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【优化方案】2016高中数学 第二章 平面向量 6平面向量数量积的坐标表示课件 新人教A版必修4


第二章

平面向量

§6 平面向量数量积的坐标表示

1.问题导航 (1)向量数量积的坐标公式适用于任何两个向量吗? (2)向量有几种表示方法?由于表示方法的不同,计算数量积

的方法有什么不同?
(3)由向量夹角余弦值的计算公式可知,两个向量的数量积和 两个向量夹角的余弦值有什么关系?



2.例题导读 P96例1.通过本例学习,学会利用平面向量数量积的坐标表示 计算两向量夹角的余弦值. 试一试:教材P99练习T1你会吗? P98例2,P99例3.通过此二例学习,体会向量在解析几何中的 应用,学会利用平面向量的数量积求曲线的方程. 试一试:教材P100习题2-6B组T6你会吗? P99例4.通过本例学习,学会利用向量的夹角公式求两条直线 的夹角.

试一试:教材P100习题2-6A组T6你会吗?

1.向量数量积的坐标表示 x1x2+y1,即两 y2 向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a· b=____________ 个向量的数量积等于相应坐标乘积的和.简记为“对应相乘 计算和”. 2.两个向量垂直的坐标表示

向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y 2 0. ____________ =

3.度量公式 长度 向量a=(x,y),则|a|=____________ 或|a|2= x2+y2 x2+y2 公式 ____________ 距离 公式
→ P1= (x1, y1), P2=(x2, y2),则 |P1P2|= 2 2 ( x - x ) +( y - y ) 2 1 2 1 ____________________________

非零向量 a 与 b 的夹角为 θ,a=(x1,y1), b= (x2, y2),

夹角 公式

x1x2+y1y2
2 2 2 2 a· b x + y ? x + y 1 1 2 2 则有 cos θ = = _______________________ |a||b|

4.直线 l 的方向向量

(1,k) 给定斜率为 k 的直线 l,则向量 m= ____________ 与直线 l 共
非零 线,把与直线 l 共线的____________ 向量 m 称为直线 l 的方向
向量.

1.判断正误. (正确的打“√”,错误的打“?” ) (1)直线 x+2y-1= 0 的方向向量为 (1,2). ( ? ) (2)若 a= (x1,y1),b= (x2,y2),则向量 a,b 的夹角 θ 满足 cos θ = x1x2+ y1y2
2 x1 + y2 1 2 x2 2 + y2

.( ? )

→ (3)若 A(1,0), B(0,- 1),则 |AB|= 2.( √ )

1 解析: (1)错误.直线 x+ 2y- 1= 0 的方向向量为(1,- ). 2 (2)错误.当 a≠ 0 且 b≠ 0 时,向量 a, b 的夹角θ 满足 cos θ = x1x2+ y1y2
2 x1 + y2 1 2 x2 + y 2 2

,即向量夹角公式的适用范围是 a≠ 0 且

b≠0. (3)正确.由两点间的距离公式,得 → |AB |= ( 0- 1) 2+(-1- 0) 2= 2.

2.已知向量 a=(-4, 7), 向量 b=(5,2),则 a· b 的值是( D ) A. 34 C.-43 B.27 D.-6

解析:因为 a= (- 4,7),b= (5,2),所以 a· b=(-4,7)?(5, 2)=-4?5+7? 2=-20+ 14=-6.

π 3. 已知向量 a= (1, 3),b= (3, m). 若向量 a,b 的夹角为 , 6 则实数 m= ( B ) A. 2 3 C. 0 B. 3 D.- 3

解析:因为 a· b= (1, 3)· (3, m)= 3+ 3m, π 又 a· b= 1 +( 3) ? 3 +m ? cos , 6
2 2 2 2

π 所以 3+ 3m= 1 +( 3) ? 3 +m ? cos ,所以 m= 6
2 2 2 2

3.

