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函数的极值与导数教学设计

时间:2015-06-27


课题:1.3.2 函数的极值与导数
〖教材分析〗
本节课是人教 A 版数学选修 2-2 教材中导数应用的第二节, 通过第一节利用导数判断函数的单调性的学习, 学生已经了解了导数在函数中的初步应用, 为了培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力, 本 节课将继续学习函数的极值与导数的关系,让学生了解极值点、极值的概念后探索取得极值的条件,并在此基础

上重点学会如何求函数的极值. 是上节内容的延续和深化, 也为下节利用导数知识求函数的最值做了铺垫, 在本 章起着承上启下的作用. 因此制定本节课的教学目标为:

〖教学目标〗
1、 理解极大值、极小值的概念,体会极值是函数的局部性质 2、 掌握利用导数求函数极值的方法以及求可导函数的极值的步骤 3、 经历导函数的零点与原函数的极值点并不等价的探究过程,并总结用导数研究函数极值的方法与注意事项 4、感受导数在研究函数性质中一般性和有效性,会借助导数去分析和思考问题,培养导数应用的意识 5、培养学生的探索精神和严谨的科学态度

〖学情分析〗
学生进入高二下, 学习紧迫感比高一强烈, 理科学生动手动脑能力还是较强的, 学生求知欲与表现欲也很强, 大部分同学能很好做到课前预习后再听课,课上积极思考并踊跃发言,但思维水平参差不齐,所以备课上既要考 虑到薄弱同学的理解与接受,又要考虑到其他同学的视野的拓展,因此问题的铺设很关键. 学生在学习本节知识 时,最容易出错的地方是将导函数的零点与原函数的极值点当作一回事,基于此,确立本节课的重难点为:

〖教学重难点〗
【重点】函数极值点的判断方法和求解步骤 【难点】导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解

〖教具教法〗多媒体课件,问题引导、探究发现式教学 〖课堂模式〗设计学案,借助多媒体辅助教学,增强课堂教学的生动性与直观性,打造高效课堂。 〖教学基本流程〗

复习引入,继续在高台跳水问题中提出新的思考并导入新课

给出极值的定义,分析函数极值点处导数的特征

从多个角度探究函数极值点与导函数零点的关系,并会用导数方法求函数的极值点

归纳用导数求极值点的一般步骤,总结求解过程中的注意事项

通过例四和练习,进一步掌握极值的概念和求解方法

课堂小结,布置作业

1

〖教学过程〗
一、复习引入 [师]:通过上节课的学习,导数和函数单调性的关系是什么? [生答]: 函数 y ? f ( x) 在 x 的定义域内的某个开区间内可导, 若 f '( x ) ? 0 ? f ( x) 在这个区间上是增函数; 若 f '( x) ? 0 ? f ( x) 在这个区间上是减函数. 【设计意图】回忆函数的单调性与导数的关系,同时也为本节课的学习做好铺垫. 二、导入新课 [师]:高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存 在函数关系为 h(t ) ? ?5t 2 ? 5t ? 10 . 此函数是二次函数,当 t ?

1 时,运动员距水面的高度最大. 2

问: (1)函数 h(t ) 在此点处的导数值为多少? (2)此点附近区域内的图象有什么特点? (3)导数的符号有什么变化规律?

[生答]: (1)函数 h(t)在此点处的导数值为 0; (2)此点左边是增函数,右边是减函数; (3)当 x 从小到大经过此点时,h’(x)的符号先正后负 【设计意图】用高台跳水的例子,与上节课形成呼应,引导学生提出和思考新的问题,发展学生的数学应用意 识 三、共探新知 〖探究一〗极值的定义 [师]★问题 1:对于这一事例是这样,更为一般的函数 y ? f ( x) ,是否也有同样的性质呢?

(图 2) 〖引导思考 1〗 如图 1,函数 y ? f ( x) 在 a 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系?在 a 点处 的导数值为多少?它附近区域导数的符号有什么变化规律? [生]答:函数 y=f(x)在 a 点的函数值比它在点 a 附近区域内其他点的函数值都小,f’(a)=0,而且在点 a 附近 左侧 f’(x)<0,在点 a 附近右侧 f’(x)>0. 〖引导思考 2〗函数 y ? f ( x) 在 b 点的函数值与它附近区域内的点的函数值之间有什么关系?在 b 点处的导数 值为多少?它附近区域导数的符号有什么变化规律? 2

(图 1)

[生]答:函数 y=f(x)在 b 点的函数值比它在点 b 附近区域内其他点的函数值都大,f’(b)=0,而且在点 b 附近 左侧 f’(x)>0,在点 a 附近右侧 f’(x)<0. 四、形成概念 〖引导思考 3〗如图 2,图中 c 、 d 、 e 、 f 、 g 、 h 等点中哪些点与图 1 中 a 点有相同的特征? c、e、g ;哪 些点又与图 1 中 b 点有相同的特征? d、f、h .

