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高中数列综合题


数列综合
1、明确基本的问题和方法 问题:如求通项(递推) 、求和(积) 、不等式 方法:求通项(叠加、叠乘、…) 、求和(裂项、错位相减、…) 、不等式(做差比较、 构造函数、数学归纳法、…) 2、关注提示性的信息——方法的选择

〖例 1〗已知各项全不为零的数列 {ak } 的前 k 项和为 Sk ,且 Sk ? 中 a1 ? 1 . (1)求数

列 {ak } 的通项公式; (2) 对任意给定的正整数 n n ? 2 )数列 {bk } 满足 ( , 求 b1 ? b2 ? ? ? bn . 解析: (1)利用 an ? ?

1 ak ak ?1 ( k ? N * ) ,其 2

bk ?1 k ? n ( k ? 1, 2,?, n ? 1 ) b1 ? 1 . , ? bk ak ?1

n ? 1. ?a1 , ? Sn ? Sn ?1 , n ? 2.

(2)在数列求和时,常考虑确定其通项.观察已知条件

bk ?1 k ? n ,选择“叠乘” , ? bk ak ?1

则易于求出通项 bk .

1 a1a2 及 a1 ? 1 ,得 a2 ? 2 . 2 1 1 当 k ≥ 2 时,由 ak ? S k ? S k ?1 ? ak ak ?1 ? ak ?1ak ,得 ak (ak ?1 ? ak ?1 ) ? 2ak . 2 2
解: (1)当 k ? 1 时,由 a1 ? S1 ? 因为 ak ? 0 ,所以 ak ?1 ? ak ?1 ? 2 . 从而 a2m?1 ? 1 ? (m ? 1) ? 2 ? 2m ? 1 , a2m ? 2 ? (m ? 1) ? 2 ? 2m , m ? N * . 综上, ak ? k ( k ? N * ). (2)因为 ak ? k ,所以

bk ?1 n?k n?k . ?? ?? bk ak ?1 k ?1

bk ?

bk bk ?1 b (n ? k ? 1)(n ? k ? 2)?(n ? 1) 1 ? ?? ? 2 ? b1 ? (?1)k ?1 ? ? 1 ? ( ?1)k ?1 ? Ck . n bk ?1 bk ?2 b1 k ? (k ? 1) ?? ? 2 ? 1 n

( k ? 1, 2,? , n ) 故 b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ?

1 1 2 n ?Cn ? Cn ? C3 ? ? ? ( ?1) n ?1 Cn ? n ? n? 1 1 1 n ? 1 ? ?C0 ? C1 ? C2 ? ? ? ( ?1) n Cn ? ? [1 ? (1 ? 1) n ] ? . n n ? n ? n n n

?

?

〖例 2〗数列 {an } 中, a1 ? 1 , an ?1 ?

1 2 an ? an ? c ( c ? 1 为常数, n ? 1, 2, 3, )且 ? 2

1 a3 ? a2 ? . 8
(1)求 c 的值; (2)证明: an ? an?1 ( n ? 1, 2,3,? ) ; (3)比较

?a
k ?1

n

1
k



40 an ?1 的大小,并加以证明. 39

解析: (2)有递推关系——选择做差 (3) 化归为熟悉问题——求和: 裂项; 做差

?a
k ?1

n

1
k

?

(5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) 40 , an?1 ? 39 39 ? (2 ? an?1 )

问题实现了转化:探索 an 与 2 和

13 的关系. 8

(1)解:依题意, a2 ?

1 2 1 1 2 1 1 1 a1 ? a1 ? c ? c ? , a3 ? a2 ? a2 ? c ? (c ? ) 2 ? . 2 2 2 2 2 2

由 a3 ? a2 ?

1 1 1 2 1 1 1 ,得 ( c ? ) ? ? ( c ? ) ? ,解得 c ? 2 ,或 c ? 1 (舍去). 2 2 2 2 8 8 1 2 1 an ? 2an ? 2 ? (an ? 2) 2 ? 0 ,当且仅当 an ? 2 时, an?1 ? an . 2 2

(2)证明: an ?1 ? an ?

因为 a1 ? 1 ,所以 an?1 ? an ? 0 ,即 an ? an?1 ( n ? 1, 2,3,? ).

(3)解:由 an ?1 ?

