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2013年长春市高三第一次调研测试数学试题及解析


2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试

数学试题卷(理科)
考生须知: 1. 本试卷分试题卷和答题卡,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 2. 答题前,在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号. 3. 所有答案必须写在答题卡上,写在试卷上无效. 4. 考试结束,只需上交答题卡.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分


一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 1. 已知集合 A ? {x | x ? x ? 2 ? 0} , ? {x | y ? ln(1? | x |)} , A ? (?R B) ? 则 B
2

A. (1, 2) C. (?1,1) 2.

B. [1, 2) D. (1, 2]
输入

开始

a,b,c


已知复数 z ? 1 ? ai (a ? R ) ( i 是虚数单位) , A. 2 C. ?2 B. ?2

z 3 4 ? ? ? i ,则 a ? z 5 5

x?a

b ? x?


1 D. ? 2

x?b


3.

4.

如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的 数,那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? D. b ? c ? 一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为



x?c

输出 x 结束

(8 ? ? ) 3 6 (6 ? ? ) 3 C. 6
A. 5. 6. 设a ?

(8 ? 2? ) 3 6 (9 ? 2? ) 3 D. 6
B.
?1 1

3

1

正视图

2

2 侧视图

?

?1

?0

x 3 dx , b ? 1 ? ? x 2 dx , c ? ? x3dx ,
?0

?

1

?1

?0

7. 8.

则 a 、 b 、 c 的大小关系为 A. a ? b ? c B. b ? a ? c 俯视图 C. a ? c ? b D. b ? c ? a 在正项等比数列 {an } 中,已知 a1a2 a3 ? 4 , a4 a5 a6 ? 12 , an ?1an an ?1 ? 324 ,则 n ? A. 11 B. 12 C. 14 D. 16

直线 l1 与 l 2 相交于点 A ,动点 B 、 C 分别在直线 l1 与 l 2 上且异于点 A ,若 AB 与 AC 的夹角为 60 ,

??? ?

????

?

??? ? BC ? 2 3 ,则 ?ABC 的外接圆的面积为
B. 4?

A. 2? 9.

给定命题 p :函数 y ? sin(2 ? x

?
4

C. 8?

)和函数 y ? cos(2 x ?

x ? k? ?

?
2

3? ) 的图像关于原点对称;命题 q :当 4

D. 12?

(k ? Z) 时,函数 y ? 2(sin 2 x ? cos 2 x) 取得极小值. 下列说法正确的是
B. ?p ? q 是假命题 D. ?p ? q 是真命题
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A. p ? q 是假命题 C. p ? q 是真命题

10. 若两个正实数 x, y 满足

2 1 ? ? 1 ,并且 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是 x y A. (??, ?2] ? [4, ??) B. (??, ?4] ? [2, ??) C. (?2, 4) D. (?4, 2)
2 2

11. 已知直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 与圆 x ? y ? 4 交于不同的两点 A 、 B , O 是坐标原点,且有

??? ??? ? ? ? 3 ??? | OA ? OB |≥ | AB | ,那么 k 的取值范围是 3 A. ( 3, ??) B. [ 2, ??) C. [ 2, 2 2)

D. [ 3, 2 2)

12. 如图,等腰梯形 ABCD 中, AB // CD 且 AB ? 2 AD ,设 ?DAB ? ? , ? ? (0,

?
2

) ,以 A 、 B 为焦

点,且过点 D 的双曲线的离心率为 e1 ;以 C 、 D 为焦点,且过点 A 的椭圆的离心率为 e2 ,则 A. 当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 为定值 B. 当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 为定值 C. 当 ? 增大时, e1 增大, e1 ? e2 增大 D. 当 ? 增大时, e1 减小, e1 ? e2 减小

D

C

A

B

13. 对于非空实数集 A , A* ? { | ? ?A y x } . 设非空实数集合 M 、P 满足:M ? P , 记 且若 x ? 1 , y x , ≥ 则 x ? P . 现给出以下命题: ①对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 P* ? M * ; ②对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 M * ? P ? ? ; ③对于任意给定符合题设条件的集合 M 、 P ,必有 M ? P* ? ? ; ④对于任意给定符合题设条件的集合 M 、P , 必存在常数 a , 使得对任意的 b ? M * , 恒有 a ? b ? P* , 其中正确的命题是 A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

