nbhkdz.com冰点文库

《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修2《平面解析几何初步》(二)课件

时间:2013-11-17


章末复习课

本 课 时 栏 目 开 关

画一画· 知识网络、结构更完善

章末复习课

本 课 时 栏 目 开 关

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

题型一
本 课 时 栏 目 开 关

对称问题的求法

对称问题主要有两大类:中心对称与轴对称两大类. 1.中心对称 (1)两点关于点对称:设P1(x1,y1),P(a,b),则 P1(x1,y1)关于P(a,b)对称的点为P2(2a-x1,2b-y1), 即P为线段P1P2的中点. (2)两直线关于点对称:设直线l1,l2关于点P对称,这 时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另外一条 直线上,必有l1∥l2,且P到l1、l2的距离相等.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

2.轴对称
本 课 时 栏 目 开 关

两点关于直线对称:设P1,P2关于直线l对称,则直线 P1P2与l垂直,且P1P2的中点在l上.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

例1

已知直线l:y=3x+3,试求:

(1)点P(4,5)关于直线l的对称点的坐标; (2)直线l关于点A(3,2)对称的直线方程.
本 课 时 栏 目 开 关



(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x′,y′),则PP′

的中点M在直线l上,且直线PP′垂直于直线l.

x′+4 ?y′+5 ? =3· 2 +3 ? 2 即? ?y′-5· ?x′-4 3=-1 ?
∴P′点的坐标为(-2,7).

?x′=-2 ? ,解得? ?y′=7 ?

.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

(2)设直线l关于点A(3,2)对称的直线为l3,
则直线l上任一点P(x1,y1)关于点A的对称点P3(x3,y3)一定 在直线l3上,反之也成立.
本 课 时 栏 目 开 关

?x1+x3 ? =3 ? 2 ∴? ?y1+y3 =2 ? ? 2

?x =6-x ? 1 3 ,解得? ?y1=4-y3 ?



代入l的方程后,得3x3-y3-17=0. 即l3的方程为3x-y-17=0.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

跟踪训练1

在直线l:3x-y-1=0上求一点P,使得:

(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大; (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小.
本 课 时 栏 目 开 关

解 (1)如图,B关于l的对称点B′(3,3). ?2x+y-9=0 ? AB′:2x+y-9=0,由? , ?3x-y-1=0 ? ?x=2 ? 解得? ,即P(2,5). ?y=5 ? 3 24 (2)C关于l对称点C′( , ),由图象可知: 5 5
|PA|+|PC|≥|AC′|.
11 26 当P是AC′与l的交点P( , )时“=”成立, 7 7 11 26 ∴P( 7 , 7 ).

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

题型二

直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有三种:相交、相离、相切,其判断方 法有两种:代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程
本 课 时 栏 目 开 关

组,根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与 半径长r的大小关系来判断). (1)当直线与圆相离时,圆上的点到直线的最大距离为d+r, 最小距离为d-r,其中d为圆心到直线的距离; (2)当直线与圆相交时,圆的半径长、弦心距、弦长的一半构 成直角三角形;

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

(3)当直线与圆相切时,经常涉及圆的切线. ①若切线所过点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上,则切线方程为x0x+ y0y=r2;若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,则切线方程
本 课 时 栏 目 开 关

为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. ②若切线所过点(x0,y0)在圆外,则切线有两条.此时解题时若 用到直线的斜率,则要注意斜率不存在的情况也可能符合题 意. (4)过直线l:Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆C:x2+y2+ Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)的交点的圆系方程是x2+y2+ Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0,λ是待定的系数.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

例2

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+

3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4. (1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为 2 3,求直线l的方程;
本 课 时 栏 目 开 关

(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直 的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1 截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条 件的点P的坐标.
解 (1)由于直线x=4与圆C1不相交,所以直线l的斜率存在.
设直线l的方程为y=k(x-4),圆C1的圆心到直线l的距离为d, 因为直线l被圆C1截得的弦长为2 3, 所以d= 22-? 3?2=1.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

|-3k-1-4k| 由点到直线的距离公式得d= , 2 1+k 7 2 从而48k +14k=0,即k=0,或k=- , 24 所以直线l的方程为y=0,或7x+24y-28=0.
本 课 时 栏 目 开 关

(2)设点P(a,b)满足条件, 不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a),k≠0, 1 则直线l2的方程为y-b=- (x-a). k 因为圆C1和C2的半径相等,及直线l1被圆C1截得的弦长与直线 l2被圆C2截得的弦长相等,

所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离 相等,即

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

1 |1-k?-3-a?-b| |5+k?4-a?-b| = , 2 1 1+k 1+ 2 k
本 课 时 栏 目 开 关

整理得|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, 从而 1+3k+ak-b=5k+4-a-bk或1+3k+ak-b=-5k-4 +a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3,或(a-b+8)k=a+b-5, 因为k的取值有无穷多个,
?a+b-2=0, ? 所以? ?b-a+3=0, ? ?a-b+8=0, ? 或? ?a+b-5=0, ?

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

本 课 时 栏 目 开 关

? 5 ?a=2, 解得? ?b=-1, 2 ?

3 ? ?a=-2, 或? ?b=13. 2 ?

