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1-3.1.1-方程的根与函数的零点


3.1.1 方程的根与函数的零点 教学时间:2006 年 10 月 21 日星期四 教学班级:高一 班 教学目标:1.让学生熟练掌握二次函数的图象,并会判断一元二次方程根的存在性及根的个 数 2.让学生了解函数的零点与方程根的联系 3.让学生认识到函数的图象及基本性质(特别是单调性)在确定函数零点中的作用 4.培养学生动手操作的能力 教学重点:确定方程实数根的个数 教学难点:通过

计算器或计算机做出函数的图象 教学方法:探讨法 教学过程: 引入问题 一元二次方程的根与二次函数的图象有什么关系? 通过复习二者之间的关系引出新课(板书课题) : 1.函数零点的定义: 对于函数,我们把使的实数叫做函数的零点(zero point).这样,函数的零点就是方程的实 数根,也就是函数的图象与轴的交点的横坐标,故有 2.一般结论 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点 3.函数变号零点具有的性质 对于任意函数,只要它的图象是连续不间断的,则有 (1)当它通过零点时(不是二重零点) ,函数值变号。如函数的图象在零点的左边时,函数 值取正号,当它通过第一个零点时,函数值由正变为负,再通过第二个零点 3 时,函数值又 由负变成正(见教材第 102 页“探究”题) 。 (2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。 4.注意点 (1)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的,若方程没有实数根,则函数没有零 点。 (2)如方程有二重实数根,可以称函数有二阶零点。 5.勘根定理 如果函数在区间上的图象是连续不间断的一条曲线, 并且有那么函数在区间内有零点, 即存 在,使得,这个也就是方程的实数根。 例 1.求函数的零点个数。 分析: 求函数的零点个数实际上是判断方程有没有实数根, 有几个实数根的方法, 其步骤是: (1)利用计算器或计算机作的对应值表; (2)作出函数的图象; (3)确定的单调性; (4)若在区间上连续,并且有,那么函数在区间内有一个实数根; (5)结合单调性确定其定义域内零点个数,即实数根个数。 结合计算机利用几何画板作出函数的图象观察。 例 2.函数的零点所在的大致区间是( )

A. (1,2) B. (2,3) C.和(3,4) D. 分析:从已知的区间,求和,判断是否有。 解:因为,故在(1,2)内没有零点,非 A。 又,所以,所以在(2,3)内有一个零点,选 B。 例 3.若方程在(0,1)内恰有一解,求实数的取值范围。 分析:令在(0,1)内恰有一解,则,解出。 解:令,因为方程在(0,1)内恰有一解,所以,即,解得。 例 4.二次函数中, ,则函数的零点个数是( ) A.1 个 B.2 个 C.0 个 D.无法确定 分析:分析条件,是二次项系数,确定抛物线的开口方向, ,所以,由此得解。 解:因为,所以,即与异号,即或 所以函数必有两个零点,故选 B。 练习: 教材第 103 页练习 1、2 题。 说明:练习 1 让学生自己动手操作,要启发学生将等号右边的项移至等号左边,然后将等号 左边的代数式设为函数, 再通过探究函数的零点去得出方程的根的情况。 练习 2 要借助几何 画板作出各个函数的图象判断零点所在大致区间。 作业: 教材第 108 页习题 3.1A 组题第 2 题


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