1 2 an ? an ? 2 ,可得 an (an?1 ? an ) ? (an ? 2)(an?1 ? 2) , 2

从而

1 1 1 . ? ? an an ? 2 an ?1 ? 2

n 1 1 1 1 1 1 因为 a1 ? 1 ,所以 ? ? ?( ? )? ? ? ?1. ak ?1 ? 2 a1 ? 2 an?1 ? 2 2 ? an?1 k ?1 ak k ?1 ak ? 2

n

所以

?a
k ?1

n

1
k

?

40 1 40 (5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) . an?1 ? ? 1 ? an?1 ? 39 2 ? an ?1 39 39 ? (2 ? an ?1 )
3 13 , a3 ? ,且由(2)得 an ? 1 ( n ? N * ). 2 8

由 a1 ? 1 ,经计算可得 a2 ?

下面用数学归纳法证明:对于任意 n ? N * ,有 an ? 2 成立.

①当 n ? 1 时,由 a1 ? 1 ,显然结论成立.

②假设当 n ? k 时, ak ? 2 .

当 n ? k ? 1 时,因为 an ?1 ?

1 2 1 3 1 3 an ? an ? 2 ? (an ? 1) 2 ? ,且函数 y ? ( x ? 1) 2 ? 在 2 2 2 2 2 1 3 1 3 x ? 1 时单调递增,所以 ak ?1 ? ( ak ? 1) 2 ? ? (2 ? 1) 2 ? ? 2 . 2 2 2 2

即当 n ? k ? 1 时,不等式也成立。 由①,②可知,对于任意 n ? N * ,有 an ? 2 ,亦即 1 ? an ? 2 .

所以,当 n ? 1 时,

1 40 1 1 40 ? a2 ;当 n ? 2 时, ? ? a3 ; a1 a2 39 a1 39

当 n ? 3 时,由

n 13 1 40 (5an?1 ? 3)(8an?1 ? 13) ? an ?1 ? 2 ,得 ? ? an?1 ? ? 0 ,故 8 39 39 ? (2 ? an?1 ) k ?1 ak

?a
k ?1

n

1
k

?

40 an?1 . 39

〖例 3〗 已知曲线 Cn : x 2 ? 2nx ? y 2 ? 0( n ? 1, 2,? ).从点 P( ?1,0) 向曲线 Cn 引斜率为

kn ( kn ? 0 )的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) .

(1)求数列 {xn } 与 { yn } 的通项公式; (2)证明: x1 x3 x5 ? x2 n ?1 ? 解析: (1)分析一:将切线方程与圆的方程联立求解,即得到切点坐标.在这种方法中,需要求切 线 ln 的方程. 分析二:从图形(平面几何)出发,会得到比较简捷的解法.在这种方法中,需要特别 重视数形结合思想的应用. (2)分析:数列与函数的结合——从问题出发构造所需:如何求

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

?x
i ?1

n

2 i ?1

?.

解: (1)法一:设直线 ln : y ? kn ( x ? 1) ,与圆 Cn 方程联立 ?
2 2 2 消去 y ,得 (kn ? 1) x2 ? (2kn ? 2n) x ? kn ? 0 .——(*)

? y ? kn ( x ? 1) . 2 2 ? x ? 2nx ? y ? 0

2 2 2 则 ? ? (2kn ? 2n)2 ? 4kn (kn ? 1) ? 0 ,解得 kn ?

n n ( kn ? ? 舍去). 2n ? 1 2n ? 1

代回方程(*)解得 xn ?

n n 2n ? 1 .所以 yn ? kn ( xn ? 1) ? . n ?1 n ?1

法二:如图 1 所示,过 P 作 PQn ? x 轴于 Qn .则 Qn ( xn ,0) . n n 圆 Cn : ( x ? n)2 ? y 2 ? n2 ,圆心 Cn (n,0) ,半径 | P Cn |? n . n 由直线 ln 是切线可知 PP ? P Cn . n n

y Pn

P O Qn

Cn

x

则 Rt?PP Cn 中, | P Cn |2 ?| QnCn | ? | PCn |,即 n2 ? (n ? xn ) ? (n ? 1) . n n 整理可得 xn ?

