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2013年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

时间:2012-10-29


2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

第五部分
一, 常见结论
1、 2、

解析几何

斜率公式的应用:可证明三点共线: k AB ? k AC ? A、 B、 三点共线; C

直线的倾斜角和斜率: (1) 任何直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,如倾斜角

等于 90°时,斜率不存在; (2) 若两直线的倾斜角相等,斜率相等或都不存在; (3) 若两条直线的斜率相等,则两直线的倾斜角相等; (4) 当倾斜角为锐角时,倾斜角越大,斜率也越大;当倾斜角为钝角时,倾斜角越大,斜 率也越大; (5) 与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为零,斜率也为零; 3、 直线方程的截距式适用于直线的横纵截距都存在且都不为零的情况; 4、 两直线平行 ? 两直线的斜率相等或两直线斜率都不存在; 5、 两直线垂直 ? 两直线的斜率之积为 ? 1 或一直线斜率不存在,另一直线斜率为零; 6、 7、 与已知直线 Ax ? By ? C ? 0( A ? 0, B ? 0) 平行的直线系方程为 Ax ? By ? m ? 0( C ? m ) ; 两平行直线间距离公式: 与
Ax ? By ? C 2 ? 0( A ? 0, B ? 0, C1 ? C 2 )

Ax ? By ? C1 ? 0( A ? 0, B ? 0)
d ? | C1 ? C 2 | A ? B
2 2







8、



A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 )
x1 ? x 2 2

, 以 线 段
2

AB

为 直 径 的 圆 的 方 程 为 :
2

(x ?

) ? (y ?
2

y1 ? y 2 2

) ?
2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) 4

9、

几种特殊的圆的方程 设圆的圆心为 ( a , b ) ,半径为 r (1)若圆过坐标原点,则圆的标准方程为: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? a 2 ? b 2 (2)若圆与 x 轴相切,则圆的标准方程为: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? b 2 (3)若圆与 y 轴相切,则圆的标准方程为: ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? a 2 (4)若圆心在 x 轴上,则圆的标准方程为: ( x ? a ) 2 ? y 2 ? r 2 (5)若圆心在 y 轴上,则圆的标准方程为: x 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ( 6 ) 若 圆 与 坐 标 轴 相 切 , 则 圆 的 标 准 方 程 为 : ( x ? a)2 ? ( y ? a)2 ? a 2 或
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( x ? b) ? ( y ? b) ? b ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2 2 2

2

10、 若圆方程为 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b ) 2 ? r 2 ,圆外有一点 P ( x 0 , y 0 ) ,则过点 P 向圆作切线有两条, 且切线长为 ( x 0 ? a ) 2 ? ( y 0 ? b ) 2 ? r 2 11、 若 二 元 二 次 方 程 Ax 2 ? By 2 ? C xy ? D x ? Ey ? F ? 0( A ? 0, B ? 0) 表 示 圆 , 则 满 足
?A ? B ? ?C ? 0 ? 2 2 ? D ? E ? 4 AF ? 0

12、 若圆 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 相交,则公共弦所在 的直线方程为 ( D1 ? D 2 ) x ? ( E1 ? E 2 ) y ? ( F1 ? F2 ) ? 0 ; 13、 若直线与圆相交,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r ,则 l ? 2 r 2 ? d 2 14、 直线与圆的位置关系的判断: 【方法一】几何法:根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断;设圆心到直线的距离 为 d ,圆的半径为 r ,则 (1) d ? r ? 直线与圆相交 ? 直线与圆有两个公共点; (2) d ? r ? 直线与圆相离 ? 直线与圆无公共点; (3) d ? r ? 直线与圆相切 ? 直线与圆有且只有一个公共点; 【方法二】代数法:把直线的方程圆的方程联立方程组,消去其中一个未知数得到关于另外一 个数的未知数的一元二次方程,则 (1) ? ? 0 ? 直线与圆相交 ? 直线与圆有两个公共点; (2) ? ? 0 ? 直线与圆相离 ? 直线与圆无公共点; (3) ? ? 0 ? 直线与圆相切 ? 直线与圆有且只有一个公共点; 15、 圆与圆的位置关系的判断:设两个圆的圆心分别为 O1 , O 2 ,半径分别为 r1 , r2 ,则 (1) | O1O 2 |? r1 ? r2 ? 圆与圆相离 ? 两个圆有四条公切线; (2) | r1 ? r2 |? | O1O 2 |? r1 ? r2 ? 圆与圆相交 ? 两个圆有两条公切线; (3) | O1O 2 |? r1 ? r2 ? 圆与圆相外切 ? 两个圆有三条公切线; (4) | O1O 2 |? | r1 ? r2 |? 圆与圆相内切 ? 两个圆有一条公切线; (5) | O1O 2 |? | r1 ? r2 |? 圆与圆相内含 ? 两个圆没有公切线;
c a a ?b
2 2

16、 在 椭 圆 中 离 心 率 e ?

?

a

2

?

1?

b a

2 2

? (0 ,1) , 在 双 曲 线 中 离 心 率

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e?

c a

?

a ?b
2

2

a

2

?