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第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题-21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题纸中的横线上). ?1 ? 2 ≤ x ≤1 y ?1 14. 若实数 x, y 满足 ? y ≥ ? x ? 1 ,则 的取值范围是____________. ? x ? y ≤ x ?1 ? ?
15. ?ABC 中, a 、b 、 c 分别是角 A 、 B 、C 的对边,若 a ? c ? 2b ,且 sin B ?6cos A ? C ,则 b sin 的值为____________.
2 2

16. 若一个正四面体的表面积为 S1 ,其内切球的表面积为 S 2 ,则

S1 ? ____________. S2

17. 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (x) ? f (x ?5) ?16 ,当 x ? (? ,4] 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则函数 f ( x) 在 1

[0, 2013] 上的零点个数是____________.
三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ? ⑴ 求函数 y ? f ( x) 的解析式; ⑵ 当 x ? [?? , ? ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 6

?

2

? ? ? )( x ? R) 的部分图像如图所示. 2

?

?

y
1

O
19. (本小题满分 12 分) 数列 {an } 的前 n 项和是 S n ,且 Sn ? ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 记 bn ? log 3
2 an 1 3 } 的前 n 项和为 Tn ,证明: Tn ? . ,数列 { bn ? bn ? 2 4 16

π
6

2π 3

x

1 an ? 1 . 2

20. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AAC1C ? 底面 ABC , AA1 ? A1C ? AC ? 2 , AB ? BC , 1

AB ? BC , O 为 AC 中点. ⑴ 证明: A1O ? 平面 ABC ;
⑵ 求直线 AC 与平面 A1 AB 所成角的正弦值; 1 ⑶ 在 BC1 上是否存在一点 E ,使得 OE // 平面 A1 AB ?若存在, 确定点 E 的位置;若不存在,说明理由.
A

A1

C1

B1

O B

C

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21. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 2 ,其左、右焦点分 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b ??? ? ? 7 ???? ???? 3 别为 F1 、F2 , P 是坐标平面内一点, | OP |? 点 且 ,PF1 ? PF2 ? , 2 4 其中 O 为坐标原点.
已知椭圆 C: ⑴ 求椭圆 C 的方程; ⑵ 如图, 过点 S (0, ? ) , 且斜率为 k 的动直线 l 交椭圆于 A 、B 两点,

y
A O

x
S B

1 3

在 y 轴上是否存在定点 M , 使以 AB 为直径的圆恒过这个点?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在, 请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e (ax ? 2 x ? 2) , a ?R 且 a ? 0 .
x 2

⑴ 若曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2)) 处的切线垂直于 y 轴,求实数 a 的值; ⑵ 当 a ? 0 时,求函数 f (| sin x |) 的最小值; ⑶ 在⑴的条件下,若 y ? kx 与 y ? f ( x) 的图像存在三个交点,求 k 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲. 如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线

? BD 交⊙O 于点 C,点 G 为 BD 中点,连结 AG 分别交⊙O、BD 于点 E、 F,连结 CE. ⑴ 求证: AG ? EF ? CE ? GD ;
GF EF 2 ⑵ 求证: ? . AG CE 2

A E O C B G M F D

24. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系,设

? 3 t ?x ? 5 ? ? 2 ( t 为参数). 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1 t ? ? 2 ⑴ 求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的普通方程; ⑵ 设曲线 C 与直线 l 相交于 P 、 Q 两点,以 PQ 为一条边作曲线 C 的内接矩形,求该矩形的面积.
25. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲. 设函数 f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . ⑴ 当 a ? 5 时,求函数 f (x) 的定义域;
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⑵ 若函数 f (x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围.

2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 简答与提示: 1. B 6. C 12. C

由 x2 ? x ? 2 ? 0 可得 ?1 ? x ? 2 ,又 y ? ln(1 |x |) 1? | x |? 0 ,则 1 ? | x | 即 ?1 ? x ? 1 ,则 中 ?

