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2013届高考文科数学第一轮复习测试题29


活页限时训练
命题要点: ?1?三角函数的图象?′11 年 4 考, ′10 年 3 考?; ?2?三角函数的性质?′11 年 5 考,′10 年 3 考?. A级 (时间:40 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.函数 f(x)=2sin xcos x 是( A.最小正周期为 2 π 的奇函数 B.最小正周期为 2 π 的偶函数 C.最小正周期为 π

的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期为 π 的奇函数. 答案 C π? ? 2.函数 y=sin?2x+3?图象的对称轴方程可能是( ? ? A.x=- π 6 π B.x=- 12 π C.x= 6 ). D.x= π 12 ). 满分:60 分)

kπ π π π 解析 令 2x+3=kπ+2(k∈Z),得 x= 2 +12(k∈Z),令 k=0 得该函数的一条对 π 称轴为 x=12.本题也可用代入验证法来解. 答案 D 3.(2012· 南昌质检)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最小正周期为( A.2π 3π B. 2 C.π π D.2 ).

? π? 解析 依题意,得 f(x)=cos x+ 3sin x=2sin?x+6?.故最小正周期为 2π. ? ? 答案 A ?π π? 4.(★)下列函数中,周期为 π,且在?4,2?上为减函数的是( ? ? π? ? A.y=sin?2x+2? ? ? ).

π? ? B.y=cos?2x+2? ? ?

? π? C.y=sin?x+2? ? ?

? π? D.y=cos?x+2? ? ?

?π π? 解析 (筛选法)∵函数的周期为 π.∴排除 C、D,∵函数在?4,2?上是减函数,∴ ? ? 排除 B. 答案 A 【点评】 本题采用了筛选法,体现了筛选法的方便、快捷、准确性,在解选择 题时应注意应用. ? π? 5.已知函数 f(x)=sin?x-2?(x∈R),下面结论错误的是( ? ? A.函数 f(x)的最小正周期为 2π π? ? B.函数 f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π? ? π? ? 解析 ∵y=sin?x-2?=-cos x,∴T=2π,在?0,2?上是增函数,图象关于 y 轴 ? ? ? ? 对称,为偶函数. 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) ?π ? 6. 若函数 f(x)=cos ωxcos?2-ωx?(ω>0)的最小正周期为 π, ω 的值为________. 则 ? ? ?π ? 解析 f(x)=cos ωxcos?2-ωx? ? ? 1 =cos ωxsin ωx=2sin 2ωx, 2π ∴T=2ω=π.∴ω=1. 答案 1 π? ? 7.函数 y=tan?2x+4?的图象与 x 轴交点的坐标是______. ? ? kπ π π 解析 由 2x+4=kπ,k∈Z,得:x= 2 -8,k∈Z, ?kπ π ? 故交点坐标为? 2 -8,0?(k∈Z). ? ? ).

?kπ π ? 答案 ? 2 -8,0?(k∈Z) ? ? ? ? π π?? 8.(★)(2011· 开封质检)已知函数 f(x)=sin(x+θ)+ 3cos(x+θ)?θ∈?-2,2??是偶 ? ? ?? 函数,则 θ 的值为________. π? ? 解析 (回顾检验法)据已知可得 f(x)=2sin?x+θ+3?,若函数为偶函数,则必有 θ ? ? π π π π π ? π π? +3=kπ+2(k∈Z),又由于 θ∈?-2,2?,故有 θ+3=2,解得 θ=6,经代入检 ? ? 验符合题意. π 答案 6 【点评】 本题根据条件直接求出 θ 的值,应将 θ 再代入已知函数式检验一下. 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)设 f(x)= 1-2sin x. (1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域及取最大值时 x 的值. 解 (1)由 1-2sin x≥0,根据正弦函数图象知: 5 13π 定义域为{x|2kπ+6π≤x≤2kπ+ 6 ,k∈Z}. (2)∵-1≤sin x≤1,∴-1≤1-2sin x≤3,∵1-2sin x≥0,∴0≤1-2sin x≤3, 3π ∴f(x)的值域为[0, 3],当 x=2kπ+ 2 ,k∈Z 时,f(x)取得最大值. ?π ? 10.(12 分)(2011· 中山模拟)已知 f(x)=sin x+sin?2-x?. ? ? 1 (1)若 α∈[0,π],且 sin 2α=3,求 f(α)的值; (2)若 x∈[0,π],求 f(x)的单调递增区间. 解 (1)由题设知 f(α)=sin α+cos α. 1 ∵sin 2α=3=2sin α· α>0,α∈[0,π], cos π? ? ∴α∈?0,2?,sin α+cos α>0. ? ? 4 由(sin α+cos α)2=1+2sin α· α=3, cos

2 2 得 sin α+cos α=3 3,∴f(α)=3 3. ? π? (2)由(1)知 f(x)= 2sin?x+4?,又 0≤x≤π, ? ? π? ? ∴f(x)的单调递增区间为?0,4?. ? ? B级 (时间:30 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.(★)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( A.[-1,1] ? 5 ? C.?-4,1? ? ? ). ? 5 ? B.?-4,-1? ? ? 5? ? D.?-1,4? ? ? 满分:40 分)

解析 (数形结合法)y=sin2x+sin x-1, sin x=t, 令 则有 y=t2+t-1, t∈[-1,1], 1 画出函数图象如图所示,从图象可以看出,当 t=-2及 t=1 时,函数取最值, ? 5 ? 代入 y=t2+t-1 可得 y∈?-4,1?. ? ?

