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天津市六校2014届高三上学期第二次联考数学(理)试题


2014 届天津市高三第二次六校联考 数 学 理 科 试 卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。第 I 卷 1 至 2 页,第 II 卷 3 至 4 页。 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并认真核对答题卡上的姓名、考号与本 人姓名、考号是否一致。祝各位考生考试顺利!第

r />I卷
柱体体积

注意事项:本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。参考公式: · S 表示底面积, h 表示底面的高·如 果事件 A 、 B 互斥,那么

V ? Sh ,

P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ? .

锥体体积 V ?

1 Sh . 3

一. 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1. i 是虚数单位,复数 A.i

i (2 ? i) = 1 ? 2i
C.1 D. ? 1

B. ? i

?2 x ? y ? 4, ? 2.设实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? ?1, ? x ? 2 y ? 2, ?
A.有最小值 2,最大值 3 C.有最大值 3,无最小值

则z ? x? y为

B.有最小值 2,无最大值 D.既无最小值,也无最大值

3.设等比数列 ?a n ? 中,前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? 8,S6 ? 7 ,则 a7 ? a8 ? a9 ? A.

1 8

B. ?

1 8

C.

57 8

D.

55 8

4.已知函数 f ? x ? ? ? A.

?2 x ? 2,

x ? 1,

?2 ? log 2 x, x ? 1,
B. ? 4 和 0

则函数 f ( x) 的零点为

1 和1 4

C.

1 4

D. 1

5.给出下列三个结论: (1)若命题 p 为假命题,命题 ?q 为假命题,则命题“ p ? q ”为假命题; (2)命题“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ”的否命题为“若 xy ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 ” ;

·1 ·

(3)命题“ ?x ? R, 2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2 ? 0 ”.则以上结论正确的个数为
x x

A. 3

B. 2

C. 1

D. 0

6.函数 f ? x ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ? 0, ? ? 的函数为奇函数,则函数 f ? x ? 的图象 A.关于点 ? C.关于点 (

? ?

??

? 若其图象向右平移 个单位后得到 ? 的最小正周期是 ? , 2? 6

?? ? , 0 ? 对称 ? 12 ?

B.关于直线 x ? D.关于直线 x ?

?
12

对称

?
6

,0) 对称

?
6

对称

7.已知向量 a ? ?x ? z ,3? , b ? ?2, y ? z ? ,且 a ? b ,若实数 x, y 满足不等式 x ? y ? 1 ,则实数 z 的取值范围为 A.[-3,3] B. ?

?

2, 2

?

C. ?? 1, 1?

D. ?? 2, 2?

8.设 F1 , F2 分别是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点 M ,使 a 2 b2
3 MF2 ,则该双曲线的离心率为 3

F1 M ? (OM ? OF1 )?0 , O 为坐标原点,且 MF1 ?
3 ?1 2

A. 3 ? 1

B.

C. 6 ?

2

D.

6? 2 2

第 II 卷
注意事项:答卷前将密封线内的项目填写清楚。本卷共 12 小题,共 110 分。 二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中随机抽取 200 名,并统计这 200 名学 生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率分布直方图(如图). 根据频率分布直方图推测, 这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数是________.

·2 ·

(第 9 题)

(第 10 题)

(第 12 题)

10.某几何体的三视图如图,则它的体积是________. 11.若 ( x ?

a x2

)6 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

.

12.如图, 已知 AB 和 AC 是圆的两条弦, 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于 D , 过点 C 作 BD 的平行线与圆交于点 E ,与 AB 相交于点 F , AF ? 6 , FB ? 2 , EF ? 3 ,则线段 CD 的长为 .

? 5 2 ? x ? 5cos ? , x? t , ?0?? ?? ? , ? 13.两曲线参数方程分别为 ? ? 4 ?t?R ? , ? 、 t 为参数,其交点坐标 ? y ? sin ? , ? ? y? t ,



3 1 ? x? , 6 2 和 函 数 g ( x)? a s in? x ? a ?1 ?a ? 0? , 若 存 在 6 1 ? x ? 2, 2
.

