂练习
1、系统抽样适合的总体应是(C ) A、容量较小的总体;B、容量较大的总体; C、个体数较多但均衡的总体;D、任何总体 2、要从已编号(1~50)的50件产品中随机抽取5件进行检 查,用系统抽样可能的编号是( B) A、5,10,15,20,25 C、1,2,3,4,5, B、3,13,23,33,43 D、2,4,8,16,32

3、从2005个编号中抽取20个号码入样,采用系统抽样的方 法,则抽样的间隔为( C) A、99 B、99.5 C、100 D、100.5

4、某单位有职工160人,其中业务员有104人,管理人员32 人,后期24人,现用分层抽样从中抽取一容量为20的样本, 则抽取管理人员(B )人 A、3 B、4 C、7 D、12

5、某校有老师200人,男学生1200人,女学生1000人,现用分 层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为N的样本,已知女 学生中抽取的人数为80,则N= 192

6、某大学数学系共有本科生5000人,其中一、二、三、四年 级的学生比为4:3:2:1,用分层抽样的方法抽取一个容量 为200人的样本,则应抽取三年级的学生为(B )人。
A、80 B、40 C、60 D、20

小结:
1、抽样方法:简单随机抽样、系统抽样、 分层抽样 2、简单随机抽样:逐一抽取;

分层抽样:按比例进行分配;
系统抽样:平均分段


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