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2013高考数学一轮复习 13.2 复数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版


2013 年高考数学一轮复习精品教学案 13.2 复数的概念及运算 (新课 标人教版,教师版)
【考纲解读】 1.复数的概念 ① 理解复数的基本概念.② 理解复数相等的充要条件. ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义. 2.复数的四则运算 ① 会进行复数代数形式的四则运算.② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为

: 1.复数是历年来高考重点内容之一,经常以选择题与填空题形式考查,难度不大, 在考查复数 的概念及运算的同时, 又考查转化与化归思想等数学思想, 以及分析问题与解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持复数的相关概念及其运算,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念 形如 a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a,b 分别是它的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数,若 b≠0,则 a+bi 为虚数,若 a=0 且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (2)复数相等:a+bi=c+di?a=c 且 b=d(a,b,c,d∈R). (3)共轭复数:a+bi 与 c+di 共轭?a=c;b=-d(a,b,c,d∈R). (4)复数的模 → 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作| z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=

a2+b2.
2.复数的四则运算 设 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 (1)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; (2)减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; (3)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+ di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; (4)除法: =

z1 a+bi ? a+bi? ? c-di? = z2 c+di ? c+di? ? c-di?

? ac+bd? +? bc-ad? i = ( c+di≠0). c2+d2 【例题精析】

1

考 点一

复数的有关概念

例 1. (2012 年高考陕西卷文科 4)设 a, b ? R ,i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? 为纯虚数”的( C 。充分必要条件 )A.充分不必要条件 B。必要不充分条件

b i

D。既不充分也不必要条件

【名师点睛】本小题主要考查复数的有关概念,复数的分类及对应点的位置问题都可以转化 为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部、虚部满足 的方程即可. 【变式训练】 1.(2011 年高考安徽卷江苏 3 )设复数 i 满足 i( z ? 1) ? ?3 ? 2i (i 是虚数单位) ,则 z 的实 部是_________ 【答案】1 【解析】因为 z ? 1 ? 考点二

?3 ? 2i ? (?3 ? 2i)(?i) ? 2 ? 3i ,所以 z ? 1 ? 3i ,故 z 的实部是 1. i 3?i =( 1? i
)

复数的四则运算

例2.(2012年高考浙江卷文科2) 已知i是虚数单位,则 A 1-2i B 2-i C 2+i D

1+2i

【变式训练】 -3+i 2. (2012 年高考新课标全国卷文科 2)复数 z= 的共轭复数是 ( 2+i (A)2+i (B)2-i (C)-1+i (D)-1-i )

2

【易错专区】 问题:复数的综合应用

b 例. 2012 年高考江苏卷 3) a , ? R , ? bi ? ( 设 a

11 ? 7i (i 为虚数单位)则 a ? b 的值为 , 1 ? 2i



【课时作业】 1. (2012 年高考全国卷理科 1)复数 A. 2 ? i 【答案】C 【解析】 B. 2 ? i

?1 ? 3i ?( 1? i
C. 1 ? 2i

) D. 1 ? 2i

? 1 ? 3i (?1 ? 3i)(1 ? i) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i ,选 C. 1? i (1 ? i)(1 ? i) 2
2?i ( i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象 限 2?i

2. (2011 年高考山东卷理科 2)复数 z= 为( )

(A)第一象限 (B)第二象限 【答案】D

(C)第三象限 (D)第四象限

2 ? i (2 ? i ) 2 3 ? 4i ? ? 【解析】因为 z ? ,故复数 z 对应点在第四象限,选 D. 2?i 5 5
3. (2011 年高考天津卷理科 1) i 是虚数单位,复数 A. 2 ? i B. 2 ? i C. ?1 ? 2i

1 ? 3i =( 1? i

)

D. ?1 ? 2i
3

【答案】A 【解析】因为

1 ? 3i (1 ? 3i)(1 ? i) ? ? 2 ? i ,故选 A. 1? i 2

4.(2011 年高考安徽卷理科 1)设 i 是虚数单位, 复数 (A)2 (B) ? 2 (C)

?? ai 为纯虚数, 则实数 a 为( ??i ? ? ? (D) ? ?