答案 C 【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题,再用数形结合来解 决,但换元后注意新元的范围 π? ? ?π π? 2. (2011· 山东)若函数 f(x)=sin ωx(ω>0)在区间?0,3?上单调递增,在区间?3,2? ? ? ? ? 上单调递减,则 ω=( 2 A.3 3 B.2 ). C.2 D.3

π 解析 由题意知 f(x)的一条对称轴为 x=3,和它相邻的一个对称中心为原点,则 4π 3 f(x)的周期 T= 3 ,从而 ω=2.

答案 B 二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) π? ? 3.(2011· 绍兴模拟)关于函数 f(x)=4sin?2x+3?(x∈R),有下列命题: ? ? ①由 f(x1)=f(x2)=0 可得 x1-x2 必是 π 的整数倍; π? ? ②y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos?2x-6?; ? ? ? π ? ③y=f(x)的图象关于点?-6,0?对称; ? ? π ④y=f(x)的图象关于直线 x=-6对称. 其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上). π? ? 解析 函数 f(x)=4sin?2x+3?的最小正周期 T=π, 由相邻两个零点的横坐标间的 ? ? T π 距离是2=2知①错. π?? ?π ? 利用诱导公式得 f(x)=4cos?2-?2x+3??= ? ?? ? π? ?π ? ? 4cos?6-2x?=4cos?2x-6?,知②正确. ? ? ? ? π 由于曲线 f(x)与 x 轴的每个交点都是它的对称中心,将 x=- 6 代入得 f(x)= ? ? π? π? 4sin?2×?-6?+3?=4sin 0=0, ? ? ? ? ? π ? 因此点?-6,0?是 f(x)图象的一个对称中心, 故命题③正确. 曲线 f(x)的对称轴必 ? ? π ? π ? 经过图象的最高点或最低点,且与 y 轴平行,而 x=-6时 y=0,点?-6,0?不 ? ? π 是最高点也不是最低点,故直线 x=- 不是图象的对称轴,因此命题④不正确. 6 答案 ②③ π? ? 4. 函数 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增, 且在这个区间上的最大值是 3, ? ? 那么 ω 等于________. π? ? 解析 因为 f(x)=2sin ωx(ω>0)在?0,4?上单调递增,且在这个区间上的最大值 ? ?

π π π 4 是 3,所以 2sin4ω= 3,且 0<4ω<2,因此 ω=3. 4 答案 3 三、解答题(共 22 分) 5.(10 分)(2012· 南通调研)设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一 π 条对称轴是直线 x=8. (1)求 φ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 解 (1)令 2×8+φ=kπ+2,k∈Z, π ∴φ=kπ+4,k∈Z,

5 1 又-π<φ<0,则-4<k<-4,k∈Z, 3π ∴k=-1,则 φ=- 4 . 3π? ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ?, ? ? π 3π π 令-2+2kπ≤2x- 4 ≤2+2kπ,k∈Z, π 5π 可解得8+kπ≤x≤ 8 +kπ,k∈Z, 5π ?π ? 因此 y=f(x)的单调增区间为?8+kπ, 8 +kπ?,k∈Z. ? ? π? π? ? ? 6.(12 分)已知 a>0,函数 f(x)=-2asin?2x+6?+2a+b,当 x∈?0,2?时,- ? ? ? ? 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值; ? π? (2)设 g(x)=f?x+2?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. ? ? π? π ?π 7π? ? 解 (1)∵x∈?0,2?,∴2x+6∈?6, 6 ?. ? ? ? ?

π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+6?∈?-2,1?, ? ? ? ? π? ? ∴-2asin?2x+6?∈[-2a,a]. ? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+6?-1, ? ? 7π? ? π? ? g(x)=f?x+2?=-4sin?2x+ 6 ?-1 ? ? ? ? π? ? =4sin?2x+6?-1, ? ? 又由 lg g(x)>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin?2x+6?-1>1, ? ? π? 1 ? ∴sin?2x+6?>2, ? ? π π 5π ∴2kπ+6<2x+6<2kπ+ 6 ,k∈Z, π π π π 其中当 2kπ+6<2x+6≤2kπ+2,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+6,k ∈Z, π? ? ∴g(x)的单调增区间为?kπ,kπ+6?,k∈Z. ? ? π π 5π π π 又∵当 2kπ+ <2x+ <2kπ+ , k∈Z 时, g(x)单调递减, kπ+ <x<kπ+ , 即 2 6 6 6 3 k∈Z. π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ+6,kπ+3?,k∈Z. ? ?


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