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第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克


中等数学

第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2013)10—0024—04

第一天
1.(50分)如图l,已知△ABC满足AB <AC,M为边BC的中点,过点A的OD与边 BC切于点曰,且与线段AM交于点D,与酗
的延长线交于点E,

过点C且平行于BE的

第二天
5.(50分)如图2,已 知锐角△ABC的外接圆 为Go,AD为630的直径,
过点B、C且垂直于BC的 直线与CA、BA的延长线 分别交于点E、F.证明: 么ADF=么BED.

直线与BD的延长线交于点F,FE、CB的延
长线交于点G.证明:GA=GD.

6.(50分)设函数,: R+斗R.若八戈2)一石3、 八戈3)一戈4均严格单调递 增,证明:
八戈5)+100(f(戈5)一z 7)
1冬I 1

图2

2.(50分)已知口、6、C是三个互异实数. 若在二次方程
戈2+O,X+6=0,(!)
戈2+如+c=O, 戈2+瓯+o=0

严格单调递增. 7.(50分)证明:不存在大于7的素数P, 使得P堙+5
于120.
039×5

041的正因子的个数小

② ③

8.(50分)在4n×4n(n∈N+)实数表 中,每个数的绝对值均不超过1,所有数的和 为0.已知数表中的每行各数之和的绝对值、 每列各数之和的绝对值均不小于C.求c的最 大可能值.

中任意两个均恰有一个公共根,求口2+62+

c2的值. 3.(50分)对任意的o∈{0,l,…,9}, 证明:集合X={[n以]l凡∈N+}中有无穷 多个元素,其个位数字为口,其中,[戈]表示不 超过实数算的最大整数. 4.(50分)已知2 013个人,每人分别持
有1,2,…,2 013张卡片,按任意顺序围坐在

参考答案
第一天
1.因为么DAC=么EBD=么DFC,所

以,4、D、C、,四点共圆,设该圆为00:.
由MC2=MB2=MA?MD,知MC与00l 切于点C.

圆桌旁.一次传递是指某人将自己手中的一 张卡片传给与其相邻的两个人之一.证明:若 经过m次传递后,使得每个人持有的卡片数 相同,且m最小,则存在相邻两人,他们相互
之间没有传递卡片.

因为BE∥CF,所以,G是OD与00。的
一个位似中心. 又AD是00与00,的公共弦,于是,点

万方数据

2013年第lO期

G在AD的中垂线00.上. 故CA=GD.

%+,=[,啦+砸]≤[n厄+10]=%+10,
故只能戈。+7=石。+10=lo(k+1)+a+1. 同理,戈。+14 i戈。+7+10=lo(k+2)+a+l,
…,菇。+70=戈。+63+10=10(k+IO)+a+1. 由702
X2=9 800<9
D一口

2.由方程①、②知其公共根为P=孚兰.
同理,方程②、③,方程①、③的公共根分

801=99×99,知

别为g=焉,r=舞.
于是,pqr=一1.

戈。埘=[,蚯+70砸]
≤[,“互+99]=10(k+lO)+n,
矛盾.

若P、q、r中有两个相等,不妨设P=g,则 三个方程有公共根P.于是,



因此,集合X={[n在]I凡∈N+}中有
j a=b=c.

r号P

2r 2 q

2—1

无穷多个元素,其个位数字为a. 4.将圆桌旁2 013人顺时针依次记为
Ao,A。,…,A:。(,l=1 006).设Ai手中持有

矛盾.

下设p、扒r互异.则三个方程有形式 (茗一P)(石一r)=0, (并-p)(省一g)=0, (毳一g)(茗一r)=O.
于是,a=-p—r=qr,b=一g-p=rp,


ai+(n+1)张卡片.则(ao,al,…,a2。)是 (一n,一结+l,…,一1,0,1,…,玮)的——个{{}
2“

列,且∑口i=o.


2一r—g。胛?

设所有传递结束后,A川传给A;(i=0, l,…,2n,A2川=Ao)共髫i张卡片(若筏<0, 表示Ai传给A…的卡片一戈i张). 由题设知
xi+ai一菇i—l=0


故-2(p+q+r)=朋+旷+,p,

一1=(j+1)(p+1)(r+1)
=Pq+gr+伊+p+9+L

于是,P+q+,.=l,pg+矿+rp=-2. 贝0
a2+b2+c2

=2(p2+q2+r2+pg+qr+rp)=6.

j石i=银l飞=…=%一∑哆『.
』=O 2a



3.记菇。=[砸].显然,

戈。+。=[,砸+厄]纠析+1]=%+1,
且‰+】=[,砸+厄]≤[,短+2]=戈。+2,
即茗川一茗。=1或2.

特别地,%=%一∑ai.
故所有传递次数之和为
2n
,n f

A=∑Ixil-∑i‰一∑吩i.
-2u


20

J2U

假设集合X={[砸]l n∈N+}中只有
有限个元素,其个位数字为a.则存在肘∈

将∑n如=o,1,…,2n)按从小到大重
新排列为bo,bl'.一,b:。.则存在io∈{0,1,


N+,使得当n>,Jl'/时,%=[,啦]的个位数字
均不为a.

…,2n},使得b。=∑q.
J20

由茗。+l一戈。=1或2,并结合lim 知存在n>iM,使得 戈。=lOk+a+1(k∈N+).

x。=+∞,

2n

故A=∑Ix:。一bi
i=0
l=O



=Ix:。一6。I+∑(‰一叫+忆…一并:。I) ≥∑(6训矿bi),

由x。+,=[,啦+砸]

≥[施+9]=菇。+9,
万方数据

中等数学

当且仅当省:。=b。时,A取最小值.