)

5.(2011 年高考浙江卷理科 2)把复数 z 的共轭复数记作 z ,若 z ? 1 ? i , i 为虚数单位,则

(1 ? z) z =(
(A) 3 ? i 【答案】 A

) (B) 3 ? i (C) 1 ? 3i (D) 3

【解析】 (1 ? z) z ? z ? zz ? 1 ? i ? (1 ? i)(1 ? i) ? 1 ? i ? 2 ? 3 ? i 故选 A. 6.(2011 年高考江西卷理科 1)若 z ? A. ?? ? i 【答案】D

?? ?i ,则复数 z ? ( i
C.

)

B. ?? ? i

??i

D. ? ? i

?? ?i = (?? ?i)(?i) ? ? ? i ,所以复数 z ? ? ? i ,选 D. i i 7. (2010 年高考陕西卷文科 2)复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1? i
【解析】因为 z ? (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限

) (D)第四象限

8. (2012 年高考湖南卷理科 12)已知复数 z ? (3 ? i) 【 答案】10

2

(i 为虚数单位),则|z|=_____.

2 2 【解析】 z ? (3 ? i) = 9 ? 6i ? i ? 8 ? 6i , z ? 8 ? 6 ? 10 .
2 2

9.(2011 年高考上海卷理科 19)(12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚 数 单位) ,复数 z2 的虚部为 2 , z1 ? z2 是实数,求 z2 .
4

【考题回放】 1. 2012 年高考山东卷文科 1) ( 若复数 z 满足 z (2 ? i) ? 11 ? 7i(i 为虚数单位), z 为( 则 (A)3+5i 【答案】A 【解析】 z ? (B)3-5i (C)-3+5i (D)-3-5i )

11? 7i (11? 7i)(2 ? i) 15 ? 25i ? ? ? 3 ? 5i .故选 A. 2?i (2 ? i)(2 ? i) 5
1 ?( 1? i
(C) ) (D) 1 ? i

2.(2012 年高考辽宁卷文科 3)复数 (A)

1 1 ? i 2 2

(B)

1 1 ? i 2 2

1? i

【答案】A 【解析】

1 1? i 1? i 1 i ? ? ? ? ,故选 A. 1 ? i (1 ? i)(1 ? i) 2 2 2
3 ? 4i =( i
)

3.(2012 年高考广东卷文科 1)设 i 为虚数单位,则复数 A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i

【答案】D 【解析】因为

3 ? 4i (3 ? 4i ) ? (?i) ? 4 ? 3i ,故选 D. = i 1
5 ? 3i 4?i

4.(2012 年高考天津卷文科 1)i 是虚数单位,复数 (A)1-i (C)1+I (B)-1+I (D)-1-i

=(

)

5.(2012 年高考北京卷文科 2)在复平面内,复数 A. (1 ,3) 【答案】A B.(3,1) C.(-1,3)

10i 对应的点的坐标为( 3?i
D.(3 ,-1)

)

【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面,实部虚部的概念。

5

10i 10i(3 ? i) 30i ? 10i 2 10 ? 30i ? ? ? ? 1 ? 3i ,实部为 1,虚部为 3,对应复平面上 3 ? i (3 ? i)(3 ? i) 9 ? i2 10
的点为(1,3),故选 A. 6.(201 2 年高考安徽卷文科 1)复数 z 满足 ( z ? i)i ? 2 ? i ,则 z ? ( (A) ?1 ? i (B) 1 ? i (C) ?1 ? 3i (D) 1 ? 2i )

7. (2012 年高考湖南卷文科 2)复数 z=i(i+1) 为虚数单位)的共轭复数是( (i A.-1-i B.-1+i 【答案】 A 【解析】由 z=i(i+1)= ?1 ? i ,及共轭复数定义得 z ? ?1 ? i . C.1-i D.1+i

)

i 2 ? i3 ? i 4 ?( 8.(2011 年高考重庆卷理科 1)复数 1? i
(A) ? (C)

) (B) ?

1 1 ? i 2 2 1 1 ? i 2 2

1 1 ? i 2 2 1 1 ? i (D) 2 2

9. (2012 年高考上海卷文科 1)计算: 【答案】 1 ? 2i 【解析】

3?i ? 1? i

( i 为虚数单位)

3 ? i 2 ? 4i ? = 1 ? 2i . 1? i 2
=a+bi(a,b 为实数,i 为虚数单位) ,则

10. (2012 年高考湖北卷文科 12)若 a+b=____________.

6

解得 a ? 0, b ? 3 ,所以 a+b=3.

7


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