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2013年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答


2013 年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛参考解答
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知集合 A ? {a | a ? 5x ? 3, x ? N? } , B ? {b | b ? 7 y ? 2, y ? N? } ,则 A B 中的最小的元素 是 ( ▲ ) A . 17 B. 19 C . 21 D. 23 【答案】D 【解

析】代入检验或者依次取值. 2.已知角 ? 的终边与 A. 1 【答案】C 【解析】 B. 2

? ? 的终边相同,则在 ?0, 2? ? 内与 的终边相同的角有 ( ▲ )个 3 3
C. 3 D. 4

, , 9 9 9 3.已知 f ( x) ? x ? 2 x ? m , 当 x ? [0,9] 时, f ( x) ? 4 恒成立, 则实数 m 的取值范围
是 A. [?1, 0] 【答案】C 【解析】 t ? B. (??, ?1] C. (??,1] ( D. [0,1] ▲ )

? 7? 13?

x , g (t ) ? t 2 ? 2t ? m , gmax ? g (3) ? 3 ? m ? 4
▲ )

4.若 a ? (cos ? ,sin ? ) , b ? (cos ? ,sin ? ) , 0 ? ? ? ? ? ? , ka ? b ? a ? kb (k ? 0) , 则 ? ? ? 的值为 ( A.

? 2

B.

? ? C. 3 4

D.

? 6

【答案】A 【解析】由 ka ? b ? a ? kb (k ? 0) 两边平方展开得到 cos(? ? ? ) ? 0 5. 函数 y ? A.

? 2

1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x ? 的最小正周期是 1 ? sin x ? cos x 1 ? sin x ? cos x 3? B. ? C. 2

( ▲ ) D . 2?

【答案】D

2 (sin x ? ?1) sin x a tan B 2a ? c ? 6. ?ABC 中, ? 3 ? 1, ,则角 A 为 ( c tan C c
【解析】 y ? A.



)

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

【答案】B

tan B 2a ? c 1 ? ? ? 得 cos B ? , B ? ,再由 sin A ? ( 3 ?1)sin C 得 A ? tan C c 2 3 4 7.在平行四边形 ABCD 中, ?CAB ? ? DBC ? 2 ? DBA ,则 sin ?CAB 的值为 ( ▲ ) 1 1 3 2 A. B. C. D. 3 2 4 2
【解析】由 【答案】B 【解析】记 ?DBA ? ? ,O 为对角线交点, ?CAB

?CBO 得到 BC 2 ? CO ? CA ?

1 2 CA 2

高一数学竞赛答案 第 1 页 共 4 页

sin 3? AC 2? 6 ? ? 2 ,整理得到 cos ? ? sin 2? BC 4 8.已知 O,A,B 是平面上的三点,向量 OA ? a, OB ? b ,设点 P 是线段 AB 垂直平分线上的任意
在 ?ABC 中,由正弦定理得到 一点,向量 OP ? p ,若 a ? 3, b ? 2 ,则 p ? (a ? b) 的值为 A. ( ▲ )

5 2

B. 3

C.

7 2

D. 4

【答案】A 【解析】设 AB 中垂线与 AB 交于点 C,连 OC, CP ? p ? 得到 p ? (a ? b) =
2 1 2 (a ? b ) 2

1 (a ? b), BA ? a ? b ,由 CP 与 BA 垂直 2

9.设 x ? y ? z ?

?
8

,x? y? z ?

?
2

,则 cos x ? sin y ? cos z 的最小值为(



)

A.

1 8

B.

3 8

C.

1 4

D.

3 4

【答案】C 【解析】

?
8

?x?

?
4



1 1 1 1 cos x ? sin( y ? z ) ? sin( y ? z ) ? ? cos x sin( y ? z ) ? cos 2 x ? 2 2 2 4 2 2 10.当 x ? [0,1] 时,不等式 x cos ? ? x(1 ? x) ? (1 ? x) sin ? ? 0 恒成立,则 ? 的取值范围是 cos x ? sin y ? cos z ?
▲ ) (

11? ,k ?Z 12 12 ? 5? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z C . 2 k? ? 12 12
A . 2 k? ?

?

