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导数的极值、最值及其应用(解析版)


一、考纲目标 理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值 二、知识梳理 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有 f(x) <f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x

0),x0 是极大值点 2.极小值: 一般地, 设函数 f(x)在 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0) 就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点 3.极大值与极小值统称为极值(ⅰ)极值是一个局部概念由定义,极值只是某个点的函数值 与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最 小(ⅱ)函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不 止一个(ⅲ)极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值, 如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 ) (ⅳ)函数的极值点一定 出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在 区间的内部,也可能在区间的端点 4.判别 f(x0)是极大、极小值的方法:若 x 0 满足 f ?( x 0 ) ? 0 ,且在 x 0 的两侧 f (x) 的导数异号, 则 x 0 是 f (x) 的极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是 f (x) 的极大值点,f ( x0 ) 是极大值; 如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足 “左负右正” 则 x 0 是 f (x) , 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值 5.求函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根(3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开 区间,并列成表格。检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这 个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符 号即都为正或都为负,则 f(x)在这个根处无极值 6.函数的最大值和最小值:在闭区间 ?a, b ? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b ? 上必有最大值与最小 值. ⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数 f (x) 不一定有最大值与最小 ⑵函数的最值是比较整个 定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶函数 f (x) 在闭

-1-

区间 ?a, b ? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b ? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条 件. (4)函数在其定义区间上的最大值、 最小值最多各有一个, 而函数的极值可能不止一个, 也可能没有一个 7.利用导数求函数的最值步骤:⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值;⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、

f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b ? 上的最值
三、考点逐个突破 1.求函数的极值 例 1.求列函数的极值: (1) y ? ( x ? 1) ( x ? 2) ; (2) y ?
2 2 2 2

2x ?2 x ?1
2
/ 2

解: (1)? f ( x) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ,? f ( x) ? ( x ? 1)(5 x ? 7)( x ? 2) 令 f ( x) ? 0 ,得驻点 x1 ? 1, x 2 ?
/

x
f / ( x)

(??,1)
+ ↗

1 0 极大

7 , x3 ? 2 5 7 (1, ) 5


7 5
0 极小

7 ( , 2) 5
+ ↗

2 0

(2,??)
+ ↗

f (x)

7 108 是函数的极小值 ? f (1) ? 0 是函数的极大值; f ( ) ? ? 5 3125
(2)? f ( x) ?

2x 2(1 ? x 2 ) ? 2 x ? 2 x 2(1 ? x)(1 ? x) ? 2,? f / ( x) ? ? x2 ?1 (1 ? x 2 ) 2 (1 ? x 2 ) 2

令 f ( x) ? 0 ,得驻点 x1 ? ?1, x2 ? 1
/

x
f / ( x)

(??,?1)


-1 0 极大
极大

(?1,1)
+ ↗ =-1 值

1 0 极小

(1,??)


f (x)

?当 x ? ?1 时, f
2.求函数的极值点

极小

=-3;当 x ? 1时, f

例 2 设 f ( x) ? (ax ? x ? 1) ? e
2

?x

(e 为自然对数的底,a 为常数且 a ? 0, x ? R ) f (x) 取极 ,

-2-

小值时,求 x 的值 解: f ?( x) ? (2ax ? 1) ? e 令 f ?( x) ? 0 ? x ? ?
?x

? (ax 2 ? x ? 1) ? e ? x ? (?1) ? ?e ? z ? (ax ? 1)( x ? 2)

1 或2 a 1 1 (1) 当 ? ? 2即 ? ? a ? 0 ,由表 a 2
x f′(x) f(x) (-∞, -2) + ↗ -2 0 极大值

1 (?2,? ) a
- ↘

?