图1

n . n ?1

2 又 | PQn |2 ?| PQn | ? | QnCn | ,即 yn ? ( xn ? 1) ? (n ? xn ) ,整理得 yn ? n

n 2n ? 1 . n ?1

n 1? x 1 1 ? xn 1 n ?1 ? (2)证明: , n ? . ? n 1 ? xn 2n ? 1 2n ? 1 y n 1? n ?1
① 因为 xn ?1 ? xn ?

n ?1 n 1 ? ? ? 0 ,故数列 {xn } 是单调递增数列. n ? 2 n ? 1 (n ? 1)(n ? 2)
2

所以 ( x1 x3 x5 ? x2 n ?1 ) ? x1 x2 x3 x4 ? x2 n ?1 x2 n ? 即 x1 x3 x5 ? x2 n ?1 ?

1 2 3 4 2n ? 1 2n 1 ? ? ? ?? ? ? ? . 2 3 4 5 2n 2n ? 1 2n ? 1

1 ? xn . 1 ? xn

② 令 f ( x) ? x ? 2 sin x , f ?( x) ? 1 ? 2 cos x . 对给定区间 (0,

?

) 有 f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减. 4 4

?

这样,当 x ? (0,

?

4

) 时有 f ( x ) ? f (0) ? 0 .

而当 n ? N * 时,

1 1 ? 1 1 1 ? ? ,所以 f ( )? ? 2 sin ?0. 2n ? 1 3 4 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

亦即

1 ? xn x ? 2 sin n . 1 ? xn yn

, 3, 〖例 4〗 已知数列 {an } 中 a1 ? 2 , an?1 ? ( 2 ?1)(an ? 2) , n ? 1 2, … .
(1)求 {an } 的通项公式; ( 2 ) 若 数 列 {bn } 中 b1 ? 2 , bn ?1 ?

3bn ? 4 , 3, , n ? 1 2, … , 证 明 : 2 ? bn ≤ a4n?3 , 2bn ? 3

n ? 1, 3, . 2, …
解析: (1)一种典型的递推公式: an?1 ? pan ? q ,其中 p ? 0,1 , q ? 0 . (2)已知条件中的递推关系——选择数学归纳法. 从结论出发——做差+分析法(做差后如何处理). 解: (1)由已知, an?1 ? ( 2 ? 1)(an ? 2) ? ( 2 ? 1)an ? 2( 2 ? 1) ,

则 an?1 ? 2 ? ( 2 ? 1)an ? ( 2 ? 2) ? ( 2 ? 1)(an ? 2) , 又 a1 ? 2 ? 2 ? 2 ,所以,数列 {an ? 2} 是首项为 2 ? 2 ,公比为 2 ? 1 的等比数列. 则 an ? 2 ? (2 ? 2)( 2 ? 1)n?1 ? 2( 2 ? 1)n ,

, 3, 即 an 的通项公式为 an ? 2[( 2 ? 1)n ? 1] , n ? 1 2, … .
(2)用数学归纳法证明. (ⅰ)当 n ? 1 时,因 2 ? 2 , b1 ? a1 ? 2 ,所以 2 ? b1 ≤ a1 ,结论成立. (ⅱ)假设当 n ? k 时,结论成立,即 2 ? bk ≤ a4k ?3 ,亦即 0 ? bk ? 2 ≤ a4k ?3 ? 2 . 当 n ? k ? 1 时,

bk ?1 ? 2 ?

3bk ? 4 (3 ? 2 2)bk ? (4 ? 3 2) (3 ? 2 2)(bk ? 2) ? 2? ? ?0. 2bk ? 3 2bk ? 3 2bk ? 3



1 1 ? ? 3? 2 2 , 2bk ? 3 2 2 ? 3

所以 bk ?1 ? 2 ?

(3 ? 2 2)(bk ? 2) ? (3 ? 2 2)2 (bk ? 2) 2bk ? 3

≤ ( 2 ? 1)4 (a4k ?3 ? 2) ? a4k ?1 ? 2 ,因此 bk ?1 ≤ a4k ?1 .
也就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立.

, 3, 根据(ⅰ)和(ⅱ)知 2 ? bn ≤ a4n?3 , n ? 1 2, … .
〖例 5〗已知曲线 C : xy ? 1,过 C 上一点 A ( x1 , y1 ) 作斜率为 k1 的直线,交曲线 C 于另一点 1

A2 ( x2 , y2 ) ,再过 A2 ( x2 , y2 ) 作斜率为 k2 的直线,交曲线 C 于另一点 A3 ( x3 , y3 ) ,?,过 An ( xn , yn ) 作斜率为 kn 的直线,交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,?,其中 x1 ? 1 ,
kn ? ? xn ? 1 (n ? N*) . x ? 4 xn
2 n

(1)求 xn ?1 与 xn 的关系式; (2)判断 xn 与 2 的大小关系,并证明你的结论; (3)求证: x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ?? xn ? 2 ? 2 .