1.对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明 (1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化, 其将数与形紧密 联系在一起,使向量的运算方式得到拓展. (2)向量的模的坐标运算的实质 向量的模即为向量的长度, 其大小应为平面直角坐标系中两点 间的距离,如 a= (x, y),则在平面直角坐标系中,一定存在 → → 点 P(x,y),使得OP=a=(x,y),故 |OP|= |a|= x2+ y2,即 |a| 为点 P 到原点的距离;

→ → 同样若 A(x1,y1), B(x2, y2),则AB= (x2-x1, y2- y1),故 |AB |= ( x2-x1) 2+( y2- y1)2,即平面直角坐标系中任意两点 间的距离公式. 由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐 标系中两点间的距离的运算.
2.在不同表示形式下求向量夹角的策略 (1)当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求出 a· b,|a| 和|b|或直接得出它们之间的关系. (2)当 a,b 是坐标形式时,则可直接利用公式 cos θ = x1x2+y1y2
2 x2 + y 1 1? 2 x2 + y 2 2

(其中 a=(x1,y1), b=(x2,y2))求解.

3.如何用向量所成的角来判断直线所成的角 可以借助向量所成的角来判断直线所成的角, 但必须注意两者 的范围不同,向量夹角的范围是 [0,π ],而直线夹角的范围是

?0,π ?. 2? ?
设 m, n 分别为直线 l1, l2(l1 与 l2 不重合 )的方向向量,θ 为 m 与 n 的夹角, α 为 l1 与 l2 所成的角,则 (1)当 θ= 0°或 180°时, l1∥ l2,此时 α=0°, (2)当 0° <θ ≤90°时, l1 与 l2 所成的角 α= θ, (3)当 90° <θ <180°时, l1 与 l2 所成的角 α= 180°- θ.

平面向量数量积的坐标运算
已知向量 a=(1,3),b=(2,5),c=(2, 1).求: (1)a· b; (2)(a+b)· (2a-b); (3)(a· b ) c, a (b · c);(4)(a+b)2,(a+b)· (a-b). (链接教材 P98 例 1)

[解 ]

(1)a· b=(1, 3)· (2, 5)= 1?2+3?5= 17.

(2)法一:因为 a+b= (1, 3)+(2, 5)=(3, 8), 2a- b= 2(1, 3)- (2,5)= (2,6)- (2,5)= (0, 1), 所以(a+ b)· (2a-b)= (3, 8)· (0, 1)=3?0+ 8? 1= 8. 法二:因为 a=(1, 3),b=(2, 5), 所以 a2= 12+ 32=10,b2= 22+ 52=29, a· b=1?2+ 3? 5= 17. 所以(a+ b)· (2a-b)= 2a2+a· b- b2 = 2? 10+17- 29= 8.

(3)(a· b)c= 17c= 17(2, 1)=(34, 17), a(b· c)= a((2, 5)· (2, 1))= 9(1,3)= (9,27). (4)因为 a+b=(3, 8), 所以(a+ b)2= |a+b|2=32+ 82=73. 因为 a=(1, 3),b=(2, 5) 所以 a2= 12+ 32=10, b2=22+ 52=29, 所以(a+ b)· (a- b)=a2- b2= 10- 29=- 19.

方法归纳 (1)关于数量积的坐标运算, 解题时常有两条途径: 一是先将各 向量用坐标表示,直接进行数量积运算.二是先利用数量积的 运算律将原式展开,再依据已知计算. (2)在正确理解公式 a· b= x1x2+ y1y2 的基础上,熟练运用 a2= |a|2,(a+ b)· (a- b)= |a|2- |b|2,(a+b)2= |a|2+ 2a· b+ |b|2 及其变 形,并在练习中总结经验,提高运算能力.

