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椭圆专题复习讲义

时间:2014-09-11


椭圆专题复习
【基础知识】
1. 椭圆定义:
(1)第一定义:平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a(2a ?| F2 F2 |) 的动点 P 的 轨迹叫椭圆,其中两个定点 F1、F2 叫椭圆的焦点. 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为椭圆 ; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹不存在; 当 PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 时, P 的轨迹为 以 F1、F2 为端点的线段 (2) 椭圆的第二定义:平面内到定点 F 与定直线 l (定点 F 不在定直线 l 上)的距离之比是常 数 e ( 0 ? e ? 1 )的点的轨迹为椭圆 (利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).

2.椭圆的方程与几何性质:
标准方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

参数关系 性 焦点 质 焦距 范围 顶点 对称性 离心率

a 2 ? b2 ? c 2
(c,0), (?c,0) (0, c), (0,?c)

2c

| x |? a, | y |? b
(?a,0),(a,0),(0,?b),(0, b)

| y |? a, | x |? b
(0,?a),(0, a),(?b,0),(b,0)

关于 x 轴、y 轴和原点对称

e?

c ? (0,1) a

准线

a2 x?? c

a2 y?? c



【题型分类】
题型 1:椭圆定义的运用
[例 1 ] (湖北部分重点中学 2009 届高三联考)椭圆有这样的光学性质:从椭圆 个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个 焦点。 C A
O y

的 一 P D B Q沿
x

今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 A、B 是它的焦点,长

轴长为 2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球(小球的半径不计) ,从点 A 直线出发,经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时,小球经过的路程是( A.4a B.2(a-c) C.2(a+c) D.以上答案均有可能 )

【变式训练】 1.短轴长为 5 ,离心率 e ? △ABF2 的周长为 A.3 2. 已 知 P 为 椭 圆 ( B.6

2 的椭圆两焦点为 F1,F2,过 F1 作直线交椭圆于 A、B 两点,则 3
) C.12 D.24

x2 y2 ? ? 1 上 的 一 点 , M , N 分 别 为 圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1 和 圆 25 16
) D. 15

( x ? 3)2 ? y 2 ? 4 上的点,则 PM ? PN 的最小值为(
A. 5 B. 7 C .13

题型 2:求椭圆的标准方程
[例 2 ]设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且 此焦点与长轴上较近的端点距离为 4 2 -4,求此椭圆方程. 【变式训练】 3. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________. 4.已知方程 x cos? ? y sin ? ? 1,? ? (0,? ) ,讨论方程表示的曲线的形状
2 2
2 2

5. 椭圆对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形,焦点到椭圆上 的点的最短距离是 3 ,求这个椭圆方程.



题型 3:求椭圆的离心率(或范围)
[例 3 ] 在 △ ABC 中, 若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C , ?A ? 300 ,| AB |? 2, S?ABC ? 3 . 则该椭圆的离心率 e ? 【变式训练】 6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为 .

A.

5 4

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

7.已知 m,n,m+n 成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 m n

题型 4:椭圆的其他几何性质的运用(范围、对称性等)
[例 4 ] 已知实数 x, y 满足 【变式训练】 9.已知点 A, B 是椭圆 10.如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,求 x2 ? y 2 ? x 的最大值与最小值。 4 2

x2 y 2 ? ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 )上两点,且 AO ? ? BO ,则 ? = m2 n2

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份, 25 16

过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7 七个点, F 是椭圆的一个焦点则
PF ?P 1 2F ? P 3F ? P 4F ? P 5F ? P 6F ? P 7 F ? ________________

题型 5:椭圆的最值问题
[例 5 ]椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的点到直线 l: x ? y ? 9 ? 0 的距离的最小值为___________. 16 9

【变式训练】

x2 y2 ? ? 1 的内接矩形的面积的最大值为 11.椭圆 16 9



12. P 是椭圆 与最小值

x2 y 2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,求 | PF 1 | ? | PF 2 | 的最大值 a 2 b2

13.已知点 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上的在第一象限内的点,又 A(2,0) 、 B(0,1) , 4

O 是原点,则四边形 OAPB 的面积的最大值是_________.