解: (1)由已知过 An ( xn , yn ) 斜率为 ?

xn ? 1 x ?1 的直线为 y ? yn ? ? 2 n ( x ? xn ) , xn ? 4 xn x ? 4 xn
2 n

直线交曲线 C 于另一点 An?1 ( xn?1 , yn?1 ) ,所以 yn ?1 ? yn ? ?

xn ? 1 ( xn ?1 ? xn ) , x ? 4 xn
2 n



x ?1 x ?4 1 1 ? ?? 2n ( xn?1 ? xn ) , xn?1 ? xn ? 0 ,所以 xn ?1 ? n (n ? N* ) . xn?1 xn xn ? 4 xn xn ? 1

(2)当 n 为奇数时, xn ? 2 ;当 n 为偶数时, xn ? 2 . 因为 xn ? 2 ?

xn?1 ? 4 x ?2 ,注意到 xn ? 0 ,所以 xn ? 2 与 xn?1 ? 2 异号, ? 2 ? ? n?1 xn?1 ? 1 xn?1 ? 1

由于 x1 ? 1 ? 2 ,所以 x2 ? 2 ,以此类推, 当 n ? 2k ? 1 (k ? N* ) 时, xn ? 2 ;当 n ? 2k (k ? N* ) 时, xn ? 2 . (3)由于 xn ? 0 , xn ?1 ?

xn ? 4 3 ,所以 xn ? 1(n ? 1, 2,3,?) , ? 1? xn ? 1 xn ? 1

所以 xn ?1 ? 2 ? 所以 xn ? 2 ?

xn ? 2 xn ? 2 1 ? ? xn ? 2 , xn ? 1 xn ? 1 2

1 1 1 1 xn ?1 ? 2 ? 2 xn ? 2 ? 2 ? ? ? n ?1 x1 ? 2 ? n ?1 , 2 2 2 2 1 1 2 1 n ?1 1? n 所以 x1 ? 2 ? x2 ? 2 ? ?? xn ? 2 ? 1 ? ? ( ) ? ? ? ( ) ? 2 ? 2 ? 2 . 2 2 2

〖例 6〗已知数列 {an } 中的相邻两项 a2 k ?1 , a2k 是关于 x 的方程 x ? (3k ? 2 ) x ? 3k ? 2
2 k

k

? 0 的两个根,且 a2k ?1 ? a2k ( k ? 1, 2,3,? ).
(1)求 a1 , a3 , a5 , a7 ; (2)求数列 {an } 的前 2n 项和 S 2n ;

? 1 ? sin n (?1) f (2) (?1) f (3) (?1) f (4) (?1) f ( n?1) ? 3 ? , Tn ? (3)记 f ( n) ? ? , ? ? ? …? 2 ? sin n a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n ?
求证:

1 5 ≤ Tn ≤ ( n ? N * ) . 6 24

解析: (2)根据韦达定理有 a2k ?1 ? a2k ? 3k ? 2k ,故采用分组求和求解 S 2n .

(3)不难发现 f ( n ) 不具周期性,故 (?1) f ( n ) 的值无从确定.这样,在写出具体项分析 规律时发现 T1 ?

1 5 1 , T2 ? .因此,在证明 ≤ Tn 时只需证明 6 24 6

Tn ? T1 ?

( ?1) f (3) ( ?1) f (4) (?1) f ( n?1) ? ? …? ?0 a3a4 a5a6 a2n?1a2 n
1 1 ,根据形式可确定将其 ? a2 k ?1 ? a2 k 3k ? 2k
1 进行合适的 3k ? 2 k

问题即转化为先考虑如何求和?由韦达定理可得

放所谓等比数列求和,这样就要把 (?1) f ( n ) 放缩为 1 或 ? 1 .当然,如何将 放缩需要进行探索和调整.

