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选修2-3 1.2.1 排列(一)


1.2 .1 排 列
第一课时

创设情境,引出排列问题
? 探究 在1.1节的例9中我们看到,用分步乘 法计数原理解决这个问题时,因做了 一些重复性工作而显得繁琐,能否对 这一类计数问题给出一种简捷的方 法呢?

探究:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项 活动,其中1名同学参加上午的活动,另

1名同学参 加下午的活动,有多少种不同的选法?

分析:把题目转化为从甲、乙、丙3名同学中选2名, 按照参加上午的活动在前,参加下午的活动在后的 顺序排列,求一共有多少种不同的排法?

第一步:确定参加上午活动的同学即从3名中任 选1名,有3种选法.
第二步:确定参加下午活动的同学,有2种方法 根据分步计数原理:3×2=6
上午
甲 乙

即共6种方法。
相应的排法
甲乙 甲丙

下午
乙 丙 甲 丙 甲 乙

乙甲 乙丙
丙甲 丙乙



问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项 活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参 加下午的活动,有多少种不同的选法?

把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问 题1就可以叙述为:
从3个不同的元素a,b,c中任取2个,然后按照一 定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方 法? ab, ac, ba, bc, ca, cb

问题2:从1,2,3,4这4个数中,每次取出3个排成 一个三位数,共可得到多少个不同的三位数?
2 1 3 4
3

1

2 3 41 41

4
3

1 2

3 2

4 2 2

1
3 1

4 2
3 1

3

3 42 42 3

41 4 1

2

有此可写出所有的三位数:

123,124,132,134,142,143; 213,214,231,234,241,243,
312,314,321,324,341,342; 412,413,421,423,431,432。

问题2可以叙述为:
从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个,然后按照一定的顺 序排成一列,共有多少种不同的排列方法?

abc,abd,acb,acd,adb,adc; bac,bad,bca,bcd,bda,bdc; cab,cad,cba,cbd,cda,cdb; dab,dac,dba,dbc,dca,dcb. 共有4x3x2=24(种)

思考?
上述问题1、2的共同特点是什么? 你能将它们推广到一般情形吗?
从n个不同元素中取出m(m≤n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 共有多少种不同的排列方法?

基本概念
1、排列: 一般地,从n个不同中取出m (m ? n)个元素, 按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元 素中取出m个元素的一个排列。

说明:
1、元素不能重复。n个中不能重复,m个中也不能重复。 2、“按一定顺序”就是与位置有关,这是判断一个问题是 否是排列问题的关键。 3、两个排列相同,当且仅当这两个排列中的元素完全相同, 而且元素的排列顺序也完全相同。 4、m<n时的排列叫选排列,m=n时的排列叫全排列。 5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏,最好采用 “树形图”。

练习一 下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 否 (2)10名学生中选2名做正、副组长 是

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 否
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 是

(5)20位同学互通一次电话 否 (6)20位同学互通一封信 是 (7)以圆上的10个点为端点作弦 否
(8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 射线 是

(9)有10个车站,共需要多少种车票? 是

(10)有10个车站,共需要多少种不同的票价? 否

课堂练习
2.写出

(1)从4个不同 元素a。b、c、d中任取2个 元素的所有排列; ab,ac,ad,bc,bd,cd,
ba,ca,da,cb,db,dc (2)从5个不同 元素a。b、c、d、e中任取 2个元素的所有排列; ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de ba,ca,da,ea,cd,db,eb,dc,ec,ed

2、排列数:
从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素 的所有排列的个数,叫做从n个不同的元素中 m 取出m个元素的排列数。用符号 An 表示。
“一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取
按照一定的顺序排成一列,不是数;

“排列”和“排列数”有什么区别和联 系?

m 个元素

“排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m 个元素的 m 所有排列的个数,是一个数;所以符号 An 只表示
排列数,而不表示具体的排列。