1?

b a

2 2

? (1, ? ? ) ;

17、 如果已知椭圆或双曲线过两个点(不是在坐标轴上的点) ,求其标准方程时,为了避免对焦 点的讨论可以设其方程为 Ax 2 ? By 2 ? 1( AB ? 0) 或
x
2

?

y

2

? 1( A B ? 0 ) ;

A

B

18、 在椭圆中,如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1 , F 2 ,另一个顶点 P 在椭圆上,称该三角形 为焦点三角形,则三角形 F1 PF2 的周长为定值等于 2 a ? 2 c ,面积等于 b 2 tan 中 b 是短半轴的长; 19、 在双曲线中,如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1 , F 2 ,另一个顶点 P 在椭圆上,称该三角
b ta n
2

? F1 P F2 2

,其

形为焦点三角形,则面积等于

? F1 P F 2 2

,其中 b 是虚半轴的长;

20、 已知双曲线的渐近线为 y ? ?
b a
2 2

b a

x ,在求该双曲线方程时为避免对焦点的讨论,可设方程为

y ?
2

x ? ? 求解;
2

21、 若椭圆的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,即焦点在 x 轴上,若直线 l 与椭圆相交,被椭圆

所截得弦为 AB ,其中点设为 P ,则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数, 即 k l ?k P O ? ?
b a
2 2

; (利用“点差法”证明,过程如下)
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 2

【证明】设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), P ( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ?
? ? ? 椭圆上,所以满足 ? ? ? ?
2

, y0 ?

,因为 A , B 都在

x1 a

2

2 2

? ?

y1 b

2

2 2

?1


2

x2 a
2

y2 b
2

2

?1

两式相减得,
y1 ? y 2 x1 ? x 2

x1 ? x 2 a
2

?

y1 ? y 2 b
2 2
2

2

? 0?

( x1 ? x 2 )( x1 ? x 2 ) a
2

? ?

( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) b
2



所以

? ?

( x1 ? x 2 ) b ( y1 ? y 2 ) a

? kl ? ?

x0b y0a

2 2

? k l ?k P O ? ?

x0b y0a

2 2

?

y0 x0

? ?

b a

2 2

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若椭圆的方程为

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,即焦点在 y 轴上,若直线 l 与椭圆相交,被椭圆

所截得弦为 AB ,其中点设为 P ,则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数, 即 k l ?k P O ? ?
a b
2 2



22、 若双曲线的方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,即焦点在 x 轴上,若直线 l 与椭圆相交,被椭

圆所截得弦为 AB ,其中点设为 P ,则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常 数,即 k l ?k P O ?
b a
2 2



若双曲线的方程为

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,即焦点在 y 轴上,若直线 l 与椭圆相交,被椭

圆所截得弦为 AB ,其中点设为 P ,则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常 数,即 k l ?k P O ?
a b
2 2



23、 抛物线中焦点弦长问题: 在抛物线中, 设焦点 F , 直线 l 过焦点 F 与抛物线交于 A , B , 把线段 AB 叫做抛物线的焦点弦, (1)若方程为 y 2 ? 2 px ( p ? 0) ,则 | F A |? x A ?
p 2

,焦点弦的长 | AB |? x A ? x B ? p | ;
p 2

(2)若方程为 y 2 ? ? 2 px ( p ? 0) ,则 | F A |? | x A | ? (3)若方程为 x 2 ? 2 py ( p ? 0) ,则 | F A |? y A ?
p 2

,焦点弦的长 | AB |? | x A ? x B | ? p ;

,焦点弦的长 | A B |? y A ? y B ? p ;
p 2

(4)若方程为 x 2 ? ? 2 py ( p ? 0) ,则 | F A |? | y A | ?

,焦点弦的长 | AB |? | y A ? y B | ? p ;

22、在抛物线中,以抛物线的焦点弦为直径的圆与该抛物的对应准线相切; 23、直线 l 被圆锥曲线所截得弦为 AB ,则长为 | A B | ? 其中 k 为直线 l 的斜率;
1? k
2

| x A ? x B |?

1?

1 k
2

| yA ? yB | ,

二, 例题分析
例 1、 重庆理 3) (12 任意的实数 k , 直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的位置关系一定是 ( )

A、 相离 B、相切 C、相交但直线不过圆心 D、相交且直线过圆心 【解析】此题考查直线与圆的位置关系的判断、考查学生的运算求解能力;判断直线与圆的 位置关系有两种方法:一种是几何法,另一种是代数法;此题所给的直线不是定直线,可以
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考虑该直线是不是过某个定点; 因为直线 y ? kx ? 1 恒过定点 ( 0 ,1) ,定点到圆心的距离 d ? 1 ? 直线 y ? kx ? 1 与圆相交但直线不过圆心,选 C; 例 2 、 12 浙 江 理 3 ) 设 a ? R (
l 2 : x ? ( a ? 1) y ? 4 ? 0 平行 的(

2 ,即定点在圆内部,所以

, 则 “ a ? 1 ” 是 “ 直 线 l1 : a x ? 2 y? 0 与 直 线 l2 : )

A、 充分不必要条件 B、 必要不充分条件 C、 充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【解析】此题考查两直线平行的充要条件、分类讨论思想的应用;即两直线平行 ? 两直线的斜 率相等或两直线斜率都不存在; 当 a ? 1 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 0 ,直线 l 2 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则 l1 // l 2 ; 若 l1 // l 2 ,则有 a ( a ? 1) ? 2 ? 1 ? 0 ,即 a 2 ? a ? 2 ? 0 ,解之得, a ? ? 2 或 a ? 1 ,所以不能 得到 a ? 1 。故选A; 例 3、 (12 新课标理 8)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的 准线交于 A , B 两点, A B ? 4 3 ;则 C 的实轴长为( A、 2 B、 2 2 C、 ? ) D、 ?