? ? ? 2 k? ?

B . 2 k? ?

?
6

? ? ? 2 k? ?

D . 2 k? ?

?
6

5? ,k ?Z 6

? ? ? 2 k? ?

?

3

,k ?Z

【答案】C 【解析】记 f ( x) ? x2 cos ? ? x(1 ? x) ? (1 ? x)2 sin ? ,则

f (0) ? sin ? ? 0, f (1) ? cos ? ? 0

1 f ( x) ? ( cos ? x ? sin ? (1 ? x)) 2 ? 2(? ? sin ? cos ? ) x(1 ? x) , 2 1 ? 5? ? ? ? 2 k? ? ,k ?Z . 即 ? ? sin ? cos ? ? 0 ,解得 2k? ? 2 12 12
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 7 分,共 49 分. 11.函数 f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 1| 的值域为 ▲ . 【答案】 [?3,3] 12. sin 13? ? sin 47? ? sin13?? sin 47? =
2 2





3 【答案】 4

【解析】构造三角形,内角分别为 13?, 47?,120? ,结合余弦定理即可 13.过 ?ABC 的重心 G 的直线分别交直线 AB、AC 于点 P、Q,若 AB ? BP, AQ ? k AC ,则 k 的
高一数学竞赛答案 第 2 页 共 4 页

值是





【答案】

2 5 1 ( AB ? AC ) ,设 PG ? ? PQ ,则 3

【解析】由 AG ?

5 2 AG ? AP ? PG ? 2 AB ? ? PQ ? (2 ? 2?) AB ? ?k AC ,于是 ? ? , k ? 6 5
或者取正三角形即可。 14 .记 A ? logsin1 cos1, B ? logsin1 tan1, C ? logcos1 sin1, D ? logcos1 tan1 则 A,B,C,D 四个数中最大数与最小数之和为 ▲ . 【答案】1 【解析】最大数为 A,最小数为 B 15 . 已知函数 f ( x) 在定义域 (0,?? ) 上是单调函数,且 f ( x) ? 1 。若对任意 x ? (0, ?? ) ,都有

f ( f ( x) ? x2 ) ? 2 ,则 f (2) 的值为 ▲ . 【答案】 5 【解析】 由题意设 f ( x) ? x 2 ? k (k 为常数), 则 f ( x) ? x2 ? k , 即 f( k ) ?k 2 ? k ? 2 ,得 k ? 1 或 k ? ?2 (舍) ,即 f ( x) ? x2 ? 1 16. [ x ] 表示不大于实数 x 的最大整数,方程 lg 2 x ? [lg x] ? 2 的解集为 ▲ . 1 3 【答案】 {100, ,10 } 10 2 【解析】先由 [ x] ? x ,则 lg x ? lg x ?2 ? 0 ,则 ?1 ? lg x ? 2 ,讨论当 [lg x] ? ?1, 0,1, 2 时方程
的解. 17.一个数学魔术中,魔术师先请一个人随意想一个三位数 abc (其中 a, b, c 依次为这个数字的 各个数位上的十进制数字) ,并请此人想出另 5 个数 acb, bac, bca, cab, cba ,并求出这 5 个数的 和 S,将和 S 告诉魔术师,于是魔术师就说出了这个人所想的数 abc .现在假设 S ? 2013 ,请你 来做魔术师,三位数 abc 为 【答案】651 ▲ .

【解析】 S ? abc ? 222(a ? b ? c) ,要寻找 222 的整数倍即 222 k , 由 2013 ? 222 ? 9 ? 1998 , 2013 ? 1000 ? 222 ?14 ? 3018 ,于是 k ? 10,11,12,13 经检验,只有 k=12,即 12 ? 222 ? 2013 ? 651 ,且 6 ? 5 ? 1 ? 12 可以符合题意. 三、解答题:本大题共 3 小题,共 51 分. 18.(本题满分 16 分)已知函数 f ( x) ? sin ? x ? sin(? x ? (Ⅰ)若 x ?

