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江苏省如东县掘港高级中学高一数学期中考试试题


江苏省如东县掘港高级中学高一数学期中调研试题 江苏省如东县掘港高级中学高一数学期中调研试题 高一数学期中调研
班级 ____________ 姓名 ____________ 学号 ____________

(共 小题, 一、填空题: 共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 填空题: ( 1.已知集合 M = {( x, y ) x + y =

2} , N = {( x, y ) x ? y = 4} ,那么集合 M I N = . 2. 定义域为 R 的函数 y= f (x)的值域为[1,2],则函数 y= f (x+2) 的值域为 3. A 、 B 是两个非空集合,定义集合 A ? B = { x x ∈ A且x ? B} , . 若 M = { x ? 3 ≤ x ≤ 1} , N = { y y = x 2 , ?1 ≤ x ≤ 1} ,则 M ? N = 4.已知 f ( x ) =(2-3k)x+2k+1 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围是 .

? x2 + 1 5.已知函数 y = ? . ? ?2 x

( x ≤ 0) ( x > 0)

,若 f(

x )=5 , 则 x 的值是
o o

6.已知幂函数 y = (m 2 ? 5m ? 5) x 2 m +1 在 (0, ∞) 上为减函数,则实数 m = . + 7.已知f(x)为奇函数, g ( x ) = f ( x ) + 9, g ( ? 2) = 3, 则 f (2) = . 8.设10 = 2,10 = 3,则用 a 、b 表示 log 5 12 ,则 log 5 12 = . 9.函数 y= log 2 (2 x ? x 2 ) 的单调递增区间是 . 10.函数 y = x 2 ? 3 x ? 4, x ∈ [?1, m] 的值域为 [? .
25 ,0] ,则实数 m 的取值范围是 4
a b

11.函数 y = a x + b(0 < a < 1) 的图象与 x 负半轴相交于一点,则 b 的取值范围为 . 12.若函数 y = ( 2 ? a ) x 2 + 2 ( 2 ? a ) x + 4 的定义域为 R ,则 a 的取值范围是 . 13.已知:两个函数 f ( x) 和 g ( x) 的定义域和值域都是 {1, 2 , } ,其定义如下表: . 3
x f(x) 1 2 2 3 3 1 x 1 2 3 3 2 x g[f(x)] 1 2 3

g(x) 1

填写后面表格,其三个数依次为:
? 14.已知 f (x ) = ? x + 2 , x ∈ [ 0 , 2 ) ,定义 f n ( x) = f ( f n ?1 ( x)), 其中f1 ( x) = f ( x) ,则 . 1 1 ? ? 2 (1 ? x ), x ∈ [ 1 ,1] ? 2

?1? f 2011 ? ? = ?5?

.

第1页

本题共 道题, 二、解答题:(本题共 6 道题,共计 90 分) 解答题: 本题 15. (本题 15. 本题 14 分)定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上是单调递增函数. ( (1)试判断并证明 f ( x ) 在 (?∞, 0) 上的单调性;(2)若 f (1) < f (lg x ) ,求 x 的取值范围.

. 16. 本题 14 分)已知函数 f ( x) = log a ( x + 1) , g ( x) = log a (4 ? 2 x) ( a > 0 ,且 a ≠ 1 ) . ( (1)求函数 f ( x ) ? g ( x ) 的定义域; (2)求使函数 f ( x ) ? g ( x ) 的值为正数的 x 的取值范围.

第2页

17. 本题 14 分)设集合 A = x x 2 ? 4 x = 0 ,集合 B = x x 2 ? 2( a + 1) x + a 2 ? 1 = 0 . ( (1)若 A U B = B ,求实数 a 的值; (2)若 A I B = B ,求实数 a 的取值范围。

{

}

{

}

18.(本题满分 16 分) 某批发公司批发某商品,每件商品进价 80 元,批发价 120 元,该批发商为 . 鼓励经销商批发,决定当一次批发量超过 100 个时,每多批发一个,批发的全部商品的单价就降低 0.04 元,但最低批发价不能低于 102 元.求下列问题: (1)当一次订购量为多少个时,每件商品的 实际批发价为 102 元? 2) ( 当一次订购量为 x 个, 每件商品的实际批发价为 P 元,写出函数 P = f ( x) 的表达式; (3)根据市场调查发现,经销商一次最大定购量为 500 个,则当经销商一次批发多少个 零件时,该批发公司可获得最大利润.