【解析】此题考查双曲线的性质、抛物线的性质的应用; 设等轴双曲线方程为 x 2 ? y 2 ? m ( m ? 0 ) ,抛物线的准线为 x ? ? 4 ,由 AB ? 4 3 ,则
y A ? 2 3 ,所以 A 的坐标为 (? 4 , 2 3 ) ,把 A 的坐标代入双曲线方程得
x
2

m ? x ? y
2

2

? 16 ? 12 ? 4 ,所以双曲线方程为 x ? y
2

2

? 4 ,即

?

y

2

? 1 ,所以

4

4

a

2

? 4 , a ? 2 ,所以实轴长 2 a ? 4 ,选 C;
x a
2 2

例 4、 (12 新课标理 4)设 F1 , F2 是椭圆 E :
x? 3a 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线

上一点, ? F 2 PF 1 是底角为 30 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
1 2


? ?

A、

B、

2 3

C、

? ?

D、

【解析】此考查椭圆的离心率的求法、三角形中的相关计算; 如 下 图 1 所 示 , 因为 ? F 2 PF 1 是 底 角 为 30 ? 的 等 腰 三 角 形,则 有 F 2 F1 ? F 2 P , , 因 为

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? PF 1 F 2 ? 30 , 所 以 ? PF 2 D ? 60 , ? DPF
0 0

2

? 30

0

, 所 以 F2 D ?

1 2

PF 2 ?

1 2

F1 F 2 ,



3a 2

?c ?

1 2

? 2 c ? c ,所以

3a 2

? 2 c ,即
x a
2 2

c a

?

3 4

,所以椭圆的离心率为 e ?

3 4

,选 C.

例 5、 (12 湖南理 5)已知双曲线 C :

?

y b

2 2

? 1 的焦距为 10 ,点 P (2,1) 在 C 的渐近线上,

则 C 的方程为(

)A、

x

2

?

y

2

?1

B、

x

2

?

y

2

? 1 C、

x

2

?

y

2

?1

D、

x

2

?

y

2

?1

20

5

5

20

80

20

20

80

【解析】此题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的渐近线方程,考查学生的运算求解能 力,利用待定系数法可求解; 设双曲线 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 10, c ? 5 ;

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1) 在 C 的渐近线上,? 1 ? 2 ?
x
2

b a

,即 a ? 2 b .

又 c 2 ? a 2 ? b 2 ,? a ? 2 5,b ?

5 ,? C 的方程为

?

y

2

? 1 ,所以选 A

20

5

例 6、 (12 福建理 8)已知双曲线

x

2

?

y b

2 2

? 1 的右焦点与抛物线 y ? 12 x 的焦点重合,则该
2

4

双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(

)A、 5

B、 4 2

C、3

D、5

【解析】此题考查双曲线的性质、渐近线的方程、抛物线的焦点坐标、点到直线距离公式等 知识点;考查学生的运算求解能力; 由抛物线方程 y 2 ? 12 x 易知其焦点坐标为 ( 3 , 0 ) ,又根据双曲线的几何性质可知 4 ? b 2 ? 3 2 ,
5 2
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所以 b?

5 ,从而可得渐进线方程为 y ? ?

x ,即 ?

5x ? 2 y ? 0 , 所 以

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d ?

|?

5 ?3? 2?0 | 5?4

?

5 ,故选A.

例 7、 (12 安徽理 9)过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A , B 两点,点 O 是原点, 若 AF ? 3 ,则 ? AO B 的面积为(
2 2


3 2 2

A、

B、

2

C、

D、 2 2

【解析】此题考查直线与抛物线相交问题的运算、三角形面积的计算、考查学生的运算求解 能力。 【解法一】设 ? AFx ? ? (0 ? ? ? ? ) 及 B F ? m ;则点 A 到准线 l : x ? ? 1 的距离为 3 , 得: 3 ? 2 ? 3 cos ? ? cos ? ?
1 2

1 3

又 m ? 2 ? m cos(? ? ? ) ? m ?
1 2 3 2 2 2 3

2 1 ? cos ?
? 3 2 2

?

3 2



? AO B 的面积为 S ?

? O F ? A B ? sin ? ?

? 1 ? (3 ?

)?

。所以选 C

【解法二】有已知得到焦点 F 坐标为 (1, 0) ,根据抛物线定义可知:
| A F |? x A ? p 2 ? 3 ? x A ? 1 ? x A ? 2, y A ? 2 2 ? A (2, 2 2 ) ,且直线过 F 和 A ,所以直

线方程为: 2 2 x ? y ? 2 2 ? 0 ,
1 ? ?2 2 x ? y ? 2 2 ? 0 ? ? ?x ? 2 ?x ? 2 ? ? 或? ? 2 y ? 4x ?y ? 2 2 ? ? ?y ? ? ? ?



? B( 2

1 2

,?

2)







| A B |? x A ? x B ? p ?
|2 2 | 8?1

9 2




1 2


2 2 3 9 2


3 2 2

AB









d ?

?

2 2 2 2 3 3

? S ?AOB ?

?

?

?

,所以选 C

例 8、 (12 全国卷理 8)已知 F1 , F2 为双曲线 C : x 2 ? y 2 ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,
| P F1 |? | 2 P F2 | ,则 cos ? F1 P F ? (

)A、

1 4

B、

3 5

C、

3 4

D、

4 5

【解析】此题考查双曲线定义的应用、双曲线性质的应用、余弦定理的应用、考查学生的运 算求解能力; 因为双曲线的方程为
x
2

?

y

2

? 1 ,所以 a ? b ?