?R B ? { x | x≤ - 1 x≥ 1} 或 ,因此 A ? (?R B) ? [1, 2) ,故选 B.
2. B 由题意可知:

1 ? ai (1 ? ai) 2 1 ? 2ai ? a 2 1 ? a 2 2a 3 4 ? ? ? ? i ? ? ? i ,因此 2 2 2 1 ? ai (1 ? ai)(1 ? ai) 1? a 1? a 1? a 5 5

1 ? a2 3 2a 4 ? ? ,化简得 5a2 ? 5 ? 3a2 ? 3 ,a 2 ? 4 则 a ? ?2 ,由 ? ? 可知 a ? 0 ,仅有 a ? ?2 2 2 1? a 5 1? a 5
3. 4. 满足,故选 B. A 由于要取 a , b , c 中最大项,输出的 x 应当是 a , b , c 中的最大者,所以应填比较 x 与 c 大小 的语句 c ? x ,故选 A. A 该几何体由底半径为 1 的半圆锥与底面为边长等于 2 正方形的四棱锥组成, 且高都为 3 , 因此该

几何体体积为 V ?

1 ?1 1 3? 4 3 ? 8 ? ? ? 3 ? ? ? ? ? ?12 ? ? 3 ? ? ? 2 ? 2 ? ? 3 ? ? ? ,故选 A. 3 ?2 3 6 3 6 ?
1 1 ? 1 3 1 ? ?1 3 1

5.

x 3 2 3 A 由题意可计算得 a ? ? x dx ? ? x3 ? ; 0 1 2 0 2 ? ?1 3 0
? 3 1 ? x2 1 b ? 1 ? ? x 2 dx ? 1 ? ? 0 ? 3 ? 2 ?
1

? ? 2 1 ? ? 1? ? ? 0 ? ? ; ? ? ? ?3 ? 3 ? 0 ?

x4 c ? ? x dx ? 0 4
1 3

1

?
0

1 ,综上 a ? b ? c ,故选 A. 4
3 3 3 12 3 3 n ?3

6.

C

9 由 a1a2 a3 ? 4 ? a1 q 与 a4 a5 a6 ? 12 ? a1 q 可得 q ? 3 , an ?1 ? an ? an ?1 ? a1 ? q 3n ?6

? 324 ,因此

q
7. B

? 81 ? 3 ? q ,所以 n ? 14 ,故选 C.
4 36

由题意 ?ABC 中 ?BAC ? 60? , BC ? 2 3 ,由正弦定理可知 BC ? 2 3 ? 2 R ,由此 R ? 2 , sin A 3 2 S ? ? R 2 ? 4? ,故选 B.

8.

B

p 命题中 y ? cos(2 x ?

?? ?? ? ? y ? sin ? 2 x ? ? 关于原点对称, p 为真命题; 命题中 y ? 2 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 故 q 4? 4? ? ? ? ? 3? 取极小值时, 2 x ? ? 2k? ? ,则 x ? k? ? (k ? Z) ,故 q 为假命题,则 ?p ? q 为假命题,故 4 2 8
选 B.
第 5 页 (共 10 页)

3? ? ? ? ? ? ) ? cos(2 x ? ? ) ? cos[ ? (2 x ? )] ? sin(2 x ? ) 与 4 4 2 2 4 4

?2 1? 4y x 4y x x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? ? ? ? 2 ? ? ?2?8, 当且仅当 即 ? , 4 y 2 ? x 2 时等号成立. 由 x y? x y x y ? x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则 m2 ? 2m ? 8 , m2 ? 2m ? 8 ? 0 ,解得 ?4 ? m ? 2 ,故选 D. ??? ??? ? ? ? 3 ??? 10. C 当 | OA ? OB |? | AB | 时, O , A , B 三点为等腰三角形的三个顶点,其中 OA ? OB , 3 ? ?AOB ? 120 ,从而圆心 O 到直线 x ? y ? k ? 0 (k ? 0) 的距离为 1,此时 y ??? ??? ? ? ? 3 ??? 2 2 | AB | ,又直线与圆 x ? y ? 4 存 k ? 2 ;当 k ? 2 时 | OA ? OB |? A 3 在两交点,故 k ? 2 2 ,综上 k 的取值范围为 ? 2, 2 2 ,故选 C. ?
9. D

?

