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第七章 7.1不等关系与不等式

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第七章

不等式

§ 7.1

不等关系与不等式

a-b>0?a > b ? ? 1.两个实数比较大小的方法:作差法?a-b=0?a = b ? ?a-b<0?a < b

(a,b∈R).

2.初中学习的不等式的重要性质: (1)若 a>b,b>c,则 a>c; (2)若 a>b,则 a+c>b+c; (3)若 a>b,c>0,则 ac>bc;若 a>b,c<0,则 ac<bc. 3. 不等式的主要性质总结: (1)若 a>b, c>d, 则 a+c>b+d; (2)若 a>b>0, c>d>0, 则 ac>bd; n n (3)若 a>b>0,则 an>bn(n∈N+); (4)若 a>b>0,则 a> a(n∈N+). 4.不等式的一些常用性质: 1 1 (1)倒数的性质:①a>b,ab>0? < . a b 1 1 1 ④0<a<x<b 或 a<x<b<0? < < . b x a b b+m b b-m (2)有关分数的性质:若 a>b>0,m>0,则① < ; > (b-m>0). a a+m a a-m a a+m a a-m ② > ; < (b-m>0). b b+m b b-m 课前检测: 1.(2014· 四川)若 a>b>0,c<d<0,则一定有( a b A. > c d a b B. < c d a b C. > d c a b D. < d c ) 答案 D 1 1 ②a<0<b? < . a b a b ③a>b>0,0<c<d? > . c d

a b 解析 令 a=3,b=2,c=-3,d=-2, 则 =-1, =-1,所以 A,B 错误; c d a 3 b 2 a b =- , =- ,所以 < ,所以 C 错误.故选 D. d 2 c 3 d c 2.设 a<b<0,则下列不等式中不成立的是( 1 1 A. > a b 1 1 B. > a-b a C.|a|>-b ) 答案 B

D. -a> -b

1 1 1 1 解析 由题设得 a<a-b<0,所以有 < 成立, 即 > 不成立. a-b a a-b a 1 1 b a 3.若 < <0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|;③a<b;④ + >2 中,正确的有( a b a b A.①② B.②③ C.①④ D.③④ 答案 C ba ·= ab )

1 1 a b b a 解析 ∵ < <0,∴b<a<0,a+b<0,ab>0, >0, >0,∴a+b<ab,|a|<|b|, + >2 a b b a a b 2(因为 b≠a,故等号不能取到).故①④正确.

4.已知 a1≤a2,b1≥b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是________________. 答案 a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1 解析 ∵a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=a1(b1-b2)+a2(b2-b1)=(b1-b2)(a1-a2), ∵a1≤a2,b1≥b2,∴(b1-b2)(a1-a2)≤0,∴a1b1+a2b2≤a1b2+a2b1. 应用示例: 题型一 用不等式(组)表示不等关系 例 1 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售,每天可销售 100 件,现在他 采用提高售价,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的单价每提高 1 元,销售量就 相应减少 10 件. 若把提价后商品的单价设为 x 元, 怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元? 解 x-10 若提价后商品的单价为 x 元,则销售量减少 ×10 件, 1

因此, 每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元, 则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为 不等式 思维升华 (x-8)[100-10(x-10)]≥300. 对于不等式的表示问题,关键是理解题意,分清变化前后的各种量,得出相应

的代数式,然后,用不等式表示.而对于涉及条件较多的实际问题,则往往需列不等式组 解决. 已知甲、乙两种食物的维生素 A,B 含量如下表: 甲 维生素 A(单位/kg) 维生素 B(单位/kg) 600 800 乙 700 400

设用甲、乙两种食物各 x kg,y kg 配成至多 100 kg 的混合食物,并使混合食物内至少含有

56 000 单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B,则 x,y 应满足的所有不等关系为________. x+y≤100, ? ?6x+7y≥560, ?2x+y≥155, ? ?x≥0,y≥0

答案

题型二 比较大小 例2 (1)已知 a1,a2∈(0,1),记 M=a1a2,N=a1+a2-1,则 M 与 N 的大小关系是( B.M>N C.M=N D.不确定 ) D.b<a<c 答案 (1)B (2)B )

A.M<N

ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a= ,b= ,c= ,则( 3 4 5 A.a<b<c 解析 B.c<b<a

C.c<a<b

(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1),

又∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即 M-N>0.∴M>N. b 3ln 4 (2)方法一 易知 a,b,c 都是正数, = =log8164<1,所以 a>b; a 4ln 3 b 5ln 4 = =log6251 024>1,所以 b>c.即 c<b<a. c 4ln 5 1-ln x ln x 方法二 对于函数 y=f(x)= ,y′= ,易知当 x>e 时,函数 f(x)单调递减. x x2 因为 e<3<4<5,所以 f(3)>f(4)>f(5),即 c<b<a. 思维升华 比较大小的常用方法: (1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结 论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平 方式.当两个式子都为正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与 1 的大小;④结论. (3)函数的单调性法:将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值,根据函数单调性得出 大小关系. (1)如果 a<b<0,那么下列不等式成立的是( 1 1 A. < a b B.ab<b2 C.-ab<-a2 )