题型 6:椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例 6 ] 已知椭圆 C 的中心为坐标原点 O ,一个长轴端点为 ? 0 ,1? ,短轴端点和焦点所组成的 四边形为正方形, 直线 l 与 y 轴交于点 P (0, m) , 与椭圆 C 交于相异两点 A、 B, 且 AP ? 3PB . (1)求椭圆方程; (2)求 m 的取值范围. 【变式训练】 14.设过点 P?x, y ? 的直线分别与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 点 Q 与点 P B 两点, 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是 ( A. )

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2
2

B.

3 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? 2
2

C. 3x ?

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

D. 3 x ?

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

15. 如图,在 Rt△ABC 中,∠CAB=90°,AB=2,AC=

2 。一曲线 E 过点 C,动点 P 在曲线 2

E 上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。 (1)建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程; (2)设直线 l 的斜率为 k,若∠MBN 为钝角,求 k 的取值范围。



基础巩固训练 1. 如图所示,椭圆中心在原点,F 是左焦点,直线 AB1 与 BF 交于 D,且

?BDB1 ? 90? ,则椭圆的离心率为(
A

)

3 ?1 2

B

5 ?1 2

C

5 ?1 2

D

3 2

2. 设 F1、F2 为椭圆 值为 A、0 B、1

x2 2 +y =1 的两焦点,P 在椭圆上,当△F1PF2 面积为 1 时, PF 1 ? PF 2 的 4

C、2

D、3

x2 y2 ? ? 1 的一条弦被 A(4, 2) 平分,那么这条弦所在的直线方程是 3.椭圆 36 9
A. x ? 2 y ? 0 B. 2 x ? y ? 10 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. x ? 2 y ? 8 ? 0

4.在 △ ABC 中, ?A ? 90 , tan B ? 离心率 e ? .

3 .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C ,则该椭圆的 4

5. 已知 F1 , F2 为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若 ?PF 1 F2 : ?PF 2F 1 : ?F 1 PF 2 ? 1: 2 : 3, 则此椭圆的离心率为 _________. 6.在平面直角坐标系中,椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0)的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径 a 2 b2


的圆,过点 ?

? a2 ? ,0 ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e = ? c ?

综合提高训练 7、已知椭圆
x2 a2 ? y2 b2 ? 1 (a ? b ? 0) 与过点 A(2,0),B(0,1)的直线 l 有且只有一个公共点
3 .求椭圆方程 2

T,且椭圆的离心率 e ? 8.已知 A、B 分别是椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1 的左右两个焦点,O 为坐标原点,点 P (?1, )在椭 2 2 a b

圆上,线段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。 (1)求椭圆的标准方程;


(2)点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于△ABC,求

sin A ? sin B 的值。 sin C

9. 已知长方形 ABCD, AB=2 2 ,BC=1.以 AB 的中点 O 为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标 系 xoy . (Ⅰ)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; (Ⅱ)过点 P(0,2)的直线 l 交(Ⅰ)中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆 恰好过原点?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. D

y
C

A

O
图8

B

x

参考例题: 1、从椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P 向 x 轴引垂线,垂足恰为椭圆的左焦点 F1 , A 为 a 2 b2

椭圆的右顶点, B 是椭圆的上顶点,且 AB ? ?OP(? ? 0) . ⑴、求该椭圆的离心率. ⑵、若该椭圆的准线方程是 x ? ?2 5 ,求椭圆方程. 2、设 F1 , F2 是椭圆的两个焦点, P 是椭圆上一点,若 ?F1 PF2 ? 只与椭圆的短轴长有关

?
3

,证明: ?F1PF2 的面积




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