问题1中是求从3个不同元素中取出2个元素的 2 2 排列数,记为 A3 ,已经算得 A3 ? 3? 2 ? 6
问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的 3 3 排列数,记为 A4 ,已经算出 A4 ? 4 ? 3? 2 ? 24

探究:从n个不同元素中取出2个元素的排列 2 3 m 数 An 是多少? An 呢? An 呢?
2 An ? n(n ?1)

A ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)
m n

3 An ? n(n ?1)(n ? 2)

第 1位

第 2位

第 3位

第 m位

……
n种 (n-1)种 (n-2)种 (n-m+1)种

(1)排列数公式(1):

A ? n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1)(m, n ? N *, m ? n)
m n
n 当m=n时,An ? n(n ? 1)( n ? 2)?3 ? 2 ?1

正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用

n!表示。

n! (2)排列数公式(2): A ? (n ? m)!
m n

n n个不同元素的全排列公式: An ? n!

说明:

为了使当m=n时上面的公式也成立,规定: 0!? 1
1、排列数公式的第一个常用来计算,第二个常用来证明。

2、对于 m ? n 这个条件要留意,往往是解方程时的隐含条 件。

练 习

(3)7? 4)(n ? m)( n ? m ? 1)! (4)( n ? m)! (3) 42 ? 5 !,( 2 1 1 1 n ? 2n (5) ? ? n! (n ? 1)! (n ? 1)! (5) (n ? 1)!

化简:( 1 ) 5? 4 !,(2)(5 ? 4)! (2)20!

答:( 1 ) 5 !

例1 计算:

(1) A ; (2) A ; A
16
8 12 7 12

3

16?15?14 ? 3360
12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6 ? 5 ?5 12?11?10? 9 ? 8 ? 7 ? 6

(3)

A.
6

6

6!=6×5×4×3×2×1=720

例2、解方程:

A ? 100 A
3 2x

2 x

解:原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1) ∵x≠0,x≠1 ∴ 2x-1=25 解得x=13 经检验x=13 是原方程的根。
m 例3.若 An ? 17 ?16 ?15 ??? 5 ? 4 ,则 m ? . n?

17

14 ,

练习(巩固排列数公式): 1.计算: (1) A ; (2) A .(3) A ? A 2.计算下面的阶乘数,并填入下表中: n 2 3 4 5 6 7 8 n! * 3.若 n ? N , 且55 ? n ? 69 , 则 (55 ? n)(56 ? n)?(68 ? n)(69 ? n) 用排列数符号 表示 ______.
3 10 3 8

4 8

2 8

A

15 69? n

例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参加, 每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次,共 进行多少场比赛?
解:14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛, 对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列,因此,
2 比赛的总场次是 A14 ? 14 ?13 ? 182

练习一 下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 否 (2)10名学生中选2名做正、副组长 是

A

2 10

? 90

(3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 否
(4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 是

A

(5)20位同学互通一次电话 否 2 (6)20位同学互通一封信 是 A20 ? 380 (7)以圆上的10个点为端点作弦 否

2 ? 5

20

(9)有10个车站,共需要多少种车票?是 (10)有10个车站,共需要多少种不同的票价? 否 练习二.求出上面问题的答案.

(8)以圆上的10个点中的某一点为起点,作过另一个点的 2 是 射线 ? 90

A10

A

2 ? 90 10

学习小结:
1.排列的定义中包含两个基本内容: 一是“取出元素”; 二是“按照一定顺序排列”, “一定顺序”就是与位置有关,这也是判断一个问题 是不是排列问题的重要标志. 2.当元素较少时,可以根据排列的意义列出所有的排列 (枚举法),那么怎样更快地写出排列数呢?

A =?
作业布置: P27 习题1.2 A组 D1 D4 D5 D6

m n

思考题

三张卡片的正反面分别写着数字 2和3,4和5,7和8,若将这三张卡片 的正面或反面并列组成一个三位数, 可以得到多少个不同的三位数?


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