?
3

)

?
6

是函数 f ( x ) 的一个零点, 2 ? ? ? 12 ,求 f ( x ) 的最大值以及此时 x 的取值集合;

(Ⅱ)若 ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在区间 ? 0, 解: (Ⅰ) 即 f ( x) ? (Ⅱ) -

?
6

? ?? 上是单调函数,求 ? 的取值范围. ? 2? ? ? ? f ( x) ? 3 sin(? x ? ) , f ( ) ? 0 得到 ? ? 6k ? 1, k ? Z ,则 ? ? 7 6 6 ? 2? 2k? 3 sin(7 x ? ) , fmax ? 3 ,此时 {x | x ? ? , k ? Z } ——8 分 6 21 7 ? ?? ? ? 4 ? ?x ? ? ? ? ,得到 0 ? ? ? -----------16 分 6 2 6 2 3
高一数学竞赛答案 第 3 页 共 4 页

19.(本题满分 17 分)已知非零向量 a 和 b ,函数 f ( x) ? a x 2 ? 2(a ? b) x ? 1 (Ⅰ)若方程 f ( x) ? 0 有两个相等的实根, | b |? 2 ,求向量 a 和 b 夹角; (Ⅱ)若 | a |? ? | b | ,函数 f ( x ) 在 [?2, ?1] 上的最小值为 ? b ? 1 ,求实数 ? 的取值范围以及此 时向量 a 和 b 夹角的余弦值. 解: (Ⅰ)设向量 a 和 b 夹角为 ? ,由 ? ? 0 得到 cos ? ? ? ——7 分 (Ⅱ)对称轴为 x ? ? 当? 题意 当 ?2 ? ? 不合题意 当?
2

2

1 ? 2? ,于是向量 a 和 b 夹角为 或 2 3 3

cos ?

cos ?

?
2

?

? ?2 时,即 cos ? ? 2? 时, f min ? f ( ?2) ? ? b ? 1 解得 cos ? ? cos ? ? ?1 时,即 ? ? cos ? ? 2? 时, f min ? f (?
2

4? ? 1 ? 2? ,不合 4

cos ?

?

?

) ? ? b ? 1 解得 ? cos 2 ? ? ? ,

2

cos ?

?

? ?1 时,即 cos ? ? ? 时, f min ? f (?1) ? ? b ? 1 解得 cos ? ?

? ?1
2

??

由 ?1 ? cos ? ?

? ?1
2

? 1 得到 0 ? ? ? 3 ,此时 cos ? ?

? ?1
2

2 20. (本题满分 18 分)已知函数 f ( x) ? 3|x?u| , g ( x) ? x | x ? u | ?6u ? 21 (Ⅰ)当 u ? 4 时,关于 x 的方程 ( g ( x))2 ? mg ( x) ? 7 ? 0 有 3 个不同的实根,求实数 m 的值; (Ⅱ) 若对任意的 s ? (??,3] ,总存在 t ? [3, ??) ,使得 f ( s) ? g (t ) 成立,求实数 u 的取值范围.
解: (Ⅰ)设 t ? g ( x) , t ? mt ? 7 ? 0 ,作出函数 t ? g ( x) 的图象
2

综上, 0 ? ? ? 3 ,此时 cos ? ?

? ?1

----------17 分

16 7 ,另一个 t ? 可以符合题意 3 3 当 t ? 7 时,求出 m ? ?8 ,另一个 t ? 1 可以符合题意 当 ? ? 0 时, m ? ?2 7 此时 t ? ? 7 不合题意 16 综上, m ? ? 或者 m ? ?8 ——8 分 3 (Ⅱ)设函数 f ( x), g ( x) 的值域分别为 F , G ,根据题意有 F ? G 当 u ? 3 时, F ? [1, ??) , gmin ? g (3) ? 3u ?12 ? 0 ,可以符合题意
当 t ? 3 时,求出 m ? ? 当 u ? 3 时, F ? [3u ?3 , ??) , gmin ? g (u) ? 6u ? 21 ? g (3) ? 9u ? 30 , 此时需 6u ? 21? 3
u ?3

综上, u ? 4 或 u ? 5

u?5

,记 w ? u ? 3 ? 0 ,则 6w ? 3 ? 3 ,即 0 ? w ? 1 或 w ? 2 即 3 ? u ? 4 或
w

--------18 分

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