解: (1)方程 x2 ? (3k ? 2k ) x ? 3k ? 2k ? 0 的两个根为 x1 ? 3k , x2 ? 2k , 当 k ? 1 时, x1 ? 3,x2 ? 2 ,所以 a1 ? 2 ; 当 k ? 2 时, x1 ? 6 , x2 ? 4 ,所以 a3 ? 4 ; 当 k ? 3 时, x1 ? 9 , x2 ? 8 ,所以 a5 ? 8 ; 当 k ? 4 时, x1 ? 12 , x2 ? 16 ,所以 a7 ? 12 . (2)解:

S2n ? a1 ? a2 ? ? ? a2n ? (3 ? 6 ? ? ? 3n) ? (2 ? 22 ? ?? 2n ) ?

3n2 ? 3n n?1 ?2 ?2. 2

1 1 1 (?1) f ( n?1) (3)证明: Tn ? , ? ? ??? a1a2 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n
则 T1 ?

1 1 5 1 1 . ? , T2 ? ? ? a1a2 a3a4 24 a1a2 6

当 n ≥ 3 时, Tn ?

? 1 1 1 1 (?1) f ( n?1) 1 1 1 ? ? ? ??? ≥ ? ?? ??? ? 6 a3a4 a5a6 a2 n?1a2 n 6 a3a4 ? a5a6 a2 n?1a2 n ?

1 1 1 1 1? 1 1 ? 1 ? , ≥ ? ? ? 3 ?? ? n ? ? ? n 2 6 6 6?2 6 ? 2 2 ? 6 6?2
同时, Tn ?

? 1 5 1 1 (?1) f ( n?1) 5 1 1 ? ? ? ??? ≤ ? ?? ??? ? 24 a5a6 a7 a8 a2 n?1a2 n 24 a5 a6 ? a1a2 a2 n?1a2 n ?



1 5 5 1 1? 1 1 ? 5 ? ? . ? ? ? 1 ??? n ? ? n 3 24 24 9 ? 2 9 ? 2 2 ? 24 9 ? 2 1 5 ≤ Tn ≤ . 6 24

综上,当 n ? N * 时,

〖例 7〗 A 是由定义在 [2, 4] 上且满足如下条件的函数 ? ( x) 组成的集合:①对任意的

x ? [1, 2] ,都有 ? (2 x) ? (1, 2) ;② 存在常数 L ( 0 ? L ? 1 ) ,使得对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,
都有 ? ? 2 x1 ? ? ? ? 2 x2 ? ? L x1 ? x2 . (1)设 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2, 4] ,证明: ? ( x) ? A ; (2)设 ? ( x) ? A .如果存在 x0 ? (1, 2) ,使得 x0 ? ? (2 x0 ) ,那么这样的 x0 是唯一的; (3)设 ? ( x) ? A .任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn) , n ? 1, 2,? .证明:给定正整数 k ,对 任意的正整数 p ,不等式 xk ? p ? xk ? 解析: (3)关注提示性的信息 (1)证明:因为 ? ( x) ? 3 1 ? x , x ? [2, 4] .所以 ? (2 x) ? 3 1 ? 2 x , x ? [1, 2] . 当 x ? [1, 2] 时, 3 ? 1 ? 2 x ? 5 ,所以 1 ? 3 3 ? ? (2x) ? 3 1 ? 2x ? 3 5 ? 2 . 对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,

Lk ?1 x2 ? x1 成立. 1? L

|? (2 x1 ) ? ? (2 x2 )| ?| 3 1 ? 2 x1 ? 3 1 ? 2 x2 |?
?
取L?

2 | x1 ? x2 |
3

(1 ? 2 x1 )2 ? 3 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 ) ? 3 (1 ? 2 x2 )2

2 | x1 ? x2 | . 3

2 ,则 0 ? L ? 1 ,对任意的 x1 , x2 ?[1, 2] ,都有 ? ? 2 x1 ? ? ? ? 2 x2 ? ? L x1 ? x2 . 3

综上有 ? ( x) ? A . (2)设 ? ( x) ? A .若存在 x1 , x2 ? (1, 2) 使得 ? (2 xi ) ? xi ( i ? 1, 2 ). 由条件②知,存在常数 L ( 0 ? L ? 1 )使得 | x1 ? x2 |?| ? (2 x1 ) ? ? (2 x2 )| ? L | x1 ? x2 | , 因为 0 ? L ? 1 ,所以 x1 ? x2 ? 0 ,即 x1 ? x2 .