第3页

19. 本题 16 分) . ( 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数, x ≥ 0 时, f ( x ) = ( ) . 且 (I) f ( ?1) 求
x

1 2

的值; (II)求函数 f (x ) 的值域 A ; (III)设函数 g ( x ) = 若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

? x 2 + (a ? 1) x + a 的定义域为集合 B ,

1 2 2 是偶函数.(1)求 f ( x) 的解析式; (2)已知 t < 2 , g ( x ) = [ f ( x ) ? x ? 13] ? x ,求函数 g ( x ) 在[ t , 2]上的最大值和最小值; (3)函数 y = f ( x) 的图象上是否存在这样的点,其横坐标是正整数,纵坐
2 ,且函数 y = f ( x ? ) 20. 本题 16 分)已知二次函数 y = f ( x) = x + bx + c 的图象过点(1,13) . (

标是一个完全平方数?如果存在,求出这样的点的坐标;如果不存在,请说明理由.

第4页

江苏省如东县掘港高级中学高一数学期中调研试题参考答案
(共 小题, 一、填空题: 共 14 小题,每题 5 分,共 70 分) 填空题: ( 1. {( 3, ?1)} ;2. [1,2];3. [ ?3,0 ) ;4.k> . . . 9.(0, 1);10.[ . .

2 2a + b ;5.-2;6. ?1 ;7.6;8. ; . . . . 1? a 3

3 7 ,4];11. b < ?1 ;12. [ ?2,2] ;13.3,2,1 ;14. . . . . . 2 10
设 x1 < x 2 < 0 ,则 ? x1 > ? x 2 > 0 ,

二、解答题:(共 6 道题,共 90 分) 解答题: 共 道题, ∵ f ( x ) 在 (0,+∞) 是单调增函数∴ f (? x1 ) > f (? x 2 ) 又∵ f ( x ) 是偶函数,∴ f ( x1 ) > f ( x 2 ) (2)由 f ( x ) 是偶函数, f (1) < f lg x 又 f ( x ) 是 (0,+∞ ) 上的单调增函数 ∴ lg x > 1 ∴ x > 10或0 < x < 15、 15、解:(1) f ( x ) 在 (? ∞,0 ) 是单调减函数

∴ f ( x ) 在 (? ∞,0) 是单调减函数

(

)

………………………8 分

1 为所求 x 的取值范围. 10

……………14 分

16.解:解: . (1)由题意可知,

f ( x) ? g ( x) = log a ( x + 1) ? log a (4 ? 2 x) ,
由?

……………1 分 ……………3 分 ……………7 分

?x +1 > 0 , ?4 ? 2 x > 0

∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域是 (?1, 2) . (2)由 f ( x) ? g ( x) > 0 ,得

f ( x) > g ( x) ,
① ……………8 分

即 log a ( x + 1) > log a (4 ? 2 x) ,

当 a > 1 时,由①可得 x + 1 > 4 ? 2 x ,解得 x > 1 , 又 ?1 < x < 2 ,∴ 1 < x < 2 ; 当 0 < a < 1 时,由①可得 x + 1 < 4 ? 2 x ,解得 x < 1 , 又 ?1 < x < 2 ,∴ ?1 < ……………11 分

x < 1.

……………13 分

综上所述:当 a > 1 时, x 的取值范围是 (1, 2) ; 当 0 < a < 1 时, x 的取值范围是 (?1,1) . 17.解: . (1)解方程 x ? 4 x = 0 得 x1 = 0, x 2 = 4
2

……………14 分 ∴ A = {0,4} ……………1 分

∵ AU B = B

∴A? B

……………2 分

又∵集合 B 最多有两个元素 ∴ B = A = {0,4} 即 0 和 4 是方程 x 2 ? 2( a + 1) x + a 2 ? 1 = 0 的两个根……………4 分
第5页

∴?