2

2

2 , c ? 2 ,因为 | P F1 |? | 2 P F2 | ,所以。点

P 在双曲线的右支上,则有 | P F1 | ? | P F2 |? 2 a ? 2 2 ,所以解得 | PF2 |? 2 2 , | PF1 |? 4 2 ,
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所以在 ? F1 P F2 中,根据余弦定理得 c o s ? F1 P F 2 ?

(2 2 ) ? (4 2 ) ? 14
2 2

2?2 2 ?4 2

?

3 4

,选 C;

例 9 、 12 重 庆 理 14 ) 过 抛 物 线 y 2 ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A , B 两 点 , 若 (
AB ? 25 12 , A F ? B F , 则 AF =

.

【解析】此题考查抛物线与直线相交问题、考查学生的推理论证能力; 【解法一】抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点坐标为 ( , 0 ) ,准线方程为 x ? ?
2
p 4
2

1

1 2

,设 A,B 的坐标分别为
1 2 1 2

的 ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ) ,则 x 1 x 2 ?

?

1 4

,设 AF ? m , BF ? n ,则 x 1 ? m ?

, x2 ? n ?



1 1 1 ? ? ( m ? 2 )( n ? 2 ) ? 4 5 5 5 5 ? 所以有 ? ,解得 m ? 或 n ? ,所以 AF ? ;所以答案是 ; 6 4 6 6 ? m ? n ? 25 ? 12 ?

【解法二】由已知得到焦点 F ( , 0) ,且 AB ? | x A ? x B ? 1|?
2

1

25 12

? x A? x B ?

13 12

;设直线方

1 ? 2 y ? k(x ? ) ? 2 2 k ? 2 2 k x ? (2 ? k ) x ? ?0 ? ? 2 1 ? ? 2 4 程为:y ? k ( x ? ) , ? y ? 2 x 由 把 2 ? ? ? k ? 2 4 , k ? 24 2 13 ? ?x ? x ? 13 B ? x A ? xB ? ? A ? 12 12 ? ?
2 2 2 代入 k x ? ( 2 ? k ) x?

k

2

4

? 0, 且 x A ? x B , 可 求 出 A 的 坐 标 分 别 为 x A ?

1 2

,所以

A F ?| x A ?

p 2

|?

1 3

?

1 2

?

5 6

,所以答案是

5 6


? x ? 8t 2 , ? y ? 8t

例 10、 (11 天津理 11) 已知抛物线 C 的参数方程为 ?
2

( t 为参数) ,若斜率为 1 的直

线经过抛物线 C 的的焦点,且与圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 ( r ? 0) 相切,则 r =_______. 【解析】此题考查参数方程与一般方程的互化、直线方程的求法、直线与圆的位置关系的应 用、点到直线距离公式的应用;参数方程 ?
? x ? 8t 2 ? y ? 8t

,消去 t 得 y 2 ? 8 x ,焦点坐标为 ? 2 , 0 ? .

∴直线 l 的方程为 y ? x ? 2 ,又∵直线 l 与圆 ? x ? 4 ? ? y 2 ? r 2 相切,
2

∴r ?

|4?2| 1?1

?

2 ,所以答案是

2

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例 11、 (11 上海理 3)设 m 为常数,若点 F (0, 5) 是双曲线
m?

y

2

?

x

2

? 1 的一个焦点,则

m

9



【解析】此题考查双曲线性质的应用;由已知得到 c ? 5 ? m ? 9 ? c 2 ? 25 ? m ? 16 例 12、 (10 重庆文 8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? 公共点,则实数 b 的取值范围为( A、 (2 ?
2 ,1)
2 ) ? (2 ? 2 , ?? )
? x ? 2 ? cos ? , ? y ? sin ?

( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的

) B、 [2 ? D、 (2 ?
2,2 ?
2,2 ?

2]
2)

C、 ( ?? , 2 ?

【解析】此题考查圆的参数方程与标准方程的互化、直线与圆的位置关系的应用、不等式性 质的应用、一元二次不等式的解法、数形结合思想的应用; 【 解 法 一 】 由 ?
o ?x ? 2 ? c ? s , 化 为 普 通 方 程 ? y ? s i ?n

( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆,因为直线与圆有两个不同的交
2 2

点,所以

2?b 2

?1 ? 2?b ?

2 ? 2?b

2

? ( 2 ) ,解
2

得2 ?

2 ?b? 2?

2 ,所以选 D

【解法二】利用数形结合思想进行分析得:如图 2 所示,直 线 y ? x ? b 的斜率为 1, 所以 ? BAC ? 45 ? , 直线 y ? x ? b 在 直 线
A ,B D之 E 间











AC ? 2 ? b ?
2? 2 ?b? 2?

2 ,? b ? 2 ?

2 , 同 理 分 析 , 可 知

2 ,所以选 D
x a
2 2

例 13、 (09 天津文 4)设双曲线 曲线的渐近线方程为( A 、 y ? ? 2x )

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双

B、 y ? ? 2 x

C 、y ? ?

2 2

x

D、 y ? ?