11. B

由 题 可 知 : 双 曲 线 离 心 率 e1 ?

| AB | 与椭圆离心率 | DB | ? | DA |

O

x
B

e2 ?

| CD | | BD | ? | BC |

设 | AD |?| BC |? t 则 | AB |? 2t , | CD |? 2t ? 2t cos ? , | BD |? t 5 ? 4 cos ? ,

2 2 ? 2 cos ? , e2 ? , 5 ? 4 cos ? ? 1 5 ? 4cos ? ? 1 ? ?? ? ? ? 0, ? 时,当 ? 增大, cos ? 减小,导致 e1 减小. ? 2? 2 2 ? 2 cos ? e1 ? e2 ? ? ? 1 . 故选 B. 5 ? 4 cos ? ? 1 5 ? 4 cos ? ? 1 1 1 * * 12. C 对于②,假设 M ? P ? {x | 0 ? x ? } ,则 M ? {x | x ≥ } ,则 M ? P ? ? ,因此②错误;对 2 2 1 1 1 * * 于③,假设 M ? P ? {x | 0 ? x ≤ } ,则 ? M ,又 ? P ,则 M ? P ? ? , 2 2 2 e1 ?
因此③也错误,而①和④都是正确的,故选 C.
y

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. [1,5] 简答与提示: 13. 由 题 可 知 14. 3 15.

6 3

O

?

16. 604

x

k ? ?1,5? .

y ? 1 y ? (? 1) , 即 为 求 区 域内 的 点 与 (0, ?1) 点 连 线 斜 率 k 的 取 值 范 围 , 由图 可 知 ? x x?0

b2 ? c2 ? a 2 ? c ,化简可得 14. 由正弦定理与余弦定理可知, sin B ? 6cos A ? sin C 可化为 b ? 6 ? 2bc b2 ? 3(b2 ? c 2 ? a 2 ) ,又 a 2 ? c 2 ? 2b 且 b ? 0 ,可计算得 b ? 3 .
15. 设正四面体棱长为 a , 则正四面体表面积为 S1 ? 4 ?

3 2 1 ? a ? 3a 2 , 其内切球半径为正四面体高的 , 4 4 2 2 ?a S 1 6 6 3a 6 3 a? a ,因此内切球表面积为 S2 ? 4? r 2 ? ? 即r ? ? ,则 1 ? . 4 3 12 6 S2 ? a 2 ? 6
第 6 页 (共 10 页)

16. 由 f ( x) ? f ( x ? 5) ? 16 ,可知 f ( x ? 5) ? f ( x) ? 16 ,则 f (x ? 5) ? f ( x ?5) ?0 ,所以 f ( x) 是以 10 为周期的周期函数. 在一个周期 (?1,9] 上,函数 f ( x) ? x ? 2 在 x ? (?1, 4] 区间内有 3 个零点,在
2 x

故 由于区间 (3, 2013] 中包含 201 个周期, x ? (4,9] 区间内无零点, f ( x) 在一个周期上仅有 3 个零点, 又 x ? [0,3] 时也存在一个零点 x ? 2 ,故 f ( x) 在 [0, 2013] 上的零点个数为 3? 201 ? 1 ? 604 . 三、解答题(本大题必做题 5 小题,三选一中任选 1 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用,以及三角函数的 值域的有关知识. 【试题解析】解:(1)由图像得 A ? 1 ,

1 ? sin( ? ? ) ,而 ? ? ? ? ,所以 ? ? ,因此函数 f ( x) ? sin( x ? ) ;(6 分) 3 6 2 2 3
(2) 由于 x ? [?? , ?

?

?

?

