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2014年高一数学必修3、必修4考试题(4)


2014 年高一数学必修 3、必修 4 考试题(4)
满分 150 分.考试用时 120 分钟. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
0 1. 若 ? =225 则 tan ? ? (



A. ?1

B. 1



C. ?

2 2

D.

2 2
) 甲 8 9 1 2 5 7 8 5 6 2 3 4 5 6 乙 9 4 5 8 2 6 3 5 7

2. 在右图所示的茎叶图中,甲、乙两组数据的中位数分别为( A. 42,42 C. 45, 46 3 B. 45, 42 D. 42, 46

圆: x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A, B 两 点,则直线 AB 的的方程是( A. x ? 3 y ? 0 C B D )

3x +y ? 0 3 y ? 5x ? 0

第 2 题图

3x ? y ? 0

4. 为了了解学生每天的睡眠时间, 某调查机构对实验学校 1202 名学生用系统抽样的方式获 取样本。已知样本容量为 30,则分段间隔 k 的值与该校高一(2)班李玲被抽中的概率分别 为( )

A. 40,

1 40

B. 40,

15 601

C.30,

1 40

D.30,

15 601

开始 输入 x

5. 已知角 ? 的终边经过点 P (?3,4) ,那么 sin? ? 2 cos? 的值等于 ( ) A.

2 5

B. ?

1 5

C.

1 5

D. ?

2 5


m ? lg x
m ? 0?
是 否

6. 执行如图所示的程序框图, 若输入 x ? 0.1 , 则输出 m 的值是 ( A. 0 B. 0.1 C. 1 D. ?1

m ? ?m
) 输出 m 结束
第 6 题图

m ? m ?1

7. 若 ? ? (0,2? ) ,则使 0 ? sin ? ? A. ? (

3 成立的 ? 的取值范围是( 2

? ?
3 3 ,

) B. ( 0,

?
3



C. (

5? ? 2? ? ( ,2? ) D. 0, ) ( ,? ) 3 3 3

8.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在 椭圆外的黄豆数为 70 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积大约 为( )
第 8 题图

A.6 B.12 C.18 D.20 9.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同. 现从中随机取出 2 个小球, 则取出的小球标注的数字之和为 5 或 6 的概率是 ( ) A.

3 10

B.

1 5

C.

2 5

D.

1 12

10 . 已 知 点 P ? a b ( ab ? 0 ) 是 圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 内 一 点 , 直 线 l 的 方 程 为 , ?

a x? b y? 2r ?0 ,那么直线 l 与圆 O 的位置关系是(
A. 相切 B. 相离 C.相交

) D.不确定 开始

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.设扇形的半径长为 10cm,扇形的圆心角为 面积是

1 弧度,则该扇形的 10

i ? 11 S ?1

cm 2 .
S ? S ?i
i ? i ?1
否 条件 ? 是 输出 S 结束
第 14 题图

12.某校对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法 抽取一个容量为 200 的样本.已知女生抽了 95 人,则该校的女生人 数应是 人. 13. 已知圆 C: 2 ? y 2 ? 4 ,则过点 P( 3,1) 的圆的切线方程是______. x 14.如果右图中算法程序执行后输出的结果是 990,那么在程序框图中 判断框中的“条件”应为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)

已知 f (? ) ?

tan( ? ? ? ) ? cos( 2? ? ? ) ? sin( cos( ?? ? ? )

?
2

??)

(Ⅰ)化简 f (? ) ; (Ⅱ)若 f (

?

3 ? ? ) ? ? ,且 ? 是第二象限角,求 tan?. 2 5

16.(本小题满分 12 分) 已知甲盒内有大小相同的 1 个红球和 2 个黑球,且分别标记为:1(红) 、2、3 号;乙盒 内有大小相同的 2 个红球和 1 个黑球,且分别标记为:4(红) 、5(红) 号.现从甲、乙两 、6 个盒内各任取 1 个球. (Ⅰ)试列举出所有的基本事件,并求取出的 2 个球均为红球的概率;

(Ⅱ)求取出的 2 个球中恰有 1 个红球的概率.

17.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆心在直线 y ? ? x 上,半径为 2 2 的圆 C 与直线

y ? x 相切于坐标原点 O .
(Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : x ? y ? a ? 0 与圆 C 相交,求实数 a 的取值范围.