此时,甄(江0,1,…,2乃一1)由菇2。及式
①唯一确定.

而以茗30)一矸100

42

=八x30)一苎竺i专芋署竺+


犒埸蚺^2矿蚤q 6n一蚤nJ-0'
表示Aio与A/o+l之间始终没有传递卡片.

南【x45+k帅一而100(1删∥】,
故只需证

第二天
5.如图3,联结BD、CD. 则么DBF

F(戈)45+Ax4。_而100(1+J=【)算42
严格单调递增即可.

且器=华
BC

=么DCE=90。.

cos么BCE

sin[BCD

BD

sin[CBD—CD‘

故△DBF∽△DCE j么BDF=么cDE j/BDE=Z
CDF.

附 ≥5丽圳蕊z,
而9戈5诎=芋小擎×3
故只需取正数.:I满足
图3

} 最/\



注意到,

%)=彬+40舻一4102010,、1+A)∥1>O
铮9戈5+8A>而840(i.+J;1)菇2.

因为BE//CF,所以,A是线段cF与EB 的一个位似中心.设点D关于此位似变换的 对应点为D’.则 么BDE=么FDC=/BD’E. 于是,曰、D、D’、E四点共圆. 故/ADF=么AD’B=/BD’D=/BED. 6.由火茗2)一石3、厂(髫3)一菇4严格单调递 增,知ffx30)一算45、f(x30)一z加均严格单调递 增.故对正数A(待定),有

蕊>盖(t+?
铮百101×12b一十一

而一+j一号=等×3+雩X2
而汀+A一了=等-×
+竺石一

≥5



一:厩’



故取.:【=÷,上式等号成立.此时,只需证

£丛墨竺)二堡竺!±!£丛苎竺)二苎竺2
1+A

百101此÷>嘉§两丽>舞
铮孚>(裟)5铮?o?5>6
x7s×,os e亭lOl 5=(100+1)5>1010+5×108 >1.008 42×10m=6×75×105.

=f(x3。)一x14s了+Arx4。
严格单调递增.

另一方面,结论等价于八戈30)一嚣}42严
格单调递增. 万方数据

7.设d(n)是r/,的所有正因子的个数. 对大于7的素数P,由费马小定理知

2013年第lO期


27

I(P4—1),7 l(p6—1)j

35

I(p12—1).

数为


设P=2k+1.由二项式定理得
(2艮+1)12—1

O, 1,

1≤i、j≤2n或2n+1≤i、_,≤4,I;

a#=2

1≤i≤2n,2n+1≈≤4n;
2,l+1≤i≤4n,l≤丁≤2m

兰c:2(2后)3+c:2(2k)2+c:22后
---66

【一1,

x4k2+24k--24k(1lk+1)

下面假设每行每列各数的和的绝对值均 大于2玮. 设有2n+髫列的数和为正(称为正和 列),2n一并列的数和为负(称为负和列),其 中,l石}≤2站一1;2n+Y行的数和为正(称为

-o(mod24), 即24 l(P12—1).

设P=3t+r(,-∈{1,2}).则

(3五+r)12—1-c123kr¨+r12—1
三r12—1--O(mocl 32), 即32 I(P12一1). 综上,(24×32×5×7)I(P12—1). 故P12+5
039×5 041=p12—1+5 0402

正和行),2n—Y行的数和为负(称为负和
行),其中,lyl≤2n—1. 则所有正和列中各数的和 u>2n(Zn+戈), 所有负和列中各数的和的绝对值
041.

是5 040的倍数. 令P12+5039 x5041=5040k.则.i}≥5

I一“l>2n(2n一菇1.

设k:23 x3‘x5。×7。埘(s、£、M、t,、埘∈N,

因此,M>2n(2n+Ixl). 类似地,所有正和行中的各数的和

(埘,210)=1). 贝4 d(p12+5
039 x5

041)

秽>2n(2n+lyI). 令。表示正和行与正和列的交集中各数 之和,b表示正和列与负和行的交集中各数

=(5+s)(3+£)(2+u)(2+秽)d(叫). 若埘>1,则
d(p12+5
039 x5

041)

之和,C表示负和列与负和行的交集中各数 之和.则
口+b:H.b+c=一口

≥5×3×2×2×2=120.

矛盾. 若埘=1,则 d(p12+5
039


j口一c=u+秽>2n(4n+I戈I+IyI).
5 041)

另一方面, 口-c≤(2n+菇)(2n+y)+(2Ⅱ一茁)(兢一),)
=8n2+2xy.

=(5+s)(3+z)(2+M)(2+秽)<120
=》s≤4,t≤2,u≤1,勘≤1

等I|}≤24 矛盾.

X 32

X5×7<5 041.

故I叫l≥硝>,l(Ix J+lyl),得 (1并I一,1)(1yl—n)>n2, 矛盾。 (命题人李伟固

强)

从而,不存在大于7的素数P满足题设.
8.c。。=2n.

李建泉李宝毅

例子如下:取数表中第i行、第歹列处的

万方数据

第四届陈省身杯全国高中数学奥林匹克
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 李伟固, 李建泉, 李宝毅, 宋强,

中等数学 High-School Mathematics 2013(10)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201310006.aspx


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