1 a

1 (? ,??) a
+ ↗

0 极小值

1 ? x ? ? 时, f ( x) 取极小值 a

1 1 1 ? 2即a ? ? 时, f ?( x) ? ? ? e ? x ? ( x ? 2) 2 ? 0 无极值 a 2 2 1 1 (3) 当 ? ? 2即a ? ? 时,由表 a 2 1 1 1 (-∞,- ) ? (? ,?2) x -2 a a a
(2) 当 ? f′ (x) f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 + 0 - 0

(?2,??)
+



? x ? ?2时, f ( x)取极小值.综上,当 ?

1 1 ? a ? 0时, x ? ? 时, f ( x)取极小值 2 a

1 当a ? ? 时, x ? ?2时, f ( x)取极小值 2
3.函数的单调性及其应用 例 3.设函数 f(x)= x 2 ? 1 -ax,其中 a>0,求 a 的范围,使函数 f(x)在区间[0,+∞) 上是单调函数 分析:要使 f(x)在[0,+∞)上是单调函数,只需 f′(x)在[0,+∞)上恒正或恒负即 可 解:f′(x)=

x 1? x2

-a

当 x>0 时, 0 ?

x 1 ? x2

?1

-3-

因为 a>0,所以当且仅当 a≥1 时,f′(x)=

x 1? x2

-a 在[0,+∞)上恒小于 0,此时 f

(x)是单调递减函数 点评:要使 f(x)在(a,b)上单调,只需 f′(x)在(a,b)上恒正或恒负,即 f′(x) >0(或<0) ? 单调递增(或减) 4.分类讨论的思想在极值中的应用 例 4.已知函数 f(x)=ax +bx -3x 在 x=±1 处取得极值 (1)讨论 f(1)和 f(-1)是函数 f(x)的极大值还是极小值; (2)过点 A(0,16)作曲线 y=f(x)的切线,求此切线方程 解: (1)f′(x)=3ax +2bx-3,
2 3 2

?3a ? 2b ? 3 ? 0, 依题意,f′(1)=f′(-1)=0,即 ? ?3a ? 2b ? 3 ? 0.
解得 a=1,b=0 ∴f(x)=x -3x,f′(x)=3x -3=3(x+1) (x-1) 令 f′(x)=0,得 x=-1,x=1 若 x∈(-∞,-1)∪(1,+∞) ,则 f′(x)>0,故 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, f(x)在(1,+∞)上也是增函数 若 x∈(-1,1) ,则 f′(x)<0,故 f(x)在(-1,1)上是减函数 所以 f(-1)=2 是极大值,f(1)=-2 是极小值 (2)曲线方程为 y=x -3x,点 A(0,16)不在曲线上 设切点为 M(x0,y0) ,则点 M 的坐标满足 y0=x0 -3x0 因 f′(x0)=3(x0 -1) ,故切线的方程为 y-y0=3(x0 -1) (x-x0) 注意到点 A(0,16)在切线上,有 16-(x0 -3x0)=3(x0 -1) (0-x0) , 化简得 x0 =-8,解得 x0=-2 所以切点为 M(-2,-2) ,切线方程为 9x-y+16=0 点评:本题考查函数和函数极值的概念,考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法, 以及分析和解决问题的能力 5.优化问题
-43 3 2 2 2 3 3 3 2

例 5.用总长 148 m 的钢条制作一个长方体容器的框架如果所制作容器的底面的一边比另一边 长 05 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积 解:设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+05) m,高为

14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) =32-2x(m) 4
设容积为 y m ,则 y=x(x+05) (32-2x) (0<x<16) , 整理,得 y=-2x +22x +16x 所以 y′=-6x +44x+16 令 y′=0,即-6x +44x+16=0, 所以 15x -11x-4=0 解得 x=1 或 x=-
2 2 2 3 2 3

4 (不合题意,舍去) 15

从而在定义域(0,1.6)内只有 x=1 处使得 y′=0 由题意,若 x 过小(接近 0)或过大(接近 1.6)时,y 值很小(接近 0) 因此,当 x=1 时,y 有最大值且 ymax=-2+22+16=18, 此时,高为 32-2×1=1.2 答:容器的高为 1.2 m 时,容积最大,最大容积为 1.8 m
3