1. (1)已知向量 a= (1,2), b= (2,x),且 a· b=-1,则 x 的 值等于 ( D ) A. 1 2 B.- 1 2

3 C. 2 则向量(a+2b)? c= ( C ) A. (- 15,12) C.-3

3 D.- 2

(2)设向量 a= (1,-2),向量 b= (- 3, 4),向量 c=(3, 2), B.0 D.- 11

(3)已知向量 a= (- 1, 2),b=(3, 2). ①求 a· (a- b); ②求(2a+b)· (a-b).

解:(1)因为 a= (1,2), b= (2,x), 3 所以 a· b=(1,2)· (2,x)= 1? 2+ 2x=-1,解得 x=- ,故选 2 D. (2)依题意, a+ 2b= (1,- 2)+2(- 3, 4)= (-5,6), 所以(a+ 2b)· c= (- 5, 6)· (3, 2)=- 5? 3+ 6?2=- 3.故选 C.

(3)①法一:因为 a= (-1,2), b= (3,2), 所以 a-b=(-4, 0). 所以 a· (a- b)= (-1,2)· (- 4, 0)=(-1)? (- 4)+2?0=4. 法二:a· (a- b)=a2- a· b = (- 1)2+22- [(-1)? 3+ 2? 2]=4. ②因为 2a+b= 2(- 1,2)+ (3,2)=(-2,4)+ (3,2)= (1,6), a-b=(-1,2)- (3,2)= (- 4, 0), 所以(2a+b)· (a-b)= (1, 6)· (- 4, 0)=- 4.

向量的夹角与垂直问题
(1)已知向量 a= (2,1), b= (1,k),且 a 与 b 的夹角为 锐角,则实数 k 的取值范围是( B A. (- 2,+∞) 1? ?1 ? B. - 2,2 ∪ 2,+∞ ? ? ? ? ? C. (-∞,- 2) D. (- 2, 2) (2)已知 a=(3,4),b=(2,-1),且 (a+mb)⊥ (a-b),则实数 m 为何值? (链接教材 P100 例 4) )

[解 ]

1 (1)当 a, b 共线时, 2k-1=0,k= ,此时 a, b 方向相 2

同,夹角为 0°,所以要使 a 与 b 的夹角为锐角,则有 a· b>0 1 且 a,b 不同向.由 a· b= 2+ k>0 得 k>- 2,且 k≠ ,即实数 k 2 1 1 的取值范围是(-2, )∪ ( ,+∞ ). 2 2 (2)a+ mb= (3+ 2m,4- m), a-b=(1, 5), 因为(a+ mb)⊥ (a- b), 所以(a+ mb)· (a- b)=0, 即 (3+2m)? 1+ (4-m)? 5= 0, 23 所以 m= . 3

本例(1)条件换成“ a 与 b 的夹角为钝角”,求实数 k 的取值范 围.

解:若 a 与 b 的夹角为钝角,则 a· b<0 且 a,b 不反向,由 a· b = 2+ k<0 得 k<- 2,经检验对 k<- 2 的所有值均满足 a 与 b 的夹角为钝角,即实数 k 的取值范围是(-∞,- 2).

方法归纳 利用数量积求两向量夹角的步骤

2.(1)已知 a= (1, 1), b= (0,- 2),若 ka- b 与 a+ b 的夹角 为 120°,则 k 的值为 ( C ) A.- 1+ 3 C.-1± 3 B.- 1- 3 D. 1± 3

→ → (2)在△ ABC 中,AB= (2,3),AC= (1, k),且△ ABC 的一个 内角为直角,求 k 的值.

