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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二) 课件(人教版必修4)


? 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

? 1.借助图象理解正、余弦函数在[0,2π]上的性质(单调性、最值、图象 及与x轴的交点等).(重点) ? 2.能利用性质解决一些简单问题.(重点、难点)

? 正、余弦函数的图象与性质
正弦函数 图象 值域 [-1,1] ? π ? π ?- +2kπ, +2kπ? 2 在

? 2 ? (k∈Z)上递增, ?π ? 3π ? +2kπ, +2kπ? 2 在 ?2 ? (k∈Z)上递减. [-1,1] 在 [-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上递增, 在 [2kπ,π+2kπ] (k∈Z)上递减. 余弦函数

单调性

正弦函数
π 2+2kπ x=

余弦函数

(k∈Z) x=2kπ (k∈Z)时,

最值

时,ymax=1;x= ymax=1;x= π -2+2kπ (k∈Z)时, min π+2kπ (k ∈ Z) y =-1. 时,ymin=-1.

? 1.正弦函数、余弦函数在定义域内是单调函数吗? ? 提示:正、余弦函数在它们的定义域内都不是单调函数,但它们在各 自的单调区间内都是单调的. ? 2.正弦函数、余弦函数取得最值的点有何特点? ? 提示:取得最值的点为正、余弦函数图象的最高点或最低点,或者说 图象的对称轴与图象的交点.

? 求与正、余弦函数有关的单调区间的策略 ? (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间; ? (2)形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数求单调区间时,应采用 “换元法”整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体“z”,即通过求y= Asin z的单调区间而求出函数的单调区间.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0)的函数的单调区间同上.

? 【特别提醒】(1)ω<0时,必须用诱导公式转化成-ω>0后再求解; (2)若A<0,则单调性相反.

? 求y=cos 2x的单调区间. ? 【思路点拨】

解:函数 y=cos x,x∈R 的单调递增区间为[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z),单调递减区间为[2kπ,π+2kπ](k∈Z). 由-π+2kπ≤2x≤2kπ, π 得-2+kπ≤x≤kπ,k∈Z; 由 2kπ≤2x≤π+2kπ, π 得 kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 2 所以函数 y=cos 2x 的单调递增区间为
? π ? ?- +kπ,kπ?,k∈Z; ? 2 ? ? ? π 单调递减区间为?kπ,2+kπ?,k∈Z. ? ?

1.求

?π ? y=2sin?4-x?的单调区间. ? ?

?π ? ? π? 解:y=2sin?4-x?=-2sin?x-4?. ? ? ? ?

因为 y=sin x,x∈R 的单调递增区间为
? π ? π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z), 2 ? 2 ? ?π ? 3π 单调递减区间为?2+2kπ, 2 +2kπ?(k∈Z). ? ?

π π π 由-2+2kπ≤x-4≤2+2kπ, π 3π 得-4+2kπ≤x≤ 4 +2kπ,k∈Z; π π 3π 由 +2kπ≤x- ≤ +2kπ, 2 4 2 3π 7π 得 +2kπ≤x≤ +2kπ,k∈Z. 4 4

所以函数

? π? y=sin?x-4?的单调递增区间为 ? ?

? π ? 3π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z), 4 ? 4 ?

3π 7π 单调递减区间为[ 4 +2kπ, 4 +2kπ](k∈Z). 所 以 原 函 数 y = 2sin
? π ? 3π ?- +2kπ, +2kπ?(k∈Z), 4 ? 4 ? ?3π ? 7π 单调递减区间为? 4 +2kπ, 4 +2kπ?(k∈Z). ? ? ?π ? ? -x? ?4 ?

的单调递增区间为

? ? ? ?

比较三角函数值大小的方法 (1)通常利用诱导公式化为锐角三角函数值; (2)不同名的函数化为同名函数; (3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间.

比较下列各组数的大小:
? 23 ? (1)cos?- 5 π?与 ? ? ? 17 ? cos?- 4 π?; ? ?

(2)sin 194° cos 160° 与 ; (3)sin 1,sin 2,sin 3.

? 【思路点拨】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的 正负,若同号,再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值 进行比较.

? 23 ? ? 7 ? 7 解:(1)cos?- 5 π?=cos?-6π+5π?=cos5π, ? ? ? ? ? 17 ? ? 7 ? 7 cos?- 4 π?=cos?-6π+4π?=cos π, 4 ? ? ? ?

7 7 7 7 ∵π< π< π<2π,∴cos π<cos π, 5 4 5 4 即
? 23 ? ? 17 ? cos?- 5 π?<cos?- 4 π?. ? ? ? ?

? ? ? ? ? ? ?

(2)sin 194°=sin(180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20° =-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°, ∴sin 14°<sin 70°. 从而-sin 14°>-sin 70°, 即sin 194°>cos 160°.

π (3)∵1<2<2<3<π, 又 sin(π-2)=sin 2,sin(π-3)=sin 3, π 0<π-3<1<π-2< , 2 而 y=sin x
? π? 在?0,2?上递增, ? ?

∴sin(π-3)<sin 1<sin(π-2), 即 sin 3<sin 1<sin 2.

2.比较下列各组数的大小: 15π 14π (1)cos 8 ,cos 9 ;
? 15π? 2π (2)sin ,sin?- 8 ?; 7 ? ?

(3)sin 1,cos 1.