5 1 3 13 这样点P只可能是点P1( 2 ,- 2 ),或点P2(- 2 , 2 ).经检验点 P1和P2满足题目条件.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

跟踪训练2 已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P,且被圆C截得的线段长为4 3,求l的方程; (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
解 (1)如图所示,|AB|=4
本 课 时 栏 目 开 关

3 ,设D是线段AB的中

点,则CD⊥AB,

∴|AD|=2 3,|AC|=4. 在Rt△ACD中, 可得|CD|=2. 设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为:y-5=kx,即kx-y +5=0.由点C到直线AB的距离公式: |-2k-6+5| 3 =2,得k=4, k2+1

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

此时直线l的方程为3x-4y+20=0.
又∵直线l的斜率不存在时,也满足题意,此时方程为x=0.
本 课 时 栏 目 开 关

∴所求直线l的方程为x=0,或3x-4y+20=0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,

y-6 y-5 所以kCD·PD=-1,即 k · =-1, x+2 x
化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

题型三

与圆有关的最值问题

本 课 时 栏 目 开 关

与圆有关的最值问题,往往是已知圆的方程f(x,y)=0,求 y ,y-x,x2+y2等量的最值或范围.解决的方法是:设(x,y) x y 是圆上任一点,分别把给定的式子 x ,y-x,x2+y2赋予一定 的几何意义,这样就把有关最值问题转化成点、直线与圆的 位置关系问题,再根据圆的几何性质确定最值.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

例3 已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0. (1)求y-x的最大值和最小值; (2)求x2+y2的最大值和最小值.
本 课 时 栏 目 开 关

解 (1)方程x2+y2-4x+1=0可化为(x-2)2+y2=3,表示以 (2,0)为圆心,以 3为半径的圆.

设y-x=b,则y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,
当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,
|2-0+b| 此时 = 3,解得b=-2± 6. 2

所以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- 6.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

(2)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识 知, 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
本 课 时 栏 目 开 关

又因为圆心到原点的距离为 ?2-0?2+?0-0?2=2, 所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 3, x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 3.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

跟踪训练3 如果实数x,y满足方程(x-3)2+(y-3)2=6,求: y (1)x的最大值与最小值; (2)x+y的最大值与最小值.
本 课 时 栏 目 开 关 由图①可知,当直线OP与圆相切时,斜率取最值.

解 (1)设方程(x-3)2+(y-3)2=6所表示的圆C上的任意一点 y P(x,y).x的几何意义就是直线OP的斜率, y 设x=k,则直线OP的方程为y=kx.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

|3k-3| 因为点C到直线y=kx的距离d= 2 , k +1

|3k-3| 所以当 2 = 6,即k=3± 2时,直线OP与圆相切. 2 k +1
y 本 课 所以x的最大值与最小值分别是3+2 2与3-2 2. 时 栏 (2)设x+y=b,则y=-x+b,由图②知, 目 开 当直线与圆C相切时,截距b取最值. 关

|6-b| 而圆心C到直线y=-x+b的距离为d= . 2 |6-b| 因为当 = 6,即b=6± 3时,直线y=-x+b与圆C相切, 2 2 所以x+y的最大值与最小值分别为6+2 3与6-2 3.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

题型四

数形结合思想的应用

数形结合思想是解答数学问题的常用思想方法,在做选择、
本 课 时 栏 目 开 关

填空题时,有时常能收到奇效.数形结合思想在解决圆的问 题时有时非常简便,把条件中的数量关系问题转化为图形的 性质问题去讨论,或者把图形的性质问题用数量关系表示出 来,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一种常用的数 学方法.

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课

例4 曲线y=1+

4-x2 与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则 ( D )
?5 ? B.?12,+∞? ? ? ?5 3? D.?12,4? ? ?

本 课 时 栏 目 开 关

实数k的取值范围是 ? 5? A.?0,12? ? ? ?1 3? C.?3,4? ? ?

解析 首先明确曲线y=1+ 4-x2表示半圆,
5 3 由数形结合可得 <k≤ . 12 4

研一研· 题型解法、解题更高效

章末复习课
1-y2 有且仅有一个公共 ( B )

跟踪训练4

直线y=x+b与曲线x=

点,则b的取值范围是 A.|b|= 2 C.-1≤b≤1 B.-1<b≤1或b=- 2 D.非A、B、C的结论

本 解析 作出曲线x= 1-y2和直线y=x+b, 课 时 利用图形直观考查它们的关系,寻找解决问题的办法. 栏 目 将曲线 x= 1-y2变为 x2+y2=1(x≥0). 开 关 2 2

当直线y=x+b与曲线x +y =1相切时, |0-0+b| 则满足 =1,|b|= 2,b=± 2. 2

观察图象,可得当b=- 2或-1<b≤1时,

直线与曲线x= 1-y2有且仅有一个公共点.

章末复习课

初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题,本章则主要
本 课 时 栏 目 开 关

是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质,如果我们能 够将两者有机地结合起来解决圆的问题,将在处理圆的有 关问题时收到意想不到的效果. 圆是非常特殊的几何图形,它既是中心对称图形又是轴对 称图形,它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事 半功倍的作用,所以在实际解题中常用几何法,充分结合 圆的平面几何性质.那么,我们来看经常使用圆的哪些几 何性质:

章末复习课

(1)圆的切线的性质:圆心到切线的距离等于半径;切点与 圆心的连线垂直于切线;切线在切点处的垂线一定经过圆
本 课 时 栏 目 开 关

心;圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角 形的三个顶点等等. (2)直线与圆相交的弦的有关性质:相交弦的中点与圆心的 连线垂直于弦所在直线;弦的垂直平分线(中垂线)一定经 过圆心;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三 边,满足勾股定理. (3)与直径有关的几何性质:直径是圆的最长的弦;圆的对 称轴一定经过圆心;直径所对的圆周角是直角.


相关文档

更多相关标签