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选修2-2 3.2.2复数代数形式的乘除运算


选修 2-2
一、选择题 1、复数 z=

3.2.2 复数代数形式的乘除运算
)

i 在复平面上对应的点位于( 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2、设 a,b 为实数,若复数
3 1 A.a= ,b= 2 2 1 3 C.a= ,b= 2 2


1+2i =1+i,则( a+bi

)

B.a=3,b=1 D.a=1,b=3

3、设复数 z 的共轭复数是 z ,若复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1·z 2 是实数,则实数 t
等于( ) 3 4 4 3 A. B. C.- D.- 4 3 3 4

4、设 a 是实数,且

1+i a + 是实数,则 a 等于( 2 1+i

)

1 3 A. B.1 C. D.2 2 2

5、设 z=3+i,则
A.3+i 3 1 C. i+ 10 10

1 z

等于(

)

B.3-i 3 1 D. + i 10 10

6、已知复数 z=1+i,则
A.2i C.2 B.-2i D.-2

z2-2z 等于( z-1

)

7、若复数 z1=1+i,z2=3-i,则 z1· z2 等于(
A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+i

)

二、填空题 8、若实数 x,y 满足(1+i)x+(1-i)y=2,则 xy=______.

x y 5 + = ,则 x+y= 1-i 1-2i 1-3i __________________________________________________________.

9、设 x、y 为实数,且

10、已知 i =b+i(a,b∈R),其中 i 为虚数单位,则 a+b=________.

a+2i

三、解答题 11、已知复数 z1=i(1-i)3,
(1)求|z1|; (2)若|z|=1,求|z-z1|的最大值.

12、已知 z,ω 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω=

z ,且|ω|=5 2,求 ω. 2+ i

13、计算:

3+4i +9+2i. 4-3i

以下是答案

一、选择题 1、A [∵z=
i?1-i? 1+i 1 1 i = = = + i, 2 2 2 1+i ?1+i??1-i?

∴复数 z 在复平面上对应的点位于第一象限.] 1+2i =1+i, a+bi

2、A [∵

1+2i ?1+2i??1-i? 3+i ∴a+bi= = = , 2 1+i ?1+i??1-i? 3 1 ∴a= ,b= .] 2 2

3、A [∵z2=t+i,∴ z 2=t-i.
z1·z 2=(3+4i)(t-i)=3t+4+(4t-3)i, 3 又∵z1·z 2∈R,∴4t-3=0,∴t= .] 4 1+i a-ai 1+i a+1 1-a 1-a a + = + = + i 为实数,∴ =0,∴a=1.] 2 2 2 2 2 2 1+i 3+i 3 1 i = = + .] 10 10 10 3-i

4、B [∵

5、D [ =
z

1

6、A


z2-2z ?1+i?2-2?1+i? 2i-2-2i [ = = i z-1 1+i-1

-2 -2i = 2 =2i.] i i

7、A [∵z1=1+i,z2=3-i,
∴z1· z2=(1+i)(3-i)=3+3i-i-i2 =3+2i+1=4+2i.]

二、填空题 8、1
解析 由(1+i)x+(1-i)y=2, 得(x+y)+(x-y)i=2. 所以?

? ?x+y=2, ?x-y=0. ?

? ?x=1, 即? ∴xy=1. ?y=1. ?

9、4
解析 x y 5 + = 1-i 1-2i 1-3i

? =

y?1+2i? + ?1-i??1+i? ?1+2i??1-2i? 5?1+3i?

x?1+i?

?1-3i??1+3i? 1 1 ? x(1+i)+ y(1+2i) 2 5 1 1 1 2 1 =( x+ y)+( x+ y)i= (1+3i) 2 5 2 5 2 1 1 1 x+ y= ?x=-1, 2 5 2 ? ? ?? 1 2 3 ? ?y=5, x+ y= 2 5 2

? ? ?

∴x+y=4.

10、1
a+2i 解析 ∵ =b+i,∴a+2i=bi-1. i ∴a=-1,b=2,∴a+b=1.

三、解答题 11、解 方法一 (1)z1=i(1-i)3=i(-2i)(1-i)
=2-2i, ∴|z1|= 22+?-2?2=2 2. 方法二 |z1|=|i(1-i)3|=|i|×|1-i|3 =1×( 2)3=2 2. (2)∵|z|=1, ∴设 z=cos θ+isin θ, |z-z1|=|cos θ+isin θ-2+2i| = = ?cos θ-2?2+?sin θ+2?2 π? 9+4 2sin? ?θ-4?. π? 2 ∴当 sin? ?θ-4?=1 时,|z-z1| 取得最大值 9+4 2,从而得到|z-z1|的最大值为 2 2+1.

12、解 设 z=a+bi(a,b∈R),则(1+3i)z=a-3b+(3a+b)i,由题意,得 a=3b≠0.
z ∵|ω|=| |=5 2,∴|z|= 2+i 15+5i 故 ω=± =± (7-i). 2+i 3+4i ?3+4i?i +9+2i= +9+2i 4-3i 4i-3i2 a2+b2=5 10,

将 a=3b 代入上式,得 a=± 15,b=± 5,

13、解



?3+4i?i +9+2i 3+4i

=9+3i.


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