? 1 1 1 ? ( x? ) 2 ? , ? ? ? ? 12 2 14. 函 数 f ( x)?? 3 2 ? x , ?x ?1 ?

x1 , x2 ? [0,1] 使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取值范围是
sin ? b x cos x ? 3 cos x . 15. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? a
2

三. 解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

? ?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的周期; (Ⅱ)若 x ? ?0,

? ?? ? ,求函数 f ? x ? 的值域; ? 3?
2

(Ⅲ)如果△ ABC 的三边 a 、 b 、 c 满足 b ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,试求 cos x 的范围. 16. (本小题满分 13 分) 一个袋中装有 6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为 1, 2,3, 4,5, 6 . (Ⅰ)若从袋中每次随机抽取 1 个球,有放回的抽取 2 次,求取出的两个球编号之和为 6 的概率; (Ⅱ)若从袋中每次随机抽取 2 个球,有放回的抽取 3 次,求恰有 2 次抽到 6 号球的概率; (Ⅲ)若一次从袋中随机抽取 3 个球,记球的最大编号为 X ,求随机变量 X 的分布列及期望.

17. (本小题满分 13 分) 如图,直三棱柱 ABC?A1 B1C1 中 , AC? 4 , BC? 3 ,

AA1 ? 4 , AC?BC ,点 D 在线段 AB 上. (Ⅰ)证明 AC ? B1C ; (Ⅱ)若 D 是 AB 中点,证明 AC1 ∥平面 B1CD ;
·3 ·

C1 B1

A1

C B D

A

(Ⅲ)当

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 3

18. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 a 2 b2 1 F1、F2 ,椭圆的离心率为 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱 2 形面积为 4 3 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交 M、N 两点,在 y 轴上是否存在点 P ?0, m ? 使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,说明理
设椭圆 C : 由. 19. (本小题满分 14 分)

a ? ln x ?a ? R ? . x (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程;
已知函数 f ?x ? ? (Ⅱ)求 f ( x) 的极值;
2 (Ⅲ)若函数 f ( x) 的图象与函数 g ( x) ? 1的图象在区间 (0, e ] 上有公共点,求实数 a 的取值范

围. 20. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a 2 ?

?n ? 1?a n 1 ?n ? 2,3,4,?? . S n 为数列 ?bn ?的前 n , 且 a n ?1 ? n ? an 4

项和,且 4S n ? bn bn?1, b1 ? 2 ?n ? 1,2,3,?? . (Ⅰ)求数列 ?bn ?的通项公式;
1 2 ? 3an 3

(Ⅱ)设 cn

? bn ? 2

,求数列 ?c n ?的前 n 项的和 Pn ;

(Ⅲ)证明对一切 n ? N ? ,有

?a
k ?1

n

2 k

?

7 . 6

·4 ·

2014 届第二次六校联考(2014–01) 数学理科试卷答案
一.选择题:每小题 5 分,共 40 分。 1.D 2.B 3. A 4.D 5.C 6.B 7.A 8.A 二. 填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.600 10. 8-

2π 3

11. 4 12.

8 2 13. (1, 5) 3 5

14. ? , ? ?2 3?

?1 7?

三. 解答题: 15. (本小题满分 13 分)

sin 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b x cos x ? 3 cos x =
2

? ?

函数 f ( x) 的周期为 (Ⅱ) 0 ? x ?

?
?
3

1 3 ? 3 sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2
?? ?? 4 分

?
3

,

?
3

? 2x ?

? ? 0 ? sin(2 x ?

?
3

) ? 1,

3 ? 3 3 3 3 ? sin(2 x ? ) ? ? 1? ,1 ? ] . ?? ?? 8 分 即 f ( x) 的值域为 [ 2 3 2 2 2 2
(Ⅲ) b ? ac , cos x ?
2

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? 2ac 2ac 2ac 2
?? ?? 13分

1 ? cos x ? 1 . 2
16. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设先后两次从袋中取出球的编号为 m, n , 则两次取球的编号的一切可能结果 (m, n) 有 6 ? 6 ? 36 种, 其中和为 6 的结果有 (1,5),(5,1),(2, 4),(4, 2),(3,3) ,共 5 种, 则所求概率为

5 . 36

??????3 分
1 C5 1 ? . 2 C6 3

(Ⅱ)每次从袋中随机抽取 2 个球,抽到编号为 6 的球的概率 p ? 所以, 3 次抽取中,恰有 2 次抽到 6 号球的概率为

1 2 2 C32 p 2 (1 ? p) ? 3 ? ( ) 2 ( ) ? . 3 3 9

??????8 分

·5 ·

(Ⅲ)随机变量 X 所有可能的取值为 3, 4,5, 6 .

P ( X ? 3) ?

3 C3 1 ? , 3 C6 20

P ( X ? 4) ?

C32 3 ? , 3 C6 20
2 C4 6 3 ? ? , 3 C6 20 10

P( X ? 5) ?