解:(1)因为 a= (1,1), b= (0,- 2), 所以 ka- b= (k,k+2), a+b=(1,-1),所以 |ka-b|= k2+(k+2)2, |a+ b|= 12+(- 1) 2= 2. 所以(ka-b)· (a+b)= (k, k+2)· (1,- 1) = k- k- 2=- 2, 又 ka- b 与 a+ b 的夹角为 120°, ( ka-b) · ( a+ b) 所以 cos 120°= |ka-b||a+ b|



-2 k2+(k+2)2? 2

1 =- . 2 整理得 k2+2k- 2= 0, 解得 k=- 1± 3. → → (2)当 A= 90°时,AB? AC=0, 所以 2?1+3? k= 0, 2 所以 k=- ; 3

→ → 当 B= 90°时,AB? BC=0, → → → BC=AC- AB= (1- 2, k- 3) = (- 1, k- 3), 11 所以 2?(-1)+ 3? (k-3)= 0,所以 k= ; 3 → → 当 C= 90°时,AC? BC=0, 所以-1+k(k-3)= 0, 3± 13 所以 k= . 2

平面向量数量积的综合运用
已知△ ABC 的顶点分别为 A(2,1),B(3,2),C(-3,- 1), BC 边上的高为 AD,求:

→ (1)D 点的坐标以及 |AD |; (2)判断△ ABC 的形状,并说明理由. (链接教材 P98 习题 2- 6 A 组 T2、 T5)

[解 ] (1)设 D 点的坐标为 (x, y), 由题意可知 BC⊥ AD, → → 又 B, C, D 三点共线,故BC∥BD , → 因为AD = (x- 2, y- 1), → → BC= (- 6,- 3),BD = (x-3, y-2), ? ?( x- 2)?(-6)+( y- 1)?(- 3)= 0, 所以? ? ?( y- 2)?(- 6)-(x- 3)?(- 3)= 0,

? 解得? 7 y = ? 5,

9 x= , 5

→ ? 1 2? 所以AD = -5, 5 ,

?

?

→ 所以 |AD |=

2 2 1 2 ?- ? +? ? = 5, ? 5 ? ?5 ? 5

9 7? → 5 ? , 所以 D 点的坐标为 5 5 , |AD |= . ? ? 5 → → (2)因为AC= (-5,- 2),AB= (1, 1), → → 所以AC?AB= (- 5)?1+(-2)? 1=- 7, → |AC|= (-5) 2+(- 2) 2= 29, → |AB|= 2.

→ → AC?AB - 7 所以 cos A= = <0, → → 58 |AC||AB| 所以 A 为钝角. 所以△ ABC 为钝角三角形.

方法归纳 利用平面向量解决平面几何问题时,就是将几何中的平行、垂 直、线段的长、夹角等问题转化为求向量的共线,数量积模长 及向量的夹角等运算,即将“形”的求解与证明转化为“数” 运算问题.解决此类问题的关键就是建立恰当的直角坐标系, 使几何中的元素用向量表示.

3.(1)已知 a=(1, -1), b=(λ, 1),若 a 与 b 的夹角 θ 为钝角,

(-∞,-1)∪(-1,1) . 则 λ 的取值范围是_____________________
(2)如图所示,四边形 ABCD 是正方形,P 是 对角线 DB 上的一点, 四边形 PFCE 是矩形, 试用向量的方法证明 PA⊥EF.

解:(1)因为 a= (1,- 1),b=(λ, 1), 所以 |a|= 2, |b|= 1+ λ2, a· b= λ- 1.

?λ -1<0, 因为 a, b 的夹角 θ 为钝角,所以? ? 2? 1+ λ2≠1-λ,
? ?λ <1, 即? 2 所以 λ<1 且 λ≠-1, ?λ + 2λ+ 1≠ 0, ?

所以 λ 的取值范围是 (-∞,-1)∪ (- 1, 1).故填 (-∞,- 1)∪(-1, 1).

(2)证明:以点 D 为坐标原点, DC 所在直 线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系.设 → 正方形的边长为 1, |DP|= λ,则 A(0, 1), P? 2 2 ? 2 ? ? , E λ , λ 1, λ , ?2 2 ? ? 2 ? 2 ?, ? 2 λ ,0 ?

F?

→ → 2 2 2 2 于是PA=?- λ, 1- λ ?,EF=? λ -1,- λ ?. ? 2 2 ? ?2 2 ?