T 2? ? ? ? ? ? ? ,所以 T ? 2? ,则 ? ? 1 ;将 ( ,1) 代入得 4 3 6 2 6

?

?

?

6

] ,?

2? ? ? ? 1 1 所以 ?1 ≤ sin( x ? ) ≤ , 所以 f ( x) 的取值范围是 [?1, ] . ≤x? ≤ , 3 3 6 3 2 2

( 12 分) 18. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式,其中还包括对数的运算与裂项 求和的应用技巧. 【试题解析】解:(1)由题

1 Sn ?1 ? an ?1 ? 1 2 1 Sn ? an ? 1 2

① ②

1 1 1 (3 分) an?1 ? an ? 0 ,则 an?1 ? an . 2 2 3 1 2 2 1 当 n ? 1 时 S1 ? a1 ? 1 ,则 a1 ? ,则 {an } 是以 为首项, 为公比的等比数列, 2 3 3 3 2 1 n?1 2 n ?1 因此 an ? a1 ? q ? ? ( ) ? n . (6 分) 3 3 3 2 an ? log 3 3?2 n ? ?2n , (2) bn ? log 3 (8 分) 4 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ( ? ) , (10 分) 所以 bn ? bn ? 2 2n ? 2(n ? 2) 4 n(n ? 2) 8 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 Tn ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ? ? )? 8 1 3 2 4 n ?1 n ? 1 n n ? 2 8 2 n ? 1 n ? 2 16
①-②可得 an ?1 ? (12 分) 19. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体,考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高 与底面垂直,搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计,考查了空间直线垂直,以及线 面成角等知识,考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解:(1) ? AA1 ? A1C ? AC ? 2 ,且 O 为 AC 中点,

? A1O ? AC ,又?侧面 AAC1C ? 底面 ABC ,交线为 AC , A1O ? 面A1 AC , 1

? A1O ? 平面 ABC .
轴,建立空

(4 分)

(2) 如图,以 O 为原点,分别以 OB、OC、 OA1 所在直线为 x、y、z 间直角坐标系,则由题可知 B(1, 0, 0) , C (0,1, 0) ,

A1

z C1 B1

A1 (0, 0, 3) , A(0, ?1,0) .
第 7 页 (共 10 页)

A

O B x

C

y

???? ? ???? ? ??? ? ? ? A1C ? (0,1, ? 3) ,令平面 A1 AB 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则 n ? AA1 ? n ? AB ? 0 ,而 ???? ??? ? ? AA1 ? (0,1, 3) , AB ? (1,1, 0) ,可求得一个法向量 n ? (3, ?3, 3) ,所以 ? ???? ???? ? | n ? A1C | 6 21 | cos ? A1C , n ?|? ? ???? ? ? , 7 | n | ? | A1C | 2 ? 21
故直线 AC 与平面 A1 AB 所成角的正弦值为 1 (3) 存在点 E 为线段 BC1 的中点. 证明:连结 B1C 交 BC1 于点 M ,连结 AB1 、 OM ,则 M 为 BC1 的中点,从而 OM 是 ?CAB1 的一条 中位线,OM // AB1 ,而 AB1 ? 平面 A1 AB ,OM ? 平面 A1 AB ,所以 OM // 平面 A1 AB ,故 BC1 的 中点 M 即为所求的 E 点. (12 分) 20. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程,直线和椭圆的综合应用,考查学生的逻辑思维能力和运算 求解能力.

21 . 7

(8 分)