P( X ? 6) ?

C52 10 1 ? ? . 3 C6 20 2

所以,随机变量 X 的分布列为:

3 5 4 1 3 3 P 20 20 10 1 3 3 1 EX ? 3 ? ? 4? ? 5? ? 6? 20 20 10 2

X

6 1 2

?

21 4

?????13 分

17. (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系 C-xyz.则 B (3, 0, 0),

A (0, 4, 0), A1 (0, 4, 4), B1 (3, 0, 4), C1 (0, 4, 4).
C1

z A1

AC ? (0,?4,0) AC ? B1C ? 0
(Ⅱ)解法一:

B1C ? (?3,0,?4)
B1 所以 AC ? B1C ????4分

C

AC1 ? (0,?4,4)
设平面 B1 CD 的法向量为 m ? ( x, y, z ) , 由 B1C ? m ? (?3,0,?4) ? ( x, y, z ) ? ?3x ? 4 z ? 0 且 CD ? m ? ( ,2,0) ? ( x, y, z ) ? 令 x = 4 得 m ? (4,?3,?3) , 所以

A D

y

B x B1 E C B C1

A1

3 2

3 x ? 2y ? 0 , 2

A D

AC1 ? m ? (0,?4,4) ? (4,?3,?3) ? 0
·6 ·

又 AC1 ? 平面B1CD

所以 AC1∥平面 B1CD;

解法二:证明:连结 BC1,交 B1C 于 E,DE. 因为 直三棱柱 ABC-A1B1C1,D 是 AB 中点, 所以侧面 B B1C1C 为矩形,DE 为△ABC1 的中位线, 所以 DE// AC1. 因为 DE ? 平面 B1CD, AC1 ? 平面 B1CD, 所以 AC1∥平面 B1CD. (Ⅲ)解:由(Ⅰ)知 AC⊥BC, 设 D (a, b, 0)( a ? 0 , b ? 0 ) , ?????8分

??? ? 1 ??? ? BD 1 ? , 即 BD ? BA . AB 3 3 ??? ? 4 4 所以 a ? 2 , b ? , BD ? (?1, , 0) . 3 3 ??? ? 4 所以 B1C ? (?3,0,?4) , CD ? (2, , 0) . 3 ?? ? 平面 BCD 的法向量为 n 1 ? (0, 0,1) .
因为 点 D 在线段 AB 上,且 设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

?? ?

?3 x ? 4 ? 0 ???? ?? ? ??? ? ?? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ? , 4 2 x ? y ? 0 ? 3 ?
所以 x ? ?

?? ? 4 4 , y ? 2 , n 2 ? (? , 2,1) . 3 3

设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , 所以

?? ? ?? ? n1 ? n 2 3 . cos ? ? ?? ? ?? ? ? 61 n1 n 2
3 61 . 61
?????????13分

所以 二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

18. (本小题满分 13 分)

·7 ·

解: (Ⅰ)椭圆的离心率为 e ?

1 , 2
x2 y2 ? ? 1. 4 3

又由连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为 4 3 可得 ab ? 2 3

a ? 2 b ? 3 c ? 1 , 所求椭圆方程为
(Ⅱ)由 F2 (1,0) , l : y ? k ( x ? 1)

??? 6 分

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 2 整理得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 )

8k 2 , y1 ? y 2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) 3 ? 4k 2 PM ? PN ? ?x1 , y1 ? m? ? ?x2 , y 2 ? m? = ?x1 ? x2 , y1 ? y 2 ? 2m?
则 x1 ? x 2 ? 由于菱形对角线垂直,则 ( PM ? PN ) ? MN ? 0 得 ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ( y1 ? y 2 ? 2m) ? k ? 0 当 k ? 0 时,上式恒成立.又 P、M、N 三点不共线,所以 m ? R 且m ? 0 当 k ? 0 时,由上式可得 m ?

3 3 k ?m? , 解得 ? 且m ? 0 2 12 12 3 ? 4k

故存在满足题意的 P, 当 k ? 0 时, m ? R 且m ? 0 . 当 k ? 0 时, m 的取值范围是 ? 19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) a ? 1 , f ? x ? ?

3 3 ?m? 且m ? 0 . 12 12

?????? 13 分

ln x ? 1 2 且 f ?e ? ? . x e ? ? (ln x ? 1) x ? (ln x ? 1) x ? ln x 又 f ?( x) ? , ? x2 x2 1 f , ?e ? ? ? 2 . e 2 1 f ( x) 在点 (e, f (e)) 处的切线方程为: y ? ? ? 2 ( x ? e) , e e
即 x ? e y ? 3e ? 0 .
2

????????? 4 分

(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ?

