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数学(人教a版)必修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (3)


章末整合提升

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专题一:解不等式

7 【例 1】 设 f(x)=ax +bx+c,若 f(1)=2,问是否存在 a,
2

1 3 2 b,c∈R,使得不等式 x +2≤f(x)≤2x +2x+2对一切实数 x 都
2

>
成立,证明你的结论.

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7 7 解:由 f(1)=2,得 a+b+c=2. 1 3 2 令 x +2=2x +2x+2?x=-1.
2

3 3 由 f(x)≤2x +2x+2,可得 f(-1)≤2,
2

1 3 由 f(x)≥x +2,推得 f(-1)≥2,
2

3 3 ∴f(-1)=2.∴a-b+c=2.
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5 故 a+c=2且 b=1. 5 ∴f(x)=ax +x+2-a.
2

5 1 2 依题意 ax +x+2-a≥x +2对一切 x∈R 都成立,
2

即(a-1)x2+x+2-a≥0 对于一切 x∈R 都成立. ∴a≠1 且 Δ=1-4(a-1)(2-a)≤0. 3 由 a-1>0,得 a=2. 3 2 ∴f(x)=2x +x+1.
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证明如下:
3 2 3 2 2x +x+1-2x -2x-2 1 2 1 =-2x -x-2 1 =-2(x+1)2≤0. 3 2 3 2 ∴2x +x+1≤2x +2x+2对 x∈R 都成立. 3 1 2 ∴存在实数 a=2, b=1, c=1, 使得不等式 x +2≤f(x)≤2x2 3 +2x+2对一切 x∈R 都成立.
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【互动与探究】
1.(2013年重庆)设0≤α≤π,不等式8x2-(8sinα)x+cos2α≥
? ? π? ?5π ?0, ?∪? ,π? 6? ? 6 ? ? 0对x∈R恒成立,则α的取值范围为_________________.

解析:由题意可得,Δ=64sin2α-32cos2α≤0,得 2sin2α- (1-2sin2α)≤0. 1 1 1 ∴sin α≤4.∴-2≤sinα≤2.
2

? ? π? ?5π ∵0≤α≤π,∴α∈?0,6?∪? 6 ,π?. ? ? ? ?

x+1 2.不等式 x ≤3

? 1? ?x|x<0或x≥ ? 2? ? 的解集为______________.
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专题二:线性规划 【例 2】 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一 个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合

物,6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C.另外,该儿童这
两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位 的蛋白质和 54 个单位的维生素 C.如果一个单位的午餐、晚餐 的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养要求,并 且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚 餐?
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解:设为该儿童分别预订x,y 个单位的午餐和晚餐,共花 费z 元,则 z=2.5x+4y,且满足以下条件,
? ?12x+8y≥64, ?6x+6y≥42, ? ?6x+10y≥54, ? ?x,y≥0, ? ?3x+2y≥16, ?x+y≥7, 即? ?3x+5y≥27, ? ?x,y≥0.

图3-1
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可行域见图 3-1 的阴影部分. 作直线 l:2.5x+4y=0,平移直线 l 至直线 l0, 当直线l0 经过点 C 时,可使 z 达到最小值.
? ?3x+5y=27, 由? ? ?x+y=7 ? ?x=4, ?? ? ?y=3,

得 C(4,3).

此时 z=2.5×4+4×3=22.

答:午餐和晚餐分别预定4 个单位和3 个单位,花费最少
为 22 元.
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【互动与探究】
?x+2y≤8, ? 3.(2013 年湖南)若变量 x, y 满足约束条件?0≤x≤4, ?0≤y≤3, ? x+y 的最大值为______.



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解析:画出可行域如图 D24 的阴影部分,

? ?x+2y=8, 由? ? ?x=4,

图 D24

得 A(4,2).

目标函数 z=x+y 可看作斜率为-1 的动直线,其纵截距越
大,z 越大. 由数形结合,可得当动直线过点 A 时,z最大=4+2=6. 答案:6
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4.某运输公司有 12 名驾驶员和 19 名工人,有 8 辆载重量 为 10 吨的甲型卡车和 7 辆载重量为 6 吨的乙型卡车.某天需运 往 A 地至少 72 吨的货物,派用的每辆车需满载且只运送一次. 派用的每辆甲型卡车需配 2 名工人,运送一次可得利润 450 元; 派用的每辆乙型卡车需配 1 名工人,运送一次可得利润 350 元. 该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数,可得最大利润 z =(

)
A.4650 元 B.4700 元

C.4900 元

D.5000 元
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解析:由题意设分别派甲, 乙卡车 x, y 辆, 则利润 z=450x ? ?x+y≤12, ?10x+6y≥72, ? +350y, 由题意, 得 x, y 满足约束条件?2x+y≤19, ? ?0≤x≤8,0≤y≤7, ? ?x∈N,y∈N,
? ?x+y=12, 画出可行域.由图可知:在? ? ?2x+y=19 ? ?x=7, 的交点? ? ?y=5

处取得

最大值,代入目标函数求得 z=4900.

答案:C
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专题三:基本不等式的应用 【例 3】 迎世博,要设计如图 3-2 的一张矩形广告,该广 告含有大小相等的左中右三个矩形栏目,这三栏的面积之和为 60 000 cm2,四周空白的宽度为 10 cm,栏与栏之间的中缝空白 的宽度为 5 cm,怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸(单位: cm),能使整个矩形广告面积最小.

图 3-2
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解:设矩形栏目的高为 a cm,宽为 b cm,
20 000 则 ab=20 000,∴b= a .

广告的高为 a+20,宽为 3b+30(其中 a>0,b>0).
广告的面积

S=(a+20)(3b+30)
=30(a+2b)+60 600
? 40 000? =30?a+ a ?+60 ? ?

600
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≥30×2

40 000 a× a +60 600

=12 000+60 600=72 600.

40 000 当且仅当 a= a ,即 a=200 时,取等号,
此时 b=100.

故当广告的高为200 cm,宽为100 cm 时,可使广告的面
积最小.
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【互动与探究】 5.某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造 一栋至少 10 层,每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房 建为 x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为 560+48x(单位:

元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,则楼房应建为
( B )

?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费? ? ? 购地总费用 ?用,平均购地费用= ? 建筑总面积 ? ?
A.10 层 B.15 层
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C.20 层

D.30 层

a 6.(2013 年四川)已知函数 f(x)=4x+x(x>0,a>0)在 x=3 时

取得最小值,则 a=________. 36

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