例 6.烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境已知落在地面某处的烟尘浓度与该处至烟囱距离 的平方成反比,而与该烟囱喷出的烟尘量成正比,现有两座烟囱相距 20 km ,其中一座烟囱喷 出的烟尘量是另一座的 8 倍,试求出两座烟囱连线上的一点,使该点的烟尘浓度最小 解:不失一般性,设烟囱 A 的烟尘量为 1,则烟囱 B 的烟尘量为 8 并设 AC= x(0 ? x ? 20)

? CB ? 20 ? x ,
于是点 C 的烟尘浓度为 y ? 其中 k 为比例系数

k 8k ? (0 ? x ? 20) , 2 x (20 ? x) 2

y/ ? ?
/

2k 16 k 2(9 x 3 ? 60 x 2 ? 1200 x ? 8000 ) ? ?k? x 3 (20 ? x) 3 x 3 (20 ? x) 3
3 2

令 y ? 0 ,有 9 x ? 60 x ? 1200 x ? 8000 ? 0 , 即 (3x ? 20)(3x ? 400 ) ? 0
2

-5-

解得在(0,20)内惟一驻点 x ?

20 3

由于烟尘浓度的最小值客观上存在,并在(0,20)内取得,

?在惟一驻点 x ?

20 20 处,浓度 y 最小,即在 AB 间距 A 处 km 处的烟尘浓度最小 3 3
2

例 7.已知抛物线 y=-x +2,过其上一点 P 引抛物线的切线 l,使 l 与两坐标轴在第一象限围 成的三角形的面积最小,求 l 的方程 解:设切点 P(x0,-x0 +2) 0>0) (x ,由 y=-x +2 得 y′=-2x, ∴k1=-2x0 ∴l 的方程为 y-(-x0 +2)=-2x0(x-x0) ,令 y=0,得 x= ∴三角形的面积为
2 2 2

x0 ? 2 2 令 x=0,得 y=x0 +2, 2 x0
2

x ?2 x ? 4 x0 ? 4 1 2 S= · 0 · 0 +2)= 0 (x 2 x0 4 x0 2
2 4 2

∴S′=

(3 x 0 ? 2)( x 0 ? 2)
2 2

4 x0
令 S′=0,得 x0= ∴当 0<x0< 当 x0>

2

6 (∵x0>0) 3

6 时,S′<0; 3

6 时,S′>0 3 6 ∴x0= 时,S 取极小值∵只有一个极值, 3 6 6 4 2 6 ∴x= 时 S 最小,此时 k1=- ,切点为( , ) 3 3 3 3 6 4 2 6 ∴l 的方程为 y- =- (x- ) ,即 2 6 x+3y-8=0 3 3 3
6.深化试题 例 8.利用导数求和: (1)Sn=1+2x+3x +?+nx
2 n-1

(x≠0,n∈N *)

(2)Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n (n∈N *) n n n n 解:(1)当 x=1 时,Sn=1+2+3+?+n= 当 x≠1 时,∵x+x +x +?+x =
2 3 n

n (n+1), 2

x ? x n ?1 , 1? x
-6-

两边对 x 求导,得 Sn=1+2x+3x +?+nx
2 n-1

=(

x ? x n ?1 1 ? (n ? 1) x n ? nx n ?1 )= 1? x (1 ? x) 2
2 n

(2)∵(1+x) =1+C 1 x+C 2 x +?+C n x , n n n 两边对 x 求导,得 n(1+x)
n-1

n

=C 1 +2C 2 x+3C 3 x +?+nC n x n n n n
n-1

2

n-1

令 x=1,得 n·2

=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n , n n n n
n-1

即 Sn=C 1 +2C 2 +3C 3 +?+nC n =n·2 n n n n

-7-


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