?0 + 4 = 2(a + 1)
2 ?0 × 4 = a ? 1

解之得 a = 1

∴实数 a 的值为 1

……7 分

(2)∵ A I B = B ∴ B ? A

………………8 分 ……………10 分

若 B = φ ,则 ? = 4( a + 1) 2 ? 4( a 2 ? 1) < 0 解得 a < ?1

2 2 若 B = {0} 或 B = {4} ,则 ? = 4( a + 1) ? 4( a ? 1) = 0 解得 a = ?1

经检验 a = ?1 符合题意 若 B = {0,4} ,则由(1)可知 a = 1 综上所述:实数 a 的取值范围为 a ≤ ?1 或 a = 1 18.解: . (1)设一次订购量为 100 + n (n ∈ N ) ,

………………12 分 ………………13 分 ……………14 分

则批发价为 120 ? 0.04n ,令 120 ? 0.04n = 102 ,∴120 ? 102 = 0.04n, ∴ n = 450 , 所以当一次订购量为 550 个时,每件商品的实际批发价为 102 元.………… 5 分 (2)由题意知
120 0 ≤ x ≤ 100, x ∈ N ? f ( x) = ? ?120 ? 0.04( x ? 100) 100 < x ≤ 550, x ∈ N

………… 10 分

(3)当经销商一次批发个零件 x 时,该批发公司可获得利润为 y ,根据题意知:
40 x, 0 ≤ x ≤ 100 ? y=? ?[40 ? 0.04( x ? 100)] x, 100 < x ≤ 500

………… 12 分

设 f1 ( x) = 40 x ,在 x = 100 时,取得最大值为 4000 ; 设 f 2 ( x) = ?0.04 x 2 + 44 x = ?0.04( x ? 550)2 + 0.04 × 5502 所以当 x = 500 时, f 2 ( x) 取最大值.

…… 15 分

答:当经销商一次批发 500 个零件时,该批发公司可获得最大利润.……… 16 分 19.解:解: . (I) Q 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数 ∴ f (?1) = f (1) ...1 分 又 x ≥ 0 时, f ( x ) = ( ) ∴ f (1) =
x

(II)由函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数,可得函数 f (x ) 的值域 A 即为 x ≥ 0 时, f (x ) 的取值 范围. ..7 分 当 x ≥ 0 时, 0 < ( ) ≤ 1
x

1 2

1 2

f (?1) =

1 2

...5 分

1 2

.....9 分 ......10 分

故函数 f (x ) 的值域 A = (0,1] (III)Q g ( x ) =

? x 2 + (a ? 1) x + a
....11 分

∴ 定义域 B = {x ? x 2 + (a ? 1) x + a ≥ 0}
第6页

由 ? x 2 + ( a ? 1) x + a ≥ 0 得 x 2 ? ( a ? 1) x ? a ≤ 0 , 即 ( x ? a )( x + 1) ≤ 0

....12 分 .....16 分

Q A ? B ∴ B = [?1, a ], 且 a ≥ 1

∴ 实数 a 的取值范围是 {a a ≥ 1}
2

20.解: (1)因为函数 y = f ( x ? ) 是偶函数,所以二次函数 f ( x ) = x + bx + c 的对称轴方程为

1 2

1 x = ? ,故 b = 1 . -----------2 分 2 2 又因为二次函数 f ( x ) = x + bx + c 的图象过点(1,13) ,所以 1 + b + c = 13 ,故 c = 11 .
因此, f ( x ) 的解析式为 f ( x ) = x + x + 11 .
2

-------------4 分
2 2

(2) g ( x ) = ( x ? 2 ) ? x 由此可知 g ( x )max =0.

当 x ≤ 0 时, g ( x ) = ?( x ? 1) + 1 ,当 x > 0 时, g ( x ) = ( x ? 1) ? 1 , ------------7 分

当 1 ≤ t < 2 , g ( x )min = t ? 2t ;
2

当1 ?

当 t < 1 ? 2 , g ( x )min = ?t + 2t ;
2

2 ≤ t < 1 , g ( x )min = ?1 ;

-------------10 分

(3)如果函数 y = f ( x) 的图象上存在符合要求的点,设为 P ( m, n 2 ) ,其中 m 为正整数, n 为自然 数,则 m + m + 11 = n ,从而 4n 2 ? (2m + 1) 2 = 43 ,
2 2

即 [2n + (2m + 1)][2n ? (2m + 1)] = 43 .

-------------------12 分

注意到 43 是质数, 2n + (2m + 1) > 2n ? (2m + 1) , n + (2m + 1) > 0 , 且 2 所以有 ? 解得 ?

?2n + (2m + 1) = 43, ?2n ? (2m + 1) = 1,

?m = 10, -------------------15 分 ?n = 11. 因此,函数 y = f ( x) 的图象上存在符合要求的点,它的坐标为(10,121).------------------16 分
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第7页


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