〖引导思考 4〗图 1 中的 a 点是函数 y ? f ( x) 的最小值点吗?为什么? [生]:不是,没有最小值. [师]:如果在 a 点附近很小的一个区间内,点 a 是函数 y ? f ( x) 的最小值点吗? [师生共同思考,形成新的概念]: 图 1 中,把 a 点叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a ) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;同理,把 b 点叫做函 数的极大值点, f(b) 叫做函数的极大值. 注:极小值点、极大值点统称为 极值点 ,极大值与极小值统称为 极值 . 极值点是横坐标,极值是纵坐标. 【设计意图】用两个例子使学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程,理解从特殊到一般的数学思 想和归纳的数学方法. 两种情况分析一种,另一种鼓励学生用类比的方法自己归纳,通过思考与讨论,知道极值 刻画的是函数的局部性质,进一步理解极值点和极值的含义. 五、深化概念 [师]★问题 2:上述函数 y ? f ( x) 在极点处的导数值有什么特征? [生答]:导数值为 0 〖引导思考 5〗所有函数的极值点处的导数都是 0 吗? [生答]:不一定(举例 y=|x|) ,注:高中阶段一般都是寻求可导函数的极值点 [师]★问题 3:导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗?为什么? [生答]:不一定(举例 y=x3) 对于可导函数, f '( x0 ) ? 0 是 x0 为极值点的 必要不充分 条件. 【设计意图】通过层层追问,引导学生从正反方向辨析极值的概念,突破难点,强化重点,同时培养学生的观 察、概括及表达能力,帮助学生进一步了解极值点和极值的含义. 〖探究二〗利用导数判别函数的极大(小)值 [师]★问题 4:若函数 y ? f ( x) 在 x0 处取得极值,如何知道 x0 是极大值点还是极小值点? 〖引导思考 6〗极大值点附近区域的左右两边图象有什么特征?附近区域导数的符号有什么变化规律?

3

[师生共同归纳] 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处光滑连续不断时,判别 f(x0)是极大(小)值的方法是: 解方程 f '( x ) ? 0 ,当 f '( x0 ) ? 0 时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f’(x)>0,右侧 f’(x)<0,那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f’(x)<0,右侧 f’(x)>0,那么,f(x0)是极小值. 【设计意图】 通过教师的点拨,帮助学生构建知识体系,巩固、完善、深化对知识、规律内涵的认识. 体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性. 六、范例解析 【例一】 求函数 f ( x ) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值. 3

〖点评〗求可导函数 f (x)的极值的步骤: ⑴ 求导函数 f ?(x); ⑵ 求方程 f ?(x)=0 在函数 f (x)的定义域内的根; ⑶ 检查 f ?(x)在方程根左右两侧值的符号, 如果左正右负,那么 f (x)在这个根处取得极大值; 如果左负右正,那么 f (x)在这个根处取得极小值. 【设计意图】 通过对典型例题的板演, 让学生明确求极值的方法, 突出本节课的重点.培养学生规范的表达能力, 形成严谨的科学态度. 〖练习〗下面几种说法中正确的是__________(填写正确选项序号) ① 点( ?2, ② 函数 ③ 函数 ④ 函数 ⑤ 函数

28 1 3 )函数 f ( x ) ? x ? 4 x ? 4 的极大值点 3 3 f ( x ) 的极大、极小值是唯一确定的 f ( x ) 的极大值一定大于它的极小值 f ( x ) 的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 f ( x ) 是连续不断的光滑曲线,且有两个极大值点,则在两个极大值点之间一定有一个极小值点

【例二】 函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f '( x ) 在(a,b)内的图象如图所示,则函数 f(x)在开区间(a, b)内的极小值点共有( )A

A.1 个 C.3 个

B.2 个 D.4 个

〖引导思考 7〗 从上图可以看出导函数的零点一定是原函数的极值点吗?什么样的零点才是极值点? 答:不一定,导函数中 “相交型” (穿过型)的零点才是极值点, “ (同侧)相切型”的零点不是极值点(拐点).
3 2 2 【例三】 函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a 在 x ? 1 时有极值 10,则 a 的值为( A. -3 或 4 B. 4 C. -3 D. 3 或 4