1 2

x

【解析】此题考查双曲线的几何性质和运用、考查学生的运算和推理能力;焦点在 x、 y 轴

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

上的双曲线的渐近线方程不同,分别是 y ? ? 由已知得到 b ? 1, c ?
y ? ? b a x ? ? 2 2

b a

x, y ? ?

a b

x;

3, a ?

c ?b ?
2 2

2 ,因为双曲线的焦点在 x 轴上,故渐近线方程为

x ,所以选 C

三, 反馈练习
1、 (12 四川理 8)已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M (2, y 0 ) 。 若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ,则 | O M |? ( A、 2 2 B、 2 3 C、 4 ) D、 2 5 )

2、 (12 陕西理 4)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , l 过点 P (3, 0) 的直线,则( A、 l 与 C 相交 B、 l 与 C 相切 C、 l 与 C 相离

D、 以上三个选项均有可能

3、 天津理 8) m , n ? R , (12 设 若直线 ( m ? 1) x ? ( n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 相 切,则 m ? n 的取值范围是( A、 [1 ?
3 ,1 ? 3]

) B、 ( ?? ,1 ?
3 ] ? [1 ? 3 , ?? )

C、 [2 ? 2 2 , 2 ? 2 2 ]

D、 ( ?? , 2 ? 2 2 ] ? [2 ? 2 2 , ?? )

4、 (12 江苏 12) 在平面直角坐标系 xO y 中, C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 15 ? 0 , 圆 若直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值 是 .
x a
2 2

5、 (12 江西理 13)椭圆

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右顶点分别是 A、 B ,左、右焦点分

别是 F1、 F2 ,若 AF 1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,则此椭圆的离心率为_______________. 6、 (12 江苏 8)在平面直角坐标系 xO y 中,若双曲线 值为 .
x
2

?

y
2

2

m

m ?4

? 1 的离心率为 5 ,则 m 的

7、 11 辽宁理 3) ( 已知 F 是抛物线 y 2 ? x 的焦点,A、 B 是该抛物线上的两点,A F ? B F = 3 , 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( A、
3 4
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) C、
5 4

B、1

D、

7 4

2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

8、 (11 新课标理 7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交 于 A , B 两点, | AB | 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( A、 2 B、 3 C、2 D、3 ) )

9、 (11 安徽理 2、文 3) 双曲线 2 x 2 ? y 2 ? 8 的实轴长是( A、2 B、 2 2 C、 4
x a
2 2
2 2

D、4 4 2
y b
2 2

10 、 11 山 东 理 8 ) 已 知 双 曲 线 (

?

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的 两 条 渐 近 线 均 和 圆

C : x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 相切,且双曲线的右焦点为圆 C 的圆心,则该双曲线的方程为(
x
2



A、

?

y

2

?1

B、

x

2

?

y

2

?1

C、

x

2

?

y

2

?1

D、

x

2

?

y

2

?1

5

4

4

5

3

6

6

3

11、 安徽文 4) 若直线 3 x ? y ? a ? 0 过圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为 (11 ( ) A、 ? 1 B、 1
y
2

C、 3
? x
2

D、 ? 3 _.

12、 (11 江西文 12)若双曲线

? 1 的离心率 e ? 2 ,则 m ? __
2 2

16

m

13 、 10 江 西 理 8 ) 直 线 y ? k x ? 3 与 圆 ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 4 相 交 于 M , N 两 点 , 若 (
M N ? 2 3 ,则 k 的取值范围是(


3 4 ] ? [0, ? ? ) C、 [ ?
3 3 , 3 3 ]

A、 [ ?

3 4

, 0]

B、 ( ? ? , ?

D、 [ ? )

2 3

, 0]

14、 (10 安徽文 4)过点 (1, 0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是( A、 x ? 2 y ? 1 ? 0 B、 x ? 2 y ? 1 ? 0 C、 2 x ? y ? 2 ? 0

D、 x ? 2 y ? 1 ? 0

15、 (20 上海文 8)动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则 P 的轨迹 方程为 ; , 若线段 FA 的中点 B

16、 浙江理 14) (10 设抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F , A (0,2) 点 在抛物线上,则 B 到该抛物线准线的距离为_____________。

17、10 全国卷 2 理 15) ( 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的准线为 l , M (1, 0) 且斜率为 3 过 的直线与 l 相交于点 A ,与 C 的一个交点为 B .若 AM ? M B ,则 p ?
???? ? ????



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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

18、 (10 安徽文数 12)抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点坐标是
x a
2 2

19、 (10 北京理、文 13)已知双曲线

?

y b

2 2

? 1 的离心率为 2,焦点与椭圆

x

2

?

y

2

? 1 的焦

25

9

点相同,那么双曲线的焦点坐标为 20、 (10 天津文 13)已知双曲线
x a
2 2

;渐近线方程为


3 x ,它

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线方程是 y ?

的一个焦点与抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点相同。则双曲线的方程为
x
2

21、 (10 福建文 13) 若双曲线 于
??? ? ??? ?

?

y b

2 2

4

? 1( b ? 0 ) 的渐近线方程式为 y ? ?

1 2

x ,则 b 等



22、 (10 全国Ⅰ理科 11)已知圆 O 的半径为 1,PA 、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点, 那么 P A ? P B 的最小值为( A、 ? 4 ?
2


2

B、 ? 3 ?

C、 ? 4 ? 2 2

D、 ? 3 ? 2 2
x a
2 2

23、 (10 福建理 7)若点 O 和点 F ( ? 2, 0) 分别为双曲线
??? ??? ? ?

