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人教版高中数学竞赛讲座:因式分解


竞赛讲座 22 -因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,具有一定的灵活性和技巧性,下面 我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上,结合竞赛再补充介绍添项、拆项法, 待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式, 解题时要注意 观察分析题目的特点. 例 1 (1986 年扬州初一数学竞

赛题)分解因式 (1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解:原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2 =[(1+y)+x2(1-y)+2x]· [(1+y)+x2(1-y)-2x] =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例 2(第 11 届国际数学竞赛题)证明:具有如下性质的自然数 a 有无穷多个,对 于任意的自然数 m.z=n4+a 都不是素数. 证明 设 a=4k4(k 为大于 1 的自然数) ,则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ① ∵k 为大于 1 的自然数, ∴(n+k)2+k2>1, (n-k)2+k2>1 故①的右边两个因子都大于 1,故当 k>1 时,z 是合数. 由于大于 1 的自然数 k 有无穷多个,故有无穷多个自然数 a,使 n4+a 对一切自然 数 n 总非素数 2.待定系数法 若两多项式 f(x)=g(x),则它们同次的对应项系数一定相等,利用这条结论可将某些 因式分解的问题转化为解方程组的问题来解决. 例 3 分解因式 3x2+5xy-2y2+x+9y-4. 解 由于 3x2+5xy-2y2=(3x-y)(x+2y),故可设 3x2+5xy-2y2+x+9y-4 =(3x-y+a)(x+2y+b) =3x2+5xy-2y2+(a+3b)x+(2a-b)y+ab. ①②③ 比较两边系数得 由①,②联立得 a=4,b=-1,代入③式适合. ∴原式=(3x-y+4)(x+2y-1). 例4 (1963 年北京中学生数学竞赛试题)已知多项式 x3+bx2+cx+d 的系数都是 整数,若 bd+cd 是奇数,,证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积. 证明 设 x3+bx2+cx+d=(x+p)(x2+qx+r) =x3+(p+q)x2+(pq+r)x+pr (其中 p、q、r 均为整数) 比较两边系数得 pr=d. 又 bd+cd=d(b+c)是奇数,故 b+c 与 d 均为奇数,那么 pr 也是奇数,即 p 与 r 也是奇数. 今以 x=1 代入(因为它是恒等式)得 1+b+c+d=(1+p)(1+q+r). ① ∵b+c,d 为奇数,∴1+b+c+d 也为奇数,而 p 为奇数,∴1+p 为偶数. ∴(1+p)(1+q+r)为偶数.这说明等式①的左端为奇数,右端为偶数,这是不可能的. 所以,所述多项式不能分解成两个整系数多项式的乘积. 3.换元法 例 5 分解因式 (x2+3x+2)(x2+7x+12

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