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全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准

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全国高中数学联赛初赛模拟试题参考答案及评分标准 一、选择题(本题满分 30 分,每小题 6 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m 2 ? n 2 ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那 么 mx+ny 的 答:[B] A. 解 a?b 2 最 大 值 为 B. ab C. a 2 ? b2 2 D. a2 ? b2 2 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到 mx ? ny ? ab ,当 m ? n ? a b ,x? y? 时, mx? ny ? ab . 选 B. 2 2 ?1 1? 2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中, ?2 4? 函数 y ? f ( x) 与 其 反 函 数 y ? f ?1 ( x) 的 图 像 的 公 共 点 只 可 能 是 点 答:[D] A. P 解 可能是 点 N. 选 D. 3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列 成等比 数 答:[A] A. 1 C. 3 B. 2 D. 4 列 , 那 么 1 0.5 B. Q C. M 1 D. N 1 1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 取 a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ? x? y?z 2 1 的 值 为 x y z 解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、四、五列中的 5 3 , z ? ,则 x ? y ? z ? 1 . 选 A. 16 16 x ? 0 .5 , y ? 4. 如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值,那么 答:[B] A. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角; ?A1 B1C1 的内角余弦都大于零,所以是 锐角三角形;若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设 ?? ? cos A1 =sin A2 =cos ? ? A1 ? , ?2 ? ?? ? cos C1 =sin C 2 =cos ? ? C1 ? . ?2 ? ?? ? cos B1 =sin B2 =cos ? ? A2 ? , ?2 ? 则 A1 ? ? 2 ? A2 , B1 ? ? 2 ? B2 , C1 ? ? 2 ? C2 , 即 A1 ? B1 ? C1 ? 3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选 B. 2 5. 设 a,b 是夹角为 30° 的异面直线,则满足条件“ a ? ? , b ? ? ,且 ? ? ? ” 的 答: [D] A. 不存在 C. 有且只有两对 解 线. b 与 垂线确定的平面 ? 垂直于 ? . 选 D. B. 有且只有一对 D. 有无数对 平 面 ? , ? 任作 a 的平面 ? ,可以作无数个. 在 b 上任取一点 M,过 M 作 ? 的垂 二、填

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