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江苏省常州市西夏墅中学高中数学 1.4 导数在实际生活中的应用课件 新人教A版选修2-2


高中数学 选修2-2

新课引入
导数在实际生活中有着广泛的应 用,利用导数求最值的方法,可以求出 实际生活中的某些最值问题. 1.几何方面的应用. (面积和体积等的最值) 2.物理方面的应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面的应用. (利润方面最值)

例1 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去 相等的正方形,再把它

的边沿虚线折起(如 图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长 是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少? x
x x
60

x

60

60- x 解:设箱底边长为x cm, 则箱高 h?= 2 2 3 60 x -x 2 = 箱子容积为V=x h (?0< x<60?) 2

V ?=60x-3x? /2
令V ?=0,得x=40,x=0 (舍去) 得V (40)=16000

当x∈(0,40)时V ?(x)>0;
当x∈(40,60)时V ?(x)<0; ∴V (40)为极大值,且为最大值. 答:当箱底边长为x=40时,箱子容积最大,最大值为16000cm3.

例2 圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与 底与半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?

h R

V 解:设桶底面半径为R,则桶高为h ? π R2 ? V ? 2 桶的用料为 S ( R) ? 2π R ? 2π R ? 2 ? ? πR ? 2V ' 2V 2 S ( R) ? 4π R ? 2 , ? 2π R ? , R R 2V 3 V ' 令S ( R) ? 4π R ? 2 ? 0, 解得R ? R 2π

V V 3 V 3 4V 此时,h ? 2 ? 2 ? ?2 πR ? V ? 即h ? 2R π 2 π 3 π? ? ? 2π ? 因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐高与底的直径相等时,所用材料最省.

变式:当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值 S 时,它的高与底面半径应怎样选取, 才能使所用材料最省? 2 S - 2 π R 提示:S=2πRh+2πR2 ?h= 2πR 1 S-2πR 2 2 1 2 V(R)= πR = (S-2πR )R= SR-πR3 ? 2 2 2πR
V ?(R)=0 ?S=6πR2 ?6πR2= 2πRh+2πR2 ? h=2R.

例3 在如图所示的电路中,已知电源的内阻为r,电 动势为ε,外电阻R为多大时,才能使电功率最大?最 大电功率是多少?

R

解:电功率P=I2R,其中I=

E R+r 2 E R P=[E/(R+r)]2R= ( R+r ) 2

为电流强度,则

( E 2 R) '( R+r )2-E 2 R[( R+r )2 ]' E 2 (r-R) P '= = 4 3 ( R+r ) ( R+r )
由P?=0,解得:R=r. 列表分析, 当R= 2r时,P取得极大值,且是最大值.最大值为 E P= . 4r 答:当外电阻 R等于内电阻r时,电功率最大,最大 2 E 电功率是 . 4r

例4 强度分别为a,b的两个点光源A,B,它们间 的距离为d,试问在连接这两个光源的线段AB上, 何处照度最小?试就a=8,b=1,d=3时回答上述 问题(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方 成反比.
P

A
X 3- X

B

解:如图,设点P在线段AB上,且P距光源A为x,
则P距光源B 为3-x(0<x<3).
ka 8k P点受A光源的照度为 x 2 ,即 x 2 ;

P点受B光源的照度为

kb

? 3-x ?

2

,即

k

? 3-x ?

2



(其中,k为比例常数) 从而,P点的总照度为: 8k k I ? x ?= 2 + 0 ? x ? 3? . 2 ? x ?3-x ?

2 18 k x - 2 x -6 x+12 ? ? ? ? 16k 2k 由I ? ? x ?=- 3 + = =0 3 3 3 x x ? 3-x ? ? 3-x ?

解得x=2,故当0<x<2时,I?(x)<0;当2<x<3时, I?(x)>0. 因此,x=2时,I取得极小值,且是最小值. 答:在连结两光源的线段AB上,距光源A为2处的照度最小.

例5 在经济学中,生产x单位产品的成本称为成 本函数,记为C(x);出售x单位产品的收益称为收 益函数,记为R(x); R(x)-C(x)称为利润函数, 记为P(x). (1)设C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,生产多 少单位产品时,边际成本C?(x)最低? (2)设C(x)=50x+10000,产品的单价p=100-0.01x, 怎样定价可使利润最大?

解:(1)c?(x)=3×10-6x2-0.006x+5=g(x),

g?(x) =6×10-6x-0.006=0,
解得:x=1000,而g(x)在x>0上仅有一个极小 值,故x=1000时边际成本最低. (2)P(x)= R(x) - C(x) =x(100-0.01x)-(50x+10000) = -0.01x2+50x- 10000 , x=2500,而P(x)最大,此时P=100-25=75. 答:生产1000个单位产品时,边际成本最低;当生产的 单价为75时,利润最大.

四、课堂练习 1.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分成 ________和________. 2.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为____ 时,它的面积最大. 3.有一边长分别为8与5的长方形,在各角剪去相同的小正方形, 把四边折起作成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,问剪去 的小正方形边长应为多少? 4.一条水渠,断面为等腰梯形,如图所示,在确定断面尺寸时, 希望在断面ABCD的面积为定值S时,使得湿周l=AB+BC+CD 最小,这样可使水流阻力小,渗透少,求此时的高h和下底边长 b.

五、回顾反思
(1)解有关函数最大值、最小值的实际问题,需要分析问题 中各个变量之间的关系,找出适当的函数关系式,并确定函 数的定义区间;所得结果要符合问题的实际意义.

(2)根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此
区间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必 再与端点值比较. (3)相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单 .


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