1 ? (ln x ? a) , x2
·8 ·

令 f ?( x) ? 0 得 x ? e 当 x ? (0, e 当 x ? (e
1? a

1? a



) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是增函数;

1? a

,??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是减函数;
??? 8 分

f ( x) 在 x ? e1?a 处取得极大值,即 f ( x) 极大值 ? f (e1?a ) ? e a ?1 .
(Ⅲ) (i)当 e
1? a

? e 2 ,即 a ? ?1时,
1? a

由(Ⅱ)知 f ( x) 在 (0, e 当x ?e
1? a

) 上是增函数,在 (e1?a , e 2 ] 上是减函数,
a ?1

时, f ( x) 取得最大值,即 f ( x) max ? e
?a



又当 x ? e

时, f ( x) ? 0 ,

当 x ? (0, e

?a

] 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (e ? a , e 2 ] 时, f ( x) ? (0, e a ?1 ] ,
2

所以, f ( x) 的图像与 g ( x) ? 1的图像在 (0, e ] 上有公共点, 等价于 e
a ?1

? 1,解得 a ? 1,

又因为 a ? ?1,所以 a ? 1. (ii)当 e
1? a

? e 2 ,即 a ? ?1 时, f ( x) 在 (0, e 2 ] 上是增函数,

f ( x) 在 (0, e 2 ] 上的最大值为 f (e 2 ) ?
原问题等价于

又 a ? ?1 无解 综上, a 的取值范围是 a ? 1. 20. (本小题满分 14 分)

2?a ? 1 ,解得 a ? e 2 ? 2 , 2 e

2?a , e2

?????? 14 分

解: (I)由已知 b1 ? 2,4S n ?b n bn ?1 得 b2 ? 4 ,

4S n?1 ? bn ?1bn ?n ? 2? , 4bn ? bn ?bn ?1 ? bn ?1 ? ,
由题意 bn ? 0 ,即 bn ?1 ? bn ?1 ? 4(n ? 2) ,

当 n 为奇数时, bn ? 2n ;当 n 为偶数时, bn ? 2n .

·9 ·

所以 数列{bn }的通项公式为bn ? 2n(n ? N ) .
*

????4 分

(Ⅱ)解法一: 由已知,对 n ? 2 有

1 a n ?1

?

n ? an n 1 ? ? , ?n ? 1?a n ?n ? 1?an n ? 1

两边同除以 n ,得

1 1 1 , ? ? nan ?1 ?n ? 1?a n n?n ? 1?



1 1 1? ? 1 ? ? ?? ? ?, nan ?1 ?n ? 1?a n ? n ?1 n ?

于是,

? ?ka
k ?2

n ?1

? 1 ?
k ?1

?

n ?1 ? 1 1? ? 1 ? ? 1 ? ? = ? ?1 ? ?, ? = ? ?? ?k ? 1?a k ? k ?2 ? k ? 1 k ? ? n ? 1 ?



1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? 3n ? 2 ? ? ? ??1 ? ? ? ?1 ? , ? , n ? 2 ,所以 ?= ?n ? 1?an a2 ? n ? 1 ? ?n ? 1?a n a 2 ? n ? 1 ? n ? 1

an ?

1 1 ? , n ? 2 ,又 n ? 1时也成立,故 a n ? ,n? N . 3n ? 2 3n ? 2
n n?2

所以 c n ? 2n ? 2 , Pn ? 4 ? (n ? 1)2

???8 分

解法二:也可以归纳、猜想得出 a n ? (Ⅲ)当 k ? 2 ,有 a k ?
2

1 ,然后用数学归纳法证明. 3n ? 2
1 1? 1 1 ? ? ? ? ?, ?3k ? 4??3k ? 1? 3 ? 3k ? 4 3k ? 1 ?

?3k ? 2?

1

2

?

所以 n ? 2 时,有
n 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 2 2 ? a ? 1 ? ak ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? k 3 ?? 2 5 ? ? 5 8 ? ? 3n ? 4 3n ? 1 ?? k ?1 k ?2 n

=1 ?

1?1 1 ? 1 7 ? ? ? ? 1? ? . 3 ? 2 3n ? 1 ? 6 6
2
n 7 7 2 ? . 故对一切 n ? N ,有 ? a k ? . 6 6 k ?1

当 n ? 1时, a1 ? 1 ?

???14 分

·10·


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