? y ? 1( a ? 0 ) 的中心和左焦点,
2

点 P 为双曲线右支上的任意一点,则 O P ? FP 的取值范围为 ( A、 [3-2 3 , ?? ) B、 [3 ? 2 3 , ?? ) C、 [7 4 , ?? )

) D、 [ , ? ? )
4 7

24、 (10 湖南文 14)若不同两点 P , Q 的坐标分别为 ( a , b ), (3 ? b , 3 ? a ) ,则线段 PQ 的垂直平 分线 l 的斜率为 ,圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 关于直线 l 对称的圆的方程为 .

25、 四川理 14) (10 直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 8 相交于 A、 两点, ?AB? ? B 则
x a
2 2

26、 (09 全国Ⅰ理 4)设双曲线 则该双曲线的离心率等于( A、 3 B、2 )

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的渐近线与抛物线 y ? x ? 1 相切,
2

C、 5

D、 6
6 2

27、 (09 安徽卷理 3、文 6)下列曲线中离心率为

的是(



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A、

x

2

?

y

2

?1

B、

x

2

?

y

2

?1

C、

x

2

?

y

2

?1

D、

x

2

?

y

2

?1

2

4

4

2

4

6

4

10

28、 (09 辽宁文 7)已知圆 C 与直线 x ? y ? 0 及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为( ) B、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 D、 ( x +1) 2 ? ( y +1) 2 ? 2
2

A、 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 C、
( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

29、 (09 宁夏海南理 4)双曲线

x

?

y

2

? 1 的焦点到渐近线的距离为(



4

12

A、 2 3

B、2

C、 3

D、1 )

30、 (09 陕西文 4)过原点且倾斜角为 60 ? 的直线被圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得的弦长为( A、 3 B、2 C、 6 D、 2 3

【反馈练习参考答案】
1、 【解析】此题考查抛物线的标准方程及性质的应用;设抛物线方程为 y ? 2 px 2 ,则点
p? ? ? p ? 点 ? p ) Q 焦点 ? , 0 ? , M 到该抛物线焦点的距离为 3 , ? 2 ? ? ? 4 p ? 9 , 解 2 ? ? 2 ? ?
2

M (2, ? 2

得 p ? 2 ,所以 O M ?

4 ? 4 ? 2 ? 2 3 ;所以答案选 B

2、 【解析】此题考查判断直线与圆的位置关系的方法;圆的方程可化为 ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 ,易 知圆心为 ( 2 , 0 ) 半径为 2,圆心到点 P 的距离为 1,所以点 P 在圆内.所以直线与圆相交.故选 A. 3、 【解析】此题考查直线与圆的位置关系、不等式的应用、一元二次不等式的解法; 圆心为 (1,1) , 半径为 1, 直线与圆相切, 所以圆心到直线的距离满足
m?n 2
|( m ? 1) ? ( n ? 1) ? 2 | ( m ? 1) ? ( n ? 1)
2 2

? 1,

即 m ? n ? 1 ? mn ? (

)

2

, 设 m ? n ? t, 即

1 4

t ? t ?1 ? 0 , 解 得 t ? 2 ? 2
2

2 或 ,

t ? 2 ? 2 2 , 所以选 D

4、 【解析】此题考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离公式应用、一元二次不等式的解法; ∵圆 C 的方程可化为: ? x ? 4 ? ? y 2 ? 1 ,∴圆 C 的圆心为 (4, 0) ,半径为 1。
2

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

∵由题意, 直线 y ? kx ? 2 上至少存在一点 A ( x 0 , kx 0 ? 2) , 以该点为圆心, 为半径的圆与圆 C 1 有公共点;∴存在 x 0 ? R ,使得 AC ? 1 ? 1 成立,即 | A C |m in ? 2 。 ∵ A C m in 即为点 C 到直线 y ? kx ? 2 的距离 ∴ k 的最大值是
4 3
4k ? 2 k ?1
2

,∴

4k ? 2 k ?1
2

? 2 ,解得 0 ? k ?

4 3





5、 【解析】本题考查椭圆的几何性质,等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率的计算;椭 圆的顶点 A ( ? a , 0), B ( a , 0) ,焦点坐标为 F1 ( ? c , 0 ), F2 ( c , 0 ) ,所以 AF 1 ? a ? c , F1 B ? a ? c ,
F1 F2 ? 2 c ,又因为 AF 1 , F1 F2 , F1 B 成等比数列,所以有 4 c ? ( a ? c )( a ? c ) ? a ? c ,
2 2 2

即 5 c 2 ? a 2 ,所以 a ?

5 c ,离心率为 e ?

c a

?
x
2

5 5
?

.
y
2 2

6、 【解析】此题考查双曲线的方程和性质;由

m
a = m, b = m ? 4, c = m ? m ? 4 ,
2 2

m ?4

?1得
2

∴e=

c a

=

m ?m ? 4 m

=

5



即 m 2 ? 4 m ? 4= 0 ,解得 m = 2 。 7、 【解析】 此题考查抛物线的定义的应用; A、 B 两点的横坐标分别为 x A , x B , 设 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为:线段 AB 的中点的横坐标,由 A F ? B F = 3 及抛物线的定义可知
x A ? xB ? p ? 3 ∴ x A ? xB ?

5 2

?

x A ? xB 2

?