(3)设 ? ( x) ? A .任取 x1 ? (1, 2) ,令 xn?1 ? ? (2 xn ) , n ? 1, 2,? . 由条件①知 xn ? (1, 2) , n ? 1, 2,? . 由条件②知,存在常数 L ( 0 ? L ? 1 ) ,使得对任意的正整数 n ,

| xn?1 ? xn |?| ?(2xn ) ? ?(2xn?1 ) |? L | xn ? xn?1 |? L | ?(2xn?1 ) ? ?(2xn?2 ) |? L2 | xn?1 ? xn?2 | ? ? ? Ln?1 | x2 ? x1 | .
从而对给定的正整数 k 及任意的正整数 p ,

| xk ? p ? xk |?| xk ? p ? xk ? p?1 ? xk ? p?1 ? xk ? p?2 ? ?? xk ?1 ? xk | ?| xk ? p ? xk ? p?1 | ? | xk ? p?1 ? xk ? p?2 | ??? | xk ?1 ? xk | ? ( Lk ? p?2 ? Lk ? p?3 ? ?? Lk ?1 )|x2 ? x1|
? Lk ?1 (1 ? Lp ) Lk ?1 | x2 ? x1 |? | x2 ? x1 | . 1? L 1? L

〖例 8〗对于每项均是正整数的数列 A : a1, a2 ,?, an ,定义变换 T1 , T1 将数列 A 变换成数 列 T1 ( A) : n, a1 ? 1, a2 ? 1,?, an ? 1 . 对于每项均是非负整数的数列 B : b1, b2 ,?, bm ,定义变换 T2 , T2 将数列 B 各项从大到小 排列,然后去掉所有为零的项,得到数列 T2 ( B) ;
2 2 2 又定义 S ( B) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? mbm ) ? b1 ? b2 ? ? ? bm .

设 A0 是每项均为正整数的有穷数列,令 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak )) ( k ? 0,1, 2,? ). (1)如果数列 A0 为 5,3,2,写出数列 A1 , A2 ; (2)对于每项均是正整数的有穷数列 A ,证明 S (T1 ( A)) ? S ( A) . (3)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0 ,存在正整数 K ,当 k ? K 时,

S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .
解析: 、 (1)(2)两问较为容易,只需按“定义”写出具体表达式即可.

根据(2)的结论,当数列进行 T1 变换后再求“ S 和”后相等,而 Ak ?1 ? T2 (T1 ( Ak )) , 这样就需要先确定数列进行 T2 变换前后“ S 和” (即 S (T2 ( A)) 与 S ( A) )的关系,由此确定 (3)的解题方向.不难确定,当去掉数列中为 0 的项后“ S 和”不变,而交换两项后由排序 不等式也容易得到 S 和” “ 减小, S (T2 ( A)) ? S ( A) , (2) 即 结合 即知 S (T2 (T1 ( A))) ? S ( A) . 又由于 A0 中每一项皆为正整数,对于数列的序列 Ak ,其“ S 和”不会无限地减小. 解: (1) T1 ( A0 ) : 3, 4, 2,1 , A ? T2 (T1 ( A0 )) : 4,3, 2,1 , 1

T1 ( A1 ) : 4,3, 2,1,0 , A2 ? T2 (T1 ( A1 )) : 4,3, 2,1 .
(2)证明:设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1 , a2 ,?, an , 则 T1 ( A ) 为 T1 ( A) : n, a1 ? 1, a2 ? 1,?, an ? 1 . 1 从而 S (T1 ( A)) ? 2[n ?
n n

? (i ? 1)(a ?1)] ? n ? ? (a ?1)
2 i ?1 i i ?1 i

n

n

2

.

又 S ( A) ? 2

? iai ? ? ai2 ,所以 S (T1 ( A)) ? S ( A) ? 0 ,即 S(T1( A)) ? S( A) .
i ?1 i ?1

(3)证明:设 A 是每项均为非负整数的数列 a1 , a2 ,?, an . 当存在 1 ? i ? j ? n ,使得 ai ? a j 时,交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B , 则 S (B) ? S ( A) ? 2(ia j ? jai ? iai ? jai ) ? 2(i ? j )(ai ? a j ) ? 0 . 当 存 在 1 ? m ? n , 使 得 am?1 ? am?2 ? ? ? an ? 0 时 , 若 记 数 列 a1 , a2 ,?, am 为 C , 则

S ( C ) ? S ( A).所以 S (T2 ( A)) ? S ( A) .
从而对任意给定的数列 A0 , Ak ?1 ? T (T( Ak ( k ? 0,1, 2,? ) 由 可知 S ( Ak ?1 ) ? S (T1 ( Ak )) . ) 2 1 又由(2)可知 S (T1 ( Ak )) ? S ( Ak ) ,所以 S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) . 即对于 k ? N ,要么有 S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) ,要么有 S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) ?1 . 因为 S ( Ak ) 是大于 2 的整数,所以经过有限步后,必有 S ( Ak ) ? S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ?2 ) ?? . 即存在正整数 K ,当时 k ? K 时, S ( Ak ?1 ) ? S ( Ak ) .