7 7 2 2 可知 x0 ? y0 ? ①(1 分) 4 2 ???? ???? 3 ? 3 又 PF1 ? PF2 ? , (?c ? x0 , ? y0 ) ? (c ? x0 , ? y0 ) ? , 4 4 3 2 2 2 (2 分) 即 x0 ? c ? y0 ? ② 4 2 ①代入②得: c ? 1 . 又 e ? , 2 x2 (4 分) 可得 a ? 2, b ? 1 ,故所求椭圆方程为 ? y2 ? 1 2 1 4 16 x2 2 2 (2)设直线 l : y ? kx ? ,代入 ? y 2 ? 1 ,有 (2k ? 1) x ? kx ? ? 0 . 3 3 9 2 4k ?16 , x1 x2 ? . (6 分) 设 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 2 3(2k ? 1) 9(2k 2 ? 1) uuu r uuu r 若 y 轴上存在定点 M (0, m) 满足题设,则 MA ? ( x1 , y1 ? m) , MB ? ( x2 , y2 ? m) , uuu uuu r r MAgMB ? x1 x2 ? ( y1 ? m)( y2 ? m) ? x1 x2 ? y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? m 2 1 1 1 1 ? x1 x2 ?( k x ? ) ( k 2 ? ) ? m k x ? 2 x? ) 2 ? m x ( 1 ? k 1 3 3 3 3 1 2m 1 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( ? m)( x1 ? x2 ) ? m2 ? ? 3 3 9 18(m 2 ? 1)k 2 ? (9m 2 ? 6m ? 15) ? (9 分) 9(2k 2 ? 1) uuu uuu r r 由题意知,对任意实数 k 都有 MAgMB ? 0 恒成立, 2 2 2 即 18(m ? 1)k ? (9m ? 6m ? 15) ? 0 对 k ? R 成立.
【试题解析】解:(1)设 P( x0 , y0 ) ,由 | OP |?

??? ?

(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识,具体涉及到导数的运算,用导数来研究函数的单调 性、极值等,以及函数与不等式知识的综合应用,考查学生解决问题的综合能力.
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? m 2 ? 1 ? 0, ? ?? 2 解得 m ? 1, ?9m ? 6m ? 15 ? 0, ? ?在 y 轴上存在定点 M (0,1) ,使以 AB 为直径的圆恒过这个定点.

(11 分)

【试题解析】解:由题意得:

f ?( x) ? (e x )? ? (ax 2 ? 2x ? 2) ? e x ? (ax 2 ? 2x ? 2)? 2 (2 分) ? e x (ax 2 ? 2x ? 2) ? e x (2ax ? 2) ? ae x ( x ? )( x ? 2) ; a (1) 由曲线 y ? f ( x) 在点 P(2, f (2))处的切线垂直于 y 轴,结合导数的几何意义得 f ?(2) ? 0 ,即 2 2a ? 2 (4 分) a ? e2 ? (2 ? )(2? 2) ? 4ae2 ? ? 0 ,解得 a ? 1 ; a a (2) 设 | sin x |? t (0 ≤ t ≤1) ,则只需求当 a ? 0 时,函数 y ? f (t )(0 ≤ t ≤1) 的最小值. 2 2 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 或 x ? ?2 ,而 a ? 0 ,即 ? ?2 . a a 2 2 从而函数 f ( x) 在 (??, ?2) 和 ( , ??) 上单调递增,在 (?2, ) 上单调递减. a a 2 当 ≥ 1 时,即 0 ? a ≤ 2 时,函数 f ( x) 在 [0,1] 上为减函数, ymin ? f (1) ? (a ? 4)e ; a 2 2 2 a 当 0 ? ? 1 , a ? 2 时, 即 函数 f ( x) 的极小值即为其在区间 [0,1] 上的最小值, ymin ? f ( ) ? ?2e . a a 综上可知,当 0 ? a ≤ 2 时,函数 f (| sin x |) 的最小值为 (a ? 4)e ;当 a ? 2 时,函数 f (| sin x |) 的最
小值为 ?2e .
x 2
2 a

(8 分)

(3) 令 e ( x ? 2 x ? 2) ? kx ,显然 x ? 0 ,则 k ? 构造函数 g ( x) ?