5 4

,即线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 .
4

5

8、 【解析】此题考查双曲线性质的应用和离心率的求法; 设双曲线方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,焦点在 x 轴上,直线 L 过双曲线 C 的右焦点

F ( c , 0) ,且直线 L 与 x 轴垂直,所以 A , B 的横坐标相等,把 x A ? c 代入双曲线方程,求
b
2

出 yA ?

a
2

,根据双曲线的对称性可知 | y A | ? | y B | ?

b

2

,且 AB 为 C 的实轴长所的 2 倍,

a

所以

2b a

? 4a ? b ? 2a ? e ?
2 2

1?

b a

2 2

?

3 ,选 B

9、 【解析】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的性质;首先把方程化为标准方程,

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

即 ? x ? ? y ? ? ? 可变形为

x

2

?

y

2

? 1 ,则 a ? 4 , a ? 2 , 2 a ? 4 .故选 C.
2

4

8

10 、 解 析 】 此 题 考 查 双 曲 线 和 渐 近 线 方 程 、 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 的 应 用 ; 因 为 【
C : ( x ? 3) ? y ? 4 , c ? 3, 而
2 2

b a

?

2 5

? 5 b ? 4 a 且 b ? a ? 9 ? a ? 5, b ? 4 ,所以
2 2 2 2 2 2

答案应选 A。 11、 【解析】本题考查直线与圆的位置关系、点与直线的位置关系、圆的一般方程与标准方 程的互化; 圆的方程 x ? ? y ? ? ? x ? ? y ? ? 可变形为 ( x ? ?) ? ? ( y ? ? ) ? ? ? , 所以圆心为 (- 1,2) ,代入直线 ? x ? y ? a ? ? 得 a ? 1 ;选 B
y
2

12、 【解析】此题考查双曲线标准方程和性质的应用;根据双曲线方程:

?

x

2

? 1 知,

16

m

a ? 16, b ? m
2 2

, 并 在 双 曲 线 中 有 :
16 ? m 16

a ?
2

b?
2

, ? c
2

离 心 率

e ?

c a

? 2?

c a

2 2

? 4?

? 4 ? m ? 48

13、 【解析】此题考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式、垂径定理的应用、一元二次 不等式的解法;圆心为 (3, 2) ,半径 r ? 2 ,弦心距 d ?
| 3k ? 1 | k ?1
2



所以 | M N | ? 2 4 ? (

| 3k ? 1 | k ?1
2

) ? 2 3 ? 8k ? 6k ? 0 ? k ? [?
2 2

3 4

, 0 ] ,选 A

14、 【解析】此题考查直线的位置关系和直线方程的求法; 【解法一】排除法:因为被求直线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,所以斜率相等,排除 C 和 D; 再根据过 (1, 0) ,排除 B,所以选 A 【解法二】 因为被求直线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行, 所以设被求直线方程为 x ? 2 y ? c ? 0 , 又经过 (1, 0) ,故 c ? ? 1 ,所求方程为 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以选 A 【解法三】因为被求直线与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行,所以斜率等于 斜式可求直线方程为: y ?
1 2 ( x ? 1) ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所以选 A 1 2

,且过 (1, 0 ) ,根据点

15、 【解析】此题考查抛物线定义及标准方程的求法; 由 定 义 知 P 的 轨 迹 是 以 F (2, 0) 为 焦 点 的 抛 物 线 , x ? ? 2 为 准 线 , 开 口 向 右 , 所 以

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

p 2

? 2 ? p ? 4 ,所以其方程为 y ? 8 x ;
2

16、 【解 析】此题考查抛物线的定义的应用、中点坐标公式的应用;设焦点为 F (
p 4
2 4 p 2 2 4 2 2

p 2

, 0) ,则

B(

,1) ,所以 1 ? 2 p ?

p 4

? p?

2 ,B 点坐标为(

2 4

, )所以点 B 到抛物线准线的距离 1



?

?

?

?

3 2 4

,所以答案是

3 2 4

17、 【解析】本题主要考查抛物线的定义与性质;如图 3 所示,过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E , ∵ AM ? M B ,∴ M 为中点,∴ | B M |? 率 为
| B E?| 1 2
3
???? ? ????

1 2

| A B | ,又斜

, ? BM x ? 60 ? , ? BAE ? 30 ? , ∴ ∴ M B | A , | B | | ?E | B , M 为抛物线的焦点, ∴

∴p ?2; 18、 【解析】 本题考查抛物线的焦点, 要搞清楚 2 p , p ,
p 2



意义;因为抛物线 y 2 ? 8 x ,所以 2 p ? 8 ? p ? 4 ,所 以 焦点 (2, 0) ; 19、 【解析】此题考查双曲线的标准方程和性质、椭圆的标准方程和性质;其中焦点在 x、 y 轴 上的双曲线的渐近线方程不同,分别是 y ? ?
b a x, y ? ? a b x ;由已知得到椭圆
x
2

?

y

2

?1

25

9

中, c ?