1 1 D.- <- a b ) 答案 (1)D (2)D

(2)(2013· 课标全国Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b

解析

1 1 b-a 1 1 (1)对于 A 项,由 a<b<0,得 b-a>0,ab>0,故 - = >0, > ,故 A 项错误; a b ab a b

对于 B 项,由 a<b<0,得 b(a-b)>0,ab>b2,故 B 项错误; 对于 C 项,由 a<b<0,得 a(a-b)>0,a2>ab,即-ab>-a2,故 C 项错误; 1 1 a-b 1 1 对于 D 项,由 a<b<0,得 a-b<0,ab>0,故- -(- )= <0,- <- 成立. a b ab a b 故 D 项正确. 1 1 (2)因为 log32= <1,log52= <1,又 log23>1,所以 c 最大.又 1<log23<log25,所以 log23 log25 1 1 > ,即 a>b,所以 c>a>b,选 D. log23 log25 题型三 不等式性质的应用 例 3 已知 a>b>0,给出下列四个不等式:①a2>b2;②2a>2b 1;③ a-b> a- b;④a3


+b3>2a2b.其中一定成立的不等式为( A.①②③ B.①②④ C.①③④

) D.②③④ 答案 A

解析 方法一 由 a>b>0 可得 a2>b2,①成立; 由 a>b>0 可得 a>b-1,而函数 f(x)=2x 在 R 上是增函数, ∴f(a)>f(b-1),即 2a>2b 1,②成立;


∵a>b>0,∴ a> b,∴( a-b)2-( a- b)2=2 ab-2b=2 b( a- b)>0, ∴ a-b> a- b,③成立;若 a=3,b=2,则 a3+b3=35,2a2b=36, a3+b3<2a2b,④不成立. 故选 A. 方法二 令 a=3,b=2,可以得到①a2>b2,②2a>2b 1,③ a-b> a- b均成立,而④a3


+b3>2a2b 不成立,故选 A. 思维升华 (1)判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断

需要利用不等式的性质. (2)在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑, 找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还要用到其他知识, 比如对数函数、指数函数的性质等. (1)设 a,b 是非零实数,若 a<b,则下列不等式成立的是( )

A.a2<b2

B.ab2<a2b

1 1 C. 2< 2 ab a b

b a D. < a b

(2)已知 a,b,c∈R,有以下命题:①若 a>b,则 ac2>bc2;②若 ac2>bc2,则 a>b;③若 a>b, 则 a· 2c>b· 2c. 其中正确的是________.(填上所有正确命题的序号) 答案 (1)C 解析 (1)当 a<0 时,a2<b2 不一定成立,故 A 错. (2)②③

因为 ab2-a2b=ab(b-a), b-a>0,ab 符号不确定,所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定, B 1 1 a- b 1 1 b a 错.因为 2- 2 = 2 2 <0,所以 2< 2 ,故 C 正确. D 项中 与 的大小不能确定. ab a b a b ab a b a b (2)①若 c=0 则命题不成立.②正确.③中由 2c>0 知成立.: 易错警示系列 9:不等式变形中扩大变量范围致误 典例:设 f(x)=ax2+bx,若 1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,则 f(-2)的取值范围是________. 易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性,先求出 a,b 的范围,再求 f(-2)=4a- 2b 的范围,导致变量范围扩大. 解析 方法一 设 f(-2)=mf(-1)+nf(1) (m、n 为待定系数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+ b),
?m+n=4, ?m=3, ? ? 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b,于是得? 解得? ? ? ?n-m=-2, ?n=1.

∴f(-2)=3f(-1)+f(1).又∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10,即 5≤f(-2)≤10.
?f?-1?=a-b, ? 由? 得 ?f?1?=a+b ?

方法二

?a=2[f?-1?+f?1?], ? 1 ?b=2[f?1?-f?-1?].

1

∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).

又 ∵1≤f( - 1)≤2,2≤f(1)≤4 , ∴5≤3f( - 1) + f(1)≤10 ,故 5≤f( - 2)≤10.
? ?1≤a-b≤2, 方法三 由? ?2≤a+b≤4 ?

确定的平面区域如图阴影部分, 3 1 3 1 当 f(-2)=4a-2b 过点 A( , )时,取得最小值 4× -2× =5, 2 2 2 2 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时,取得最大值 4×3-2×1=10, ∴5≤f(-2)≤10.

答案

[5,10]

温馨提醒 (1)此类问题的一般解法: 先建立待求整体与已知范围的整体的关系, 最后通过” 一次性“使用不等式的运算求得整体范围; (2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围. 课堂小结: 方法与技巧: 1.用同向不等式求差的范围.
? ? ?a<x<b, ?a<x<b, ? ?? ?a-d<x-y<b-c. ? ? ?c<y<d ?-d<-y<-c

这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.
? ?ab>0, ?ab>0, 1 1 ? 1 1 2.倒数关系在不等式中的作用. ? ? < ;? ? > . a b a b ?a>b ?a<b ? ?

3.比较法是不等式性质证明的理论依据,是不等式证明的主要方法之一.比差法的主要步 骤:作差——变形——判断正负.在所给不等式完全是积、商、幂的形式时,可考虑比商. 4.求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法. 1 1 1 1 失误与防范: 1. a>b?ac>bc 或 a<b?ac<bc, 当 c≤0 时不成立. 2. a>b? < 或 a<b? > , a b a b a 当 ab≤0 时不成立. 3.a>b?an>bn 对于正数 a、b 才成立. 4. >1?a>b,对于正数 a、b b 才成立. 5.注意不等式性质中“?”与“?”的区别,如: a>b,b>c?a>c,其中 a>c
?a>b 不能推出? .6.比商法比较大小时,要注意两式的符号. ?b>c

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