15π π 14π 4π 解:(1)cos =cos ,cos =cos , 8 8 9 9 π 4π 因为 0<8< 9 <π,y=cos x 在[0,π]上单调递减, π 4π 15π 14π 所以 cos >cos ,即 cos >cos . 8 9 8 9

? 15π? ? π? π ?- ?=sin?-2π+ ?=sin , (2)sin 8 ? 8? 8 ? ?

π 2π π 因为 0< < < , 8 7 2 y=sin x
? π? 在?0,2?上单调递增, ? ?

π 2π 所以 sin8<sin 7 ,
? 15π? 2π 即 sin >sin?- 8 ?. 7 ? ?

(3)因为 cos

?π ? 1=sin?2-1?, ? ?

? π? π π 0< -1<1< ,y=sin x 在?0,2?上单调递增. 2 2 ? ?

所以

?π ? sin?2-1?<sin ? ?

1,即 cos 1<sin 1.

? ? ? ? ?

求正、余弦函数的最值(或值域)问题的常用方法 (1)形如y=asin x(或y=acos x)的函数的最值要注意对a的讨论. (2)将函数式转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的形式. (3)换元后配方利用二次函数求最值(值域). 【特别提醒】以上各种方法都要注意定义域优先的原则,在定义域内 求最值.

(12 分)求下列函数的值域:
? ? π? π? (1)y=cos?x+6?,x∈?0,2?; ? ? ? ?

1+2sin x (2)y= ; sin x-2 (3)y=cos2 x-4cos x+5.

【 思 路 点 拨 】 (1)

? π? x∈?0,2? ? ?

π ?π 2π? ―→ x+ ∈?6, 3 ? 6 ? ?

. 利用|sin x|≤1 (2) 用y把sin x表示出来 ――→ 列不等式 解关于y的不等式 ―→ 值域 . 换元法 (3) 令t=cos x ――→ y关于t的二次函数 配方法 ――→ 值域 .

【规范解答】(1)由 π ?π 2π? x+6∈?6, 3 ?, ? ? 函数 y=cos x
? 1 域为?- , ? 2 ?

? ? π? π? y=cos?x+6?,x∈?0,2?可得 ? ? ? ?

2分

?π 2π? 在区间?6, 3 ?上单调递减,所以函数的值 ? ?

3? ? . 2? ?

4分

1+2sin x 2y+1 ?2y+1? ? (2)由 y= ?sin x= ?? ≤1?3y2+8y sin x-2 y-2 ? y-2 ? ? ?
? 1? 1 -3≤0,得-3≤y≤3,故函数的值域是?-3,3?. ? ?

8分

(3)y=cos2 x-4cos x+5,令 t=cos x, 则-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当 t=-1 时,函数取得最大值 10; 当 t=1 时, 函数取得最小值 2, 所以函数的值域为[2,10]. 12 分 10 分

3.求下列函数的最大值和最小值: (1)y= 1 1- sin x; 2

? π? (2)y=3+2cos?2x+3?; ? ?

(3)f(x)=cos x-sin

2

? π π? x,x∈?-4,4?. ? ?

? 1 ?1- sin x≥0 解:(1)∵? 2 , ?-1≤sin x≤1 ? ∴-1≤sin x≤1. 6 ∴当 sin x=-1 时,ymax= 2 ; 2 当 sin x=1 时,ymin= 2 .

? π? (2)∵-1≤cos?2x+3?≤1, ? ?

∴当 当

? π? cos?2x+3?=1 ? ?

时,ymax=5; 时,ymin=1.
? x=-?sin ?

? π? cos?2x+3?=-1 ? ?
2

(3)f(x)=1-sin x-sin

1?2 5 x+2? + . 4 ?

π π 2 2 ∵-4≤x≤4,∴- 2 ≤sin x≤ 2 , 1 5 ∴当 sin x=-2时,f(x)max=4, 1- 2 2 当 sin x= 2 时,f(x)min= 2 .

? 误区:忽略对参数的讨论而出错

3 【典例】 已知函数 y=a-bcos x 的最大值是 ,最小值 2 1 是-2,求函数 y=-4bsin ax 的最大值、最小值及周期.

【错误解答】∵-1≤cos x≤1, 3 ∴当 cos x=1 时,有 a-b=2; 1 当 cos x=-1 时,有 a+b=-2, 3 ? ?a-b=2, ∴由? ?a+b=-1 2 ? ? 1 ?a= , 得? 2 ?b=-1. ?

x ∴y=-4bsin ax=4 sin . 2 x ∴函数 y=4 sin2的最大值为 4, 最小值为-4,周期为 4π.

【正确解答】∵-1≤cos x≤1,由题意知 b≠0. 当 b>0 时,-b≤bcos x≤b, ∴a-b≤a-bcos x≤a+b. 3 ? ?a+b=2, ∴? ?a-b=-1, 2 ? ? 1 ?a= , 解得? 2 ?b=1. ?

x ∴y=-4bsin ax=-4sin ; 2 当 b<0 时,b≤bcos x≤-b, ∴a+b≤a-bcos x≤a-b.

3 ? ?a-b=2, ∴? ?a+b=-1, 2 ?

? 1 ?a= , 解得? 2 ?b=-1. ?

x x ∴y=-4bsin ax=4sin2.综上可知,y=± 4sin 2. x ∴函数 y=± 2的最大值为 4,最小值为-4,周期为 4sin 4π.

? 【纠错心得】注意对b的讨论,否则只能得到一个解,从而解答出现错 误.本题的最大值也可以统一为a+|b|,最小值统一为a-|b|,然后列 方程组求a、b的值.


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