25 ? 9 ? 4, 且焦点在 x 轴上,所以椭圆和双曲线的焦点坐标都是 ( ? 4, 0), (4, 0) ;

由双曲线的离心率为 2,且 c ? 4 ,所以 a ? 2, b ? 方程为: y ? ? 3 x ;

c ?a
2

2

? 2 3 ,所以双曲线的渐近线

20、 【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双曲线的标准方程的求法、其中焦 点在 x、 y 轴上的双曲线的渐近线方程不同,分别是 y ? ? 由渐近线方程可知
b a ? b a x, y ? ? a b x;

3 ①,因为抛物线的焦点为 (4, 0) ,所以 c ? 4


x
2

又 c2 ? a2 ? b2

③ 联立①②③,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 12 ,所以双 曲线的方程为

?

y

2

?1

4

12

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

21、 【解析】此题考查双曲线的几何性质、待定系数法,焦点在 x、 y 轴上的双曲线的渐近线 方程不同,分别是 y ? ? 解得 b ? 1 ; 22、 【解析】此题考查圆的切线知识,考查数量积的计算公式,考查函数的最值的问题的求法, 考查均值不等式在求函数值域中的应用,体现函数思想在处理解析几何中的应用; 设 | PA |? | PB |? x , ? APO ? ? BPO ? ? , 则 c o s ? ? 处理解析几何中的应用; ∴ PA ? PB = x ?
2

b a

x, y ? ?

a b

x ;所以由题意知双曲线的焦点在 x 轴上,所以

b 2

?

1 2



??? ?

??? ?

x x ?1
2

? c o s 2? ?

x ?1
2

x ?1
2

,函数思想在

??? ?

??? ?

x ?1
2

x ?1
2

?

( x ? 1) ? 3( x ? 1) ? 2
2 2 2

x ?1
2

? ( x ? 1) ?
2

2 ( x ? 1)
2

? 3 ? 2 2 ? 3 ,当且仅

当 x2 ?

2 ? 1 是成立,所以选 D

23、 【解析】考查双曲线的性质,考查数量积的求解方法,考查二次函数值域的求法;体现函 数思想在处理解析几何中的应用; ∵c ? 4 ? a ?1∴a ?
2 2

3 ,设 p ( x 0 , y 0 ) ,且

x0 3

2

? y 0 ? 1, x 0 ?
2

3,

2 2 ∴ O P ? F P ? x0 ? 2 x0 ? y0 ?

??? ??? ? ?

4 x0 3

2

? 2 x0 ? 1

, 且 x0 ?

3 时,此函数递增,所以

??? ??? ? ? O P ? FP ? 3 ? 2 3 ,所以选 B

24、 【解析】此题考查过两点的直线的斜率公式的应用、两直线垂直的充要条件、点的对称、 圆的方程的求法;圆的对称图形仍然 是圆而且半径相同,圆心关于对称轴对称;因为
k PQ ? 3?a ?b 3?b?a ? 1 ? k l ? ? 1 , 所 以 线 段 PQ 的 垂 直 平 分 线 l 的 斜 率 为 ? 1 ; 因 为

( a , b ), (3 ? b , 3 ? a ) 关于 l 对称,所以 (2, 3) 关于 l 的对称点为 (3 ? 3, 3 ? 2) ? (0,1) ,所以对称

的 圆 的 圆 心 是 ( 0 , 1 , 所 以 圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 1 关 于 直 线 l 对 称 的 圆 的 方 程 为 )
x ? ( y ? 1) ? 1 ;
2 2

25、 【解析】此题考查直线被圆所截得弦长的计算,若直线与圆相交,设直线被圆所截的弦长为
l ,弦心距为 d ,半径为 r ,则 l ? 2 r ? d
2 2

;因为圆心为(0,0),半径为 2 2
d ? |0?0?5| 1 ? (?2)
2 2

圆 心 到 直 线

x ? 2y ?

? 5

的 距 离 为 0

?

5

, 所 以

?

| ?

A

?

B ?

|

?

?

?

?2 ?

?| A B |? 2 3 ? ? ?

?

?

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2013 年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分

26、 【解析】此题考查双曲线的性质、导数的几何意义的应用;设切点 P ( m , n ) ,则切线的斜
?n ? 2m b ? 2 ? m ?1? ? 2? e? ? 2 m ,由题意有 ? m a ?n ? m 2 ? 1 ?
6 2 c a
2 2

率为 y ?

x?m

b 2 1? ( ) ? a

5 ,选 C

27、 【解析】此题考双曲线的性质;由 e ?

?

?

3 2

? 1?

b a

2 2

?

3 2

?

b a

2 2

?

1 2

,所以选 B

28、 【解析】此题考查圆的标准方程的求法; 【解法一】排除法:圆心在 x ? y ? 0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直 线的距离等于半径 2 即可;所以选 B 【 解 法 二 】 因 为 圆 心 在 直 线 x ? y ? 0 上 , 所 以 设 圆 心 为 (a, ? a ) , 设 圆 的 方 程 为 :
(x ? a) ? ( y ? a) ? r , 又 因 为 圆 C 与 直 线 x ? y ? 0
2 2 2

及 x ? y ? 4 ? 0 都相切,所以

| 2a | 1 ? ( ? 1)
2 2

?

| 2a ? 4 | 1 ? ( ? 1)
2 2

?a ? 1 ? ? r ? ? ,所以圆的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,选 B ?r ? 2 ?
x
2

29、 【解析】此题考查双曲线的性质;由双曲线

?

y

2

? 1 知 a ? 4, b ? 12 ? c ? 4 ,所以
2 2

4

12
|4 3 ?0| 2

焦点是 (4, 0) ,所以到渐近线 y ?

3 x 的距离为 d ?

? 2 3 ,所以选 A

30、 【解析】此题考查直线被圆所截的弦长的计算;直线方程为 y ? 到 x ? ( y ? 2) ? 4 , 圆 心 ( 0 , 2 ) 直 线 的 距 离 d ?
2 2

3 x ,圆的方程为

|2| 4

? 1 ,由垂径定理知所求弦长为

l ? 2 2 ?1 ? 2 3 ,
2 2

故选 D.

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