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第三章 直线与方程(专题卷)


第三章 直线与方程
专题 1 倾斜角 PK 斜率
类型一 直线倾斜角和斜率的关系 例 1.关于直线的倾斜角和斜率,下列说法是正确的是( ) A.任一条直线都有倾斜角,也都有斜率; B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; C.两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等. D.直线斜率的范围是(-∞,+∞). 类型二 忽视斜率的存在 例 2.已知 M(2, -3), N

(-3,-2),直线 l 过点 P(1, 1),且与线段 MN 相交,则直线 l 的斜率 k 的取值范 围是 . 【自我检评】 1.下列命题中,正确的命题是 ( ) A.直线的倾斜角为 α ,则此直线的斜率为 tanα B.直线的斜率为 tanα ,则此直线的倾斜角为 α C.任何一条直线都有倾斜角,但不是每一条直线都存在斜率 D.直线的斜率为 0,则此直线的倾斜角为 0 或 π 2.若直线 k 的斜率满足- 3 <k< 3 ,则该直线的倾斜角 α 的范围是
3

. )

3 已知点 A(2,3), B(?3, ?2) , 若直线 l 过点 P(1,1) 与线段 AB 相交, 则直线 l 的斜率 k 的取值范围是 ( A. k ?

3 4

B.

3 3 ? k ? 2 C. k ? 2或k ? 4 4

D. k

? 2.

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1

专题 2 直线的点斜式和斜截式
类型一 直线过定点问题 例 1.已知直线 l: 5ax ? 5 y

? a ? 3 ? 0.

(1)求证:不论 a 取何值,直线 l 总过定点; (2)若直线 l 不过第二象限,求 a 的取值范围. 类型二 利用截距的几何意义解题 例 2.已知直线过点 P(2,1),且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则三角形 OAB 面积的最小值为________. 【自我检评】 1.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与连结 A(2,3),B(-3,2)的线段相交,则 a 的取值范围是________. 3 2.直线 l 的斜率为 ,l 与坐标轴围成的三角形周长是 12,则 l 的方程_______ 4 3.直线过定点 A(-2,3),且与两轴围成的三角形面积为 4,求直线 l 的方程.

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2

专题 3 直线的截距式方程
类型一 忽视直线截距式的适用范围 例1. 求过点 P(3, 2) ,并且在两轴上的截距相等的直线方程.

类型二 忽视截距的意义 例 2.已知直线 l 过点 (?2, 2) ,且与两坐标轴构成单位面积的三角形,求直线 l 的方程.

【自我检评】 1.求经过点 A(-5,2)且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程;

2.直线 l 经过点 P(3,2)且与 x,y 轴的正半轴分别交于 A、B 两点,△OAB 的面积为 12,求直线 l 的方程.

3.过点 p(2,1)的直线 l 交轴 x、y 轴正半轴于 A、B 两点,求使: △AOB 面积最小时 l 的方程;

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3

专题 4

判定两直线位置关系妙招

类型一 判定两直线平行 例 1.直线 l1:2x+(m+1)y+4=0 与直线 l2:mx+3y-2=0 平行, 则 m 的值为________. 类型二 判断两直线垂直 例 2. 已知直线 l1 : x ? my ? 2m ? 2 ? 0 , l2 : mx ? y ? 1 ? m ? 0 ,问 m 为何值时 l1 ? l2 . 【自我检评】 1.已知直线 l1: x+(1+m)y + m-2=0 , l2: 2mx+4y+16=0 当且仅当 m 为何值时直线 l1 与 l2 分别有下列关系?(1) l1∥l2 (2)l1⊥l2 .

2.直线 mx ? 4 y ? 2 ? 0 与 2 x ? 5 y ? n ? 0 垂直,垂足为(1, p ),则 m ? n ? p ?

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4

专题 5
类型一 平行和垂直直线系的应用 例 1.已知 P(1,3),直线 l: x ? 4 y ? 1=0 . (1)求过 P 且平行于 l 的直线 l1 2 2 的方程; (2)求过 P 且垂直于 l 的直线 l 2 的方程

直线系

类型二 利用过共交点的直线系解题 例 2.求过直线: x ? 2 y ? 1 ? 0 与直线: 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.

【自我检评】 1.求平行于直线 x ?

y ? 2 ? 0 且与它的距离为 2 2 的直线方程.

2.求经过两条直线 2 x ?

y ? 8 ? 0 和 x ? 2 y ? 1 ? 0 的交点,且平行于直线 4x ? 3 y ? 7 ? 0 的直线方程.

3.求证:无论 λ 为何值,直线 ? 2 ? ? ? x ? ?1+? ? y ? 2 ? 3 ? 2? ? ? 0 与点 P(-2,2)的距离 d 都小于 4 2 .

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5

专题 6

对称问题

类型一 对称问题 例 1.入射光线沿直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 射向直线 l: y ? x ,被直线 l 反射后的光线所在的直线方程为________. 类型二 对称问题的应用 2.已知点 A(?3, 5), B(2, 15) ,在直线 l : 3x ? 4 y ? 4 ? 0 上求一点 P,使 PA ? PB 最小. 【自我检评】 1. 直线 l1:x-y+1=0 关于点 P(1,1)对称的直线 l2 的方程为________. 2. 已知 A(4,0)、B(0,4),从点 p(2,0)射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射 后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( ) A. 2 10 3. B. 6 C. 3 3 D. 2 5

求函数 y= x 2 ? 9 + x 2 ? 8 x ? 41 的最小值.

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专题 7
类型一 利用直线的斜率解题

利用构造法巧解题
y x

例1. 已知实数 x,y 满足 2 x+y =8 ,用 2 ? x ? 3 ,求 的最大值和最小值.

类型二 利用两点间距离公式解题 例2. 求函数 f ( x) ?

x 2 ? 4 x ? 13 ? x 2 ? 10 x ? 26 的值域。

【自我检评】

a?m a ? . b?m b 2 2 2.若是 ? x, y ? 直线 x ? y ? 1 ? 0 上的点,求 x +y ? 2 x ? 2 y ? 2 的最小值.
1.已知 a>0,c>0,m>0,且 a<b, 求证: 3. 函数 y ? x ? 2 x ? 2 ? x ? 6 x ? 13 的最小值为___________。
2 2

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