18.(本小题满分 14 分) 湛江市某公司近五年针对某产品的广告费用与销售收入资料如下(单位:万元) : 年份 广告费投入 x 销售收入 y 2007 2 30 2008 4 40 2009 5 60 2010 6 50 2011 8 70

(Ⅰ)画出散点图,并指出两变量是正相关还是负相关;

? ? (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出两变量的线性回归方程 y ? bx ? a ;
(III)若该公司在 2012 年预算投入 10 万元广告费用,试根据(Ⅱ)求出的线性回归方程, 预测 2012 年销售收入是多少? 参考数值: 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70 ? 1380 ; x ? 5; y ? 50 参考公式: 销售收入(万元) 用最小二乘法求线性回归方程系数公式: 70 n 60 xi yi ? nx y 50 ? ? ? b ? i ?1 ,a ? y ? bx .

?
n

?x
i ?1

2 1

? nx

2

40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

广告费(万元)

19. (本小题满分14分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生,将他们的期 中考试数学成绩 (满分 100 分, 成绩均为不低于 40 分的整数) 分成六段: ?40,50? , ?50,60? ,?, ?90,100? 后得到如图 4 的频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)在随机抽取 40 名学生中,分别估计成绩不低于 60 分的

a
0.025 0.020

频率 组距

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

人数、成绩在 ?40,50? 分及 ?90,100? 分的人数; (3)若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生,求这 两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率.

20.(本小题满分 14 分) 已知直线 l : y ? kx ,圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 ,直线 l 与圆 C 相交于 A、B 两点; 点 T (0, t ) 满足 AT ? BT . (Ⅰ)当点 T (0, t ) 在圆 C 上时,求实数 k 的值; (Ⅱ)当 t ?( 1 ,

3 )时,求实数 k 的取值范围. 2

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 选项 1 B 2 C 3 A 4 B 5 D 6 A 7 D 8 C 9 C 10 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 5 ; 12. 760 ; 13. _____

3x ? y ? 4

___

; 14.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.(本小题满分 12 分)

i?9

.

解: (Ⅰ) f (? ) ?

tan( ? ? ? ) ? cos( 2? ? ? ) ? sin( cos( ?? ? ? )

?
2

??)

? tan ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? ??????6 分 ? cos ? ? 3 3 (Ⅱ)由 sin( ? ? ) ? ? 得 cos ? ? ? ,??????8 分 2 5 5 ?
又 ? 是第二象限角
2 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?

则 tan ? ?

sin ? 4 ? ? ???????12 分 cos ? 3

4 ????????10 分 5

16.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题可知从甲乙两盒各任取一个球的所有基本事件如下:

?1,4?, ?1,5?, ?1,6?, ?2,4?, ?2,5??2,6?, ?3,4?, ?3,5?, ?3,6? 共 9 个
? P ( A) ? 2 9

??????4 分

记事件 A={取出的 2 个球均为红球},则 A 包含基本事件有: ?1,4?, ?1,5? ????????????????7 分

(Ⅱ)记事件 B 表示“取出的 2 个球中恰有 1 个红球” 则 B 所包含的基本事件有: ?1,6?, ?2,4?, ?2,5?, ?3,4?, ?3,5? 共 5 个

? P( B) ?

5 9

????????????????12 分

17.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题设可知圆心 C 在直线 y ? ?x 上 于是设圆心 C (?n, n) , n ? 0 ) ????????3 分 (

则 OC

2

? (? n) 2 ? n 2 ? (2 2 ) 2 ,解得 n ? 2 ????????5 分

? 圆 C 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2)2 ? 8 ????????7 分
(Ⅱ)若直线 l : x ? y ? a ? 0 与圆 C 相交, 则圆心 C (?2,2) 到直线 l 的距离 d ? 2 2 即d ? ????????9 分

?2?2?a 2

? 2 2 ,得 a ? 4 ? 4

????????12 分

? ?4 ? a ? 4 ? 4
即 0 ? a ? 8 ????????????????14 分 18.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)散点图如图所示: ????????4 分 由图可知销售收入与广告费为正相关。 ????????6 分 (Ⅱ)由于 x ? 5, y ? 50, 销售收入(万元) 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

?xi yi ? 2 ? 30 ? 4 ? 40 ? 5 ? 60 ? 6 ? 50 ? 8 ? 70
? 1380 ,

广告费(万元)

?xi ? 145
2
5 ?