→ → 2 2 2 2 因为PA?EF=?- λ ??? λ -1?+ ?1- λ ???- λ ?= ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 2 2 2 ? ? - λ ? λ- 1+ 1- λ =- 2 λ ? 0=0, 2 ?2 2 ? → → 所以PA⊥EF,即 PA⊥ EF.

规范解答

与数量积的坐标运算相关的综合 问题的解法

→ → → (本题满分 12 分 )已知OP= (2,1), OA= (1,7), OB= (5, 1),设 C 是直线 OP 上的一点 (其中 O 为坐标原点). → → → (1)求使CA?CB取到最小值时的OC; (2)对 (1)中求出的点 C,求 cos∠ ACB.

[解 ]

→ → (1)因为点 C 是直线 OP 上一点,所以向量OC与 OP共线

,2 分 → → → 设OC= tOP,则OC= (2t, t). → → → CA=OA- OC= (1- 2t, 7- t), → → → CB=OB- OC= (5- 2t, 1- t), 4分

→ → CA? CB= (1-2t)(5-2t)+ (7- t)(1- t)= 5t2- 20t+12= 5(t-2)2 - 8, 6 分 → → → 当 t= 2 时,CA? CB取得最小值,此时OC= (4,2). 8 分

→ (2)当OC= (4, 2)时, → → CA= (- 3, 5),CB= (1,-1), → → → → 所以 |CA|= 34, |CB|= 2,CA? CB=- 8, → → CA?CB 4 17 所以 cos∠ ACB= =- .12 分 17 → → |CA||CB|

[规范与警示 ]

(1)在

→ → → 处, 由向量OC与 OP共线建立关系式OC

→ = tOP,是正确解答本题的关键,易因想不到此关系造成失 分.在 → → 处,利用向量的线性运算得到CA, CB的坐标,是正

→ → 确建立数量积“CA?CB”的函数关系的关键,也是失分点.

(2)①注意隐含条件的挖掘 对题目中的条件要认真分析, 找出一些隐含条件, 如本例中“ C → → 是直线 OP 上的一点”隐含着“向量OC与 OP共线”. ②注意函数思想在解决最值中的应用 涉及求解最值的问题,常常先通过题设建立函数关系式,在此 基础上,借助函数知识求解,如本例第(1)问.

1.已知向量 a= (2,- 1),b= (3,x),若 a· b= 3,则 x=( D ) A. 6 C. 4 B.5 D. 3

解析:根据平面向量坐标下的运算法则,可知 a· b=2?3+(- 1)x= 6- x=3,求解方程可以得到 x= 3,故选 D.

2.已知向量 a=(1,n),b= (-1,n),若 2a- b 与 b 垂直,则 |a|=( A ) A.2 C.1 B. 2 D.4

解析:由题意得(2a- b)· b= (3, n)· (- 1, n)=-3+ n2=0,所 以 n2=3, |a|= 1+3= 2.

3.设向量 a 与 b 的夹角为 θ,且 a=(3,3),2b-a=(- 1,1),

3 10 10 则 cos θ = ________ .

3?1+3?2 3 10 解析:b=(1,2),cos θ = = . 10 3 2? 5

4.已知 a= (4,-3),b=(2,1),若 a+ tb 与 b 的夹角为 45°, 1 则实数 t=________ .

解析:因为 a=(4,- 3), b= (2, 1), 所以 a+ tb=(2t+ 4, t-3),所以(a+ tb)· b=5t+5, 又因为 |a+ tb|= ( 2t+ 4) 2+( t-3)2= 5t2+10t+ 25, |b|= 5,且 (a+ tb)· b= |a+ tb||b|cos 45°, 2 所以 5t+5= 5t +10t+ 25? 5? , 2
2

整理得 t2+ 2t- 3= 0,解得 t= 1 或 t=- 3, 经检验知 t=- 3 不成立,故 t= 1.


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