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) . x

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) ex , g ?( x) ? 2 ( x ? 2)( x ? 1)( x ? 2) . x x 令 g ?( x) ? 0 得 x1 ? ? 2 , x2 ? 1 , x3 ? 2 ,可知: g ( x) 在 ( ??, ? 2) 上单调递减,且 g ( x) ? 0 , 当 x 无限减小时, g ( x) 保持恒负并无限接近于 0,其图像在下方无限靠近 x 轴负半轴; g ( x) 在
(? 2, 0) 上单调递增,当 x 无限接近于 0 时,g ( x) 无限增大,其图像在左侧向上无限接近 y 轴正半轴,
由于极小值 g (? 2) ? ?2 e
? 2

?0 , 所以 g ( x) 在 ( ? 2, 0) 内存在一个零点; ( x) 在 (0,1) 上单调递增, g

在 (1, 2) 上单调递减,在 ( 2, ??) 上单调递增,因此 g ( x) 在 x ? 1 处取得极大值 g (1) ? ?3e ,在

x ? 2 处取得极小值 g ( 2) ? ?2e 2 . 当 x ? 0 并无限靠近 0 时,g ( x) 无限减小, 其图像无限靠近 y
轴负半轴,当 x 无限增大时, g ( x) 也由负值变为正值无限增大, g ( x) 在区间 ( 2, ??) 内也存在一个 零点. 函数 g ( x) 的大致图像如图所示:

y

O

x

k

k

根据条件 y ? kx 与 y ? f ( x) 的图像存在三个交点, 即方程 e ( x ? 2 x ? 2) ? kx 有三个解, 直线 y ? k
x 2

与函数 g ( x) ?

?2e?

2

e x ( x 2 ? 2 x ? 2) 的图像有三个公共点. 因此 g (? 2) ? k ? 0 或 g ( 2) ? k ? g (1) ,即 x ? k ? 0 或 ?2e 2 ? k ? ?3e ,从而 k 的取值范围是 (?2e 2 , ?3e) ? (?2e? 2 , 0) . (12
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分) 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质,以及圆中角的性质等知识. 【试题解析】 证明(1): 已知 AD 为⊙M 的直径, 连接 AB , ?BCE ? ?BAE , CEF ? ?ABC ? 90 , 则 ?
?

由点 G 为弧 BD 的中点可知 ?GAD ? ?BAE ? ?FCE ,故 ?CEF ∽ ?AGD ,所以有 即 AG ? EF ? CE ? GD . (5 分)

CE EF , ? AG GD

(2)由(1)知 ?DFG ? ?CFE ? ?ADG ,故 ?AGD ∽ ?DGF ,所以

GF DG EF ,即 ? ? DG AG CE

GF EF 2 ? . (10 分) AG CE 2
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识,具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程 转化,参数方程向普通方程转化,以及圆内几何图形的性质等. 【试题解析】解:(1)对于 C :由 ? ? 4cos ? ,得 ? ? 4 ? cos ? ,进而 x ? y ? 4 x ;
2 2 2

? 3 t ?x ? 5 ? 1 ? 2 ( t 为参数) 对于 l :由 ? ,得 y ? ( x ? 5) ,即 x ? 3 y ? 5 ? 0 .(5 分) 3 ?y ? 1 t ? ? 2
(2)由(1)可知 C 为圆,且圆心为 (2, 0) ,半径为 2,则弦心距 d ?

| 2? 3?0?5| 3 ? ,弦长 2 1? 3

3 | PQ |? 2 22 ? ( ) 2 ? 7 ,因此以 PQ 为边的圆 C 的内接矩形面积 S ? 2d ? | PQ |? 3 7 . 2
(10 分) 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识,具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容. 【试题解析】解:(1) 当 a ? 5 时, f ( x) ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ,由 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?5 ≥ 0 得

? x ≥ ?1 ? ?2 ≤ x ? ? 1 ? x ? ?2 或? 或? ,解得 x ≥ 1 或 x ≤ ?4 .即函数 f (x) 的定义域为 ? ? 2 x ? 2 ≥ 0 ? ?2 ≥ 0 ? ?8 ? 2 x ≥ 0 {x| x ≥ 1 或 x ≤ ?4 }. (5 分) (2) 由题可知 | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a ≥ 0 恒成立,即 a ≤| x ? 1| ? | x ? 2 | 恒成立,而 | x ? 1| ? | x ? 2 |≥| ( x ? 1) ? ( x ? 2) |? 1,所以 a ≤ 1 ,即 a 的取值范围为 (??,1] .
(10 分)

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