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高考数学一轮复习 向量习题

时间:2014-09-27


一、选择题 5i 1.(2012 年南昌模拟)已知复数 z 的实部为-1,虚部为 2,则 z =( A.2-i C.-2-i B.2+i D.-2+i 5i?-1-2i? 5i = =-i+2,故选 A. 5 -1+2i )

5i 解析:由已知得 z=-1+2i,则 z = 答案:A

2.(2012 年西安模拟)在复平面上,若复数 数 a 的值为( A.2 C.-1 解析:∵复数 ) B.1 D.-2

a+2i 所对应的点在虚轴上,则实 1-i

a+2i ?a+2i??1+i? a-2+?a+2?i = = 所对应的点在虚轴上,∴ 2 1-i ?1-i??1+i?

实部为 0,即得 a=2,故应选 A. 答案:A 3.设 a 是实数,且 1 A.2 3 C.2 解析:∵ 1+2i a + 5 是实数,则 a=( 1+2i B.1 D.2 1+2i a+1 2-2a a + = + i 5 5 5 1+2i )

∴2-2a=0,∴a=1,选 B. 答案:B 4.已知复数 z= A.-2+2i C.-2-2i 2 ,则 z2 等于( 1-i B.2i D.-2i )

解析:据已知可得 z= 答案:B

2?1+i? 2 = 2 =1+i,故 z2=(1+i)2=2i. 1-i

5. 已知 x, y∈R, i 是虚数单位, 且(x-1)i-y=2+i, 则(1+i)x-y 的值是( A.-4 C.-1 B.4 D.1

)

解析:由(x-1)i-y=2+i 得 x-1=1 且-y=2, ∴x=2,y=-2. ∴(1+i)x-y=(1+i)4=[(1+i)2]2=(2i)2=-4.故选 A. 答案:A 二、填空题 6.复数 ?1-i??1+i? 在复平面内对应的点到原点的距离为________. i

?1-i??1+i? 2 解析: = i =-2i,故复数在复平面内对应的点为(0,-2),所求 i 距离为 2. 答案:2 7.(2012 年南京模拟)已知复数 z 满足(z-2)i=1+i(i 为虚数单位),则 z 的模 为________. 1+i 解析: 由题意得 z= i +2=1-i+2=3-i, |z|=|3-i|= 32+?-1?2= 10, 故填 10. 答案: 10 i z2 8.已知复数 z1=3-i,z2 是复数-1+2i 的共轭复数,则复数z - 4 的虚部 1 等于________. -1-2i 3i-1 -1-2i i z2 i 解析:z - 4 = - 4 = 10 - 4 = 3-i 1 3+16i 4 ,其虚部为 20 5. 4 答案:5

9.若复数 z=cos θ+isin θ 且 z2+ z 2=1,则 sin2 θ=______. 解析:z2+ z 2=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2 =2cos 2 θ=1 1 ?sin2 θ=4. 1 答案:4 三、解答题 10.若复数 z1 与 z2 在复平面上所对应的点关于 y 轴对称,且 z1(3-i)=z2(1 +3i),|z1|= 2,求 z1. 解析:设 z1=a+bi,则 z2=-a+bi, ∵z1(3-i)=z2(1+3i),且|z1|= 2, ??a+bi??3-i?=?-a+bi??1+3i?, ∴? 2 2 ?a +b =2, ?a=1 ?a=-1, 解得? 或? ?b=-1 ?b=1, 则 z1=1-i 或 z1=-1+i. ?1+i?2+3?1-i? 11.设复数 z= ,若 z2+az+b=1+i,求实数 a、b 的值. 2+i 解析:z= = ?1+i?2+3?1-i? 2i+3?1-i? 3-i = = 2+i 2+i 2+i

?3-i??2-i? 5-5i = 5 =1-i. ?2+i??2-i?

将 z=1-i 代入 z2+az+b=1+i, 得(1-i)2+a(1-i)+b=1+i, 即(a+b)-(a+2)i=1+i, ?a+b=1, ?a=-3, ∴? 解得? ?-?a+2?=1, ?b=4. 12.已知 z1=cos θ-i, z2=sin θ+i, 求 z1 · z2 的实部的最大值. 解析:z1· z2=(cos θ-i)(sin θ+i)

=sin θcos θ+1+(cos θ-sin θ)i, 故复数 z1· z2 的实部为 sin θcos θ+1, 1 3 由 sin θcos θ+1=2sin 2θ+1≤2. 3 所以实部的最大值为2.


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