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2.3 变量间的相关关系


2.3 变量间的相关关系
.

自主学习:P84

相关关系
(1)概念:自变量取值一定时,因变量的取值带有一 定随机性的两个变量之间的关系叫相关关系。 (2)相关关系与函数关系的异同点。 相同点:两者均是指两个变量间的关系。 不同点:函数关系是一种确定关系,是一种因果系; 相关关系是一种非确定的关系,也不一定是因果关

系(但 可能是伴随关系)。 (3)相关关系的分析方向。

在收集大量数据的基础上,利用统计分析,发现规律, 对它们的关系作出判断。

练习

下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( ).

A.角度和它的余弦值

B.正方形边长和面积

C.正n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高

探究:
年龄 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 年龄 60 61

.

脂肪 35.2 34.6

如上的一组数据,你能分析人体的脂肪含量与年龄 之间有怎样的关系吗?

从上表发现,对某个人不一定有此规律,但对很多个体放在 一起,就体现出“人体脂肪随年龄增长而增加” 这一规律.而 表中各年龄对应的脂肪数是这个年龄人群的样本平均数.我们 也可以对它们作统计图、表,对这两个变量有一个直观上的印 象和判断.

下面我们以年龄为横轴, 脂肪含量为纵轴建立直 40 角坐标系,作出各个点, 35 称该图为散点图。 30
25 20 15 10 5

脂肪含量

年龄

O
20 25 30 35 40
45 50 55 60 65

从刚才的散点图发现:年龄越大,体内脂肪含量越高,点的 位置散布在从左下角到右上角的区域。称它们成正相关。 但有的两个变量的相关,如下图所示:

如高原含氧量与海拔高度 的相关关系,海平面以上, 海拔高度越高,含氧量越 少。 作出散点图发现,它们散 布在从左上角到右下角的区 域内。又如汽车的载重和汽 车每消耗1升汽油所行使的 平均路程,称它们成负相关.

O

我们再观察它的图像发现这些点大致分布在一条直线附 近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上看大致在 一条直线附近,我们就称这两个变量之间具有线性相 关关系,这条直线叫做回归直线,该直线叫回归方程。

那么,我 们该怎样来求 出这个回归方 程? 请同学们 展开讨论,能 得出哪些具体 的方案?

脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案1、先画出一条直线,测量出各点与它 .的距离,再移动直线,到达一个使距离的和最 小时,测出它的斜率和截距,得回归方程。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

.

方案2、在图中选两点作直线,使直线 两侧 的点的个数基本相同。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

方案3、如果多取几对点,确定多条直线,再 求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直 线的斜率和截距。而得回归方程。 如图: 我们还可以找到 更多的方法,但 这些方法都可行 吗?科学吗? 准确吗?怎样的 方法是最好的?
我们把由一个变量的变化 去推测另一个变量的方法 称为回归方法。
脂肪含量 40 35 30 25 20 15 10 5 0 20 25 30 35 40 年龄 45 50 55 60 65

我们上面给出的几种方案可靠性都不是很强,人们经 过长期的实践与研究,已经找到了计算回归方程的斜 率与截距的一般公式 : n n

?

b?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? n x y
i ?1 i i

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

? x ? nx
i ?1 2 i

2

,

a ? y ? bx

以上公式的推导较复杂,故不作推导,但它的原 理较为简单:即各点到该直线的距离的平方和最 小,这一方法叫最小二乘法。(参看课本P89)

求两变量间的回归方程 例1:观察两相关变量得如下表: x -1 -2 -3 -4 -5 5 3 4 2 1
y
解:列表:
i

一、求线性回归方程

-9 -7 -5 -3 -1
1
i

1
5 6

5
7

3
8

7
9

9
10

2

3

4

x y
i

i

-1 -9
i

-2 -7

-3 -5
10

-4 -3

-5 -1
5
2 i

5 1
5

3 5
10

4 3

2 7

1 9
9

xy
计算得:

9

14 15 12

15 12 14
i ?1

b?

?x y
i ?1 10 i

10

x ? 0, y ? 0
i

? 10x y
2

?x
i ?1

? 110 , ? xi

y

i

? 110

?x
i ?1

2 i

? 10 x

110? 10 ? 0 ? ?1 110? 10 ? 0

a ? y ? bx ? 0 ? b ? 0 ? 0

^ ∴所求回归直线方程为 y=x

小结:求线性回归直线方程的步骤: 第一步:列表 x , y , x y ;
i i i i

第二步:计算 x, y, ? xi , ? xi yi
2 i ?1 i ?1

n

n



第三步:代入公式计算b,a的值;

第四步:写出直线方程。

二、利用线性回归方程对总体进行估计
例2:有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气 温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的 热饮杯数与当天气温的对比表:
摄氏温度 -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一

般规律;
(3)求回归方程;
0

(4)如果某天的气温是 2 C,预测这天卖出的热饮杯数。

解: (1)散点图
热饮杯数

160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10 20 30 40

温度

(2)气温与热饮杯数成负相关,即气温越高, 卖出去的热饮杯数越少。

(3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条 直线附近。
160 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 -10 0 10

^ Y=-2.352x+147.767

20

30

40

(4)当x=2时,y=143.063,因此,这天大 约可以卖出143杯热饮。

^

练习:
5个学生的数学和物理成绩如下表: A 80 70 B 75 68 C 70 65 D 65 64 E 60 62

数学 物理

(1)画出散点图; (2)是否线性相关?若是则求出线性回归方程;

小结:

(1)判断变量之间有无相关关系,简便方 法就是画散点图。 (2)当数字少时,可用人工或计算器,求 回归方程;当数字多时,用Excel求回归方 程。
(3)利用回归方程,可以进行预测。

作业:
某商场一年内前五月的销售收入x(万元) 与销售费用y(万元)统计如下表:
收入x
费用y

100
45

120
54

140
62

160
75

180
92

(1)画出散点图; (2)是否线性相关?若是则求出线性回归方程;


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