??????????????8 分
? ? 1380? 5 ? 5 ? 50 ? 6.5 , a ? y ? b x ? 17.5 145? 5 ? 25

? b ? i ?15 ? 2 2 ? xi ? 5 x
i ?1
?

? xi yi ? 5 x y

? y ? 6.5 x ? 17.5 ????????????????12 分
(III)令 x ? 10 ,得 y ? 6.5 ?10 ? 17.5 ? 82.5 所以预测 2012 年销售收入是 82.5 万元.????????14 分 19. (本小题满分14分) (1)解:由于图中所有小矩形的面积之和等于 1, 所以 10 ? (0.005 ? 0.01 ? 0.02 ?a ? 0.025 ? 0.01) ? 1 .??????2 分 解得 a ? 0.03 .?????3 分 (2)解:根据频率分布直方图, 可估计在随机抽取 40 名学生中成绩不低于 60 分的人数约为 40 ? 0.85=34 人, ???????5 分
?

成绩在 ?40,50? 分数段内的人数为 40 ? 0.05 ? 2 人, ???????7 分 成绩在 ?90,100? 分数段内的人数为 40 ? 0.1 ? 4 人. ???????9 分 (3)解:设成绩在 ?40,50? 分数段内的 2 人分别记为 A , B . 成绩在 ?90,100? 分数段内的 4 人,分别记为 C , D , E , F .????10 分 若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学生中随机选取两名学生, 则所有 的基本事件有: A, B ? , A, C ? , A, D ? , A, E ? , A, F ? , B, C ? , B, D ? , B, E ? , ? ? ? ? ? ? ? ?

? B, F ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ?

共 15 种.?12 分

如果两名学生的数学成绩都在 ?40,50? 分数段内或都在 ?90,100? 分数段内, 那么这两名 学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于 10.如果一个成绩在 ?40,50? 分数段内,另一 个成绩在 ?90,100? 分数段内,那么这两名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于 10. 记“这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10”为事件 M ,则事件 M 包含的基 本事件有:

? A, B? , ?C, D? , ?C, E ? , ?C, F ? , ? D, E ? , ? D, F ? , ? E, F ? 共 7 种.?13 分
所以所求概率为 P ? M ? ?

7 .???14 分 15

20.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)圆 C 的方程可化为 ( x ?1) ? ( y ?1) ? 1,故圆心为 (1,1) ,半径为 1,
2 2

则当点 T (0, t ) 在圆 C 上时,

??????????????2 分

由 AT ? BT 知 AB 为圆 C 直径,即直线 l 经过圆心 (1,1)

?k ?1
(Ⅱ)联立 ?

????????5 分

? y ? kx
2 2 ?x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0

消 y 得: (1 ? k ) x ? 2(1 ? k ) x ? 1 ? 0. ①
2 2

由 ? ? 0 解得: k ? 0 . 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,? x1 ? x2 ?

2(1 ? k ) 1 , x1 x2 ? . ????????7 分 2 1? k 1? k 2

? AT ? BT ,? k AT ? kBT ? ?1,得

y1 ? t y2 ? t ? ? ?1 ????????8 分 x1 x2

即 x1 x2 ? ( y1 ? t )( y2 ? t ) ? 0 ,又由于 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 代入得:

x1 x2 ? (kx1 ? t )(kx2 ? t ) ? 0 ,即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? kt( x1 ? x2 ) ? t 2 ? 0
? (1 ? k 2 ) ? 1 2(1 ? k ) 2 ? kt ? ? t ? 0. ??????????????9 分 2 1? k 1? k 2 3 2k (1 ? k ) 1 1 ? t ? . 令 f (t ) ? t ? , t ?( 1 , ) 整理得 2 2 1? k t t
由于任取 t1 , t 2 ? (1, ) ( t1 ? t 2 ) ,有 f (t1 ) ? f (t 2 ) ? (t1 ? t 2 ) ?

3 2

t1t2 ? 1 ?0 t1t2

? f (t ) 在区间( 1 ,


3 1 13 2k (1 ? k ) 13 ? ????12 )上单调递增,? 2 ? t ? ? ,即 2 ? 2 t 6 1? k 2 6

?2k (1 ? k ) ? 2(1 ? k 2 ) ?k ? 1 ? 即? 解得: ? 2 ?12k (1 ? k ) ? 13(1 ? k ) ?k ? 6 ? 23或k ? 6 ? 23 ?
故 k ? (1,6 ? 23) ? (6 ? 23,??) ???????????????14 分


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