?an ? c, an ? 3, ? 〖例 9〗已知以 a1 为首项的数列 {an } 满足: an ?1 ? ? an an ? 3. ?d , ?
(1)当 a1 ? 1 , c ? 1 , d ? 3 时, 求数列 {an } 的通项公式; (2)当 0 ? a1 ? 1, c ? 1 , d ? 3 时,试用 a1 表示数列 {an } 的前 100 项和 S100 ; (3)当 0 ? a1 ?

1 1 1 ( m 是正整数) c ? , ,正整数 d ? 3m 时,求证:数列 a2 ? , m m m 1 1 1 a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m . m m m

解析: (3)对整数的处理—— d ? 3m

?1, n ? 3k ? 2, ? 解: (1)由题意得 an ? ? 2, n ? 3k ? 1, k ? N * . ?3, n ? 3k , ?
(2)当 0 ? a1 ? 1时, a2 ? a1 ? 1, a3 ? a1 ? 2 , a4 ? a1 ? 3 , a5 ?

a1 a ? 1 , a6 ? 1 ? 2 , 3 3

a7 ?

a1 a a a ? 3 ,?, a3k ?1 ? k 1 1 ? 1 , a3k ? k 1 1 ? 2 , a3k ?1 ? k 1 1 ? 3 ,?. ? ? 3 3 3 3?

所以 S100 ? a1 ? (a2 ? a3 ? a4 ) ? (a5 ? a6 ? a7 ) ? ?? (a98 ? a99 ? a100 )

a1 a1 ? 6) ? ? ? ( 31 ? 6) 3 3 1 1 1 1 ? a1 ? a1 (3 ? 1 ? ? ? ? 31 ) ? 6 ? 33 ? (11 ? 31 )a1 ? 198 . 3 3 2 3 1 (3)当 d ? 3m 时, a2 ? a1 ? . m a 3m ? 1 1 1 ? a1 ? ? 3 ? 3 ? a1 ? 3 ? a3m ?1 ,所以 a3m ? 2 ? 1 ? . 因为 a3m ? a1 ? m m 3m m a1 1 a1 a1 1 ? ?3? 3? ? 3 ? a6 m ?1 ,所以 a6 m ? 2 ? ? . 因为 a6 m ? 3m m 3m 9m 2 m a a a1 1 1 ? . 因为 a9 m ? 1 2 ? ? 3 ? 3 ? 1 2 ? 3 ? a9 m ?1 ,所以 a9 m ? 2 ? 3 9m m 9m 27m m a a a1 1 1 1 1 所以 a2 ? ? a1 , a3m ? 2 ? ? 1 , a6 m ? 2 ? ? 1 2 , a9 m ? 2 ? ? . m m 3m m 9m m 27m3 1 1 1 1 1 即当 d ? 3m 时,数列 a2 ? , a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 是公比为 的等比数列. m m m m 3m a ?3 a ?3 1 1 ? (0, ) , a6 m ? 2 ? 1 ? 3 ? (3,3 ? ) , 当 d ? 3m ? 1 时, a3m ? 2 ? 1 d m d m ? a1 ? (3a1 ? 6) ? (a1 ? 6) ? (

a1 ? 3 a1 ? 3 ?3 ?3 1 3m ? 1 1 a6 m?3 ? d ? (0, ) , a9m?2 ? d ? ? (3 ? ,3) . d m d m m 1 1 1 由于 a3m ? 2 ? ? 0 , a6 m ? 2 ? ? 0 , a9 m ? 2 ? ? 0 , m m m 1 1 1 1 故数列 a2 ? , a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 不是等比数列. m m m m 1 1 1 1 所以,数列 a2 ? , a3m ? 2 ? , a6 m ? 2 ? , a9 m ? 2 ? 成等比数列当且仅当 d ? 3m . m m m m


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