)B

4

【设计意图】 例二、例三两题重在易错点的梳理,给不同层次的学生提供了不同的收获,进一步分解本课的难 点. 【 例 四 】 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 5 在 x=2 处 有 极 值 , 且 其 图 象 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 6 x ? 2y ? 5? 0 平行. (1)求函数的单调区间;. (2)求函数 f ( x ) 的零点的个数. (3)若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围. 【设计意图】 通过例四,进一步突出重点.使学生从感性认识升华到理性认识. 七、举一反三 1、求下列函数的极值 (1) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (2) f ( x ) ? x ? ln x . 2、若函数 f ( x ) ?

x2 ? a 在 x ? 1 处取得极值,则 a ? __________. x ?1

【设计意图】通过练习,进一步突出重点,使学生从感性认识升华到理性认识. 八、小结提升 [师问生答,师生共同回忆] 1、口答:极值点是如何定义的?如何求极大、极小值点? 2、可导函数的极值点一定是导函数的_______?反之也成立吗? 3、你还可以通过其他方法判断导函数的零点是否为极(大、小)值点吗?(这一问是否太难了?) 答:对导函数在零点处进行二次求导,若大于 0,则是极小值;若小于 0,则是极大值.(此条件不是充要的) 4、 (带着此问题预习下一课时)极值与最值有关系吗?

[板书设计]:
课题:函数的极值与导数 一、极值的定义: 二、求解步骤: 投影 例一: ????????

解 方 程 f '( x ) ? 0 , 当 例四:

f '( x0 ) ? 0 时,
(1) 在 x0 附 近 的 左 侧 学生板演

f ' ( x ) >0 ,右侧 f ' ( x ) <0, 那么 f( x0 )是极大值.
(2) 在 x0 附 近 的 左 侧

f ' ( x ) <0 ,右侧 f ' ( x ) >0, 那么 f( x0 )是极小值.
通过板书,给同学们留下深刻的印象,帮助学生构建清晰的知识体系.

5

备课反思 本节课内容介绍极值的概念,学会求函数的极值,课时 1 课时.因为是初次接触 极值概念,所以本节课重在极值概念的理解渗透,以及函数的极值点与导函数零点 并不等价关系的探析,因此并没有涉及各种类型函数极值的求解以及过多强调极值 的应用,这些内容将安排在最值概念讲解完后再深入学习. 我们目前研究的基本都是可导函数的极值,因此求极值时第一步先求导函数的 零点,再辨别此零点是否是原函数的极值点,或是极大极小值点.导函数的零点只是 它成为极值点的必要条件,还必须具备“穿过 x 轴”这一特征,所以必须从零点的 左右附近进行考量,这也是本节课的重点及难点所在. 对于这个课题,最纠结的是本课如何引入?本设计选用开门见山式的复习导入, 目的是为了直指问题核心,同时又能跟上节课“用导数研究函数的单调性”紧密结 合,一气呵成. 前面的问题 1 到引导思考 4 的安排尊重了教材的呈现方式,问题 2 与 3 的安排 把教材的思考提前了,目的在于不打断思路,对概念进行正反辨析,加强概念深层 次的理解,同时也引出对极大、极小值具体判断的深入——由图象特征再到导数规 律.之后用例一巩固新知,并归纳求极值的一般步骤.例二、例三的安排是对本节课难 点的突破,引导学生进一步理解为何导函数零点只是原函数的极值点的必要条件, 并在导函数的图象上得到判别极值点的另一方法——二次求导.此方法在教材上没有 出现,理解起来也有一定的难度,因此用例二和引导思考 7 与 8 进行了铺垫,给同 学们以新的视角,激发导数应用意识.例四是对整节课的重难点的再次强化,第二问 初步体现了极值的运用. 整节课的备课过程中我们一直在思考以下一些问题: (1)课程顺序的安排是否妥当,重难点的处理是否符合学生的认知规律? (2)这堂课的备课整体上常规化,课堂引入的不足和课堂创新上没有带来耳目一新 的感觉,使得本节课难有亮点,因此只能在课堂生成上出彩,这个风险性较大,如 果借班上课必难有把握. (3)一直纠结问题 3 要不要问,课本上没有强调函数在极点处不可导的情况,我们 参考了高等数学上的讲法,但怕偏离主题,这里仍然是值得商榷的. (4)例二、例三两题的选题和设置应该是很紧凑的,大家认为放在这很好,但是否 有些冲淡重点主题? (5)本节课的小结仍然是学生归纳,老师补充并发问的形式,能否有更好的方法? (6)小结中的问 3 的设置是想激发学生的思维,如何设问是成败的关键,如果学生 自己想不到二次求导,最后就变成教师自己说出来了,这样问题的设置也就失败了, 所以怎么问呢?问 4 恰好又跟最值有关,作为下一节课的设问伏笔,这样安排应该 比较妥当. 教后反思(略)

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