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高中数学必修4(人教A版)第二章平面向量2.5知识点总结含同步练习及答案

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高中数学必修4(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例

一、学习任务 了解向量是一种处理几何、物理等问题的工具. 二、知识清单
平面向量的应用

三、知识讲解
1.平面向量的应用 描述: 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具,有着极其丰富的实际背景,在数学和物理

学科中 具有广泛的应用. 例题: 已知点 A(?2, 1) .

(1)求过点 A 与向量 a = (3, 1) 平行的直线方程; (2)求过点 A 与向量 b = (?1, 2) 垂直的直线方程.

→ →

解:设所求直线上任取一点 P (x, y) ,则 AP = (x + 2, y ? 1).

(1)由 AP ∥ a ,所以 (x + 2) × 1 ? 3(y ? 1) = 0,即 x ? 3y + 5 = 0,所以所求直线方程为 x ? 3y + 5 = 0. (2)由题意知 AP ⊥ b ,所以 (x + 2) × (?1) + (y ? 1) × 2 = 0,即 x ? 2y + 4 = 0,所以 所求直线方程为 x ? 2y + 4 = 0. 河水自西向东的速度为 10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,静水速度为 10√3 km/h,求小 船的实际航行速度. 解:

?→ ? →

?→ ?

?→ ?



→ ?→ ? ?→ ?→ ? ?→ ? ?→ ? ? → → OB = b ,以 OA ,OB 为邻边作矩形 OACB.连接 OC ,如图,则 OC = a + b ,并且 ? ? ? ? ? ? ? ? √

设 a , b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内一点 O 作 OA = a ,





?→ ?



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? 2 ?→ ? ?→ ? → → 2 √→2 → √ OC 即为小船的实际速度.所以 |OC | = ( a + b ) = a + b = 20(km/h),

tan ∠AOC = √3,所以 ∠AOC = 60? .所以小船的实际航行速度为 20 km/h ,按北偏东 30? 方向航行.

四、课后作业

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1. 点 P 在平面上作匀速直线运动,速度向量 v = (4, 3) (即点 P 的运动方向与 v 相同,且每秒移动的 距离 |v| 个单位).设开始时点 P 的坐标为 (?10, 10) ,则 5 秒后点 P 的坐标为 ( A.(?2, 4)
答案: C

)

B.(?30, 25)

C.(10, ?5)

D.(5, ?10)

2. 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成

60? 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4 ,则 F3 的大小为 (
A.6
答案: D 解析:

)
D.2√7

B.2

C.2√5

F32 = F12 + F22 ? 2F1 F2 cos 120 ? = 4 + 16 + 8 = 28 , F3 = 2√7 . ? ? → ? ? ? →? ? →

3. 若 OP1 = (1, 2) , OP2 = (?2, 1) ,且 OP1 , OP2 分别是直线 l 1 : ax + (b ? a) y ? a = 0 ,

? ? →

l 2 : ax + 4by + b = 0 的方向向量,则 a, b 的值分别可以是 (
A.2, 1
答案: A

)

B.1, 2

C.?1, 2

D.?2, 1

4. 平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A (3, 1),B (?1, 3) ,若点 C 满足

?→ ? ?→ ? ?→ ? OC = αOA + βOB ,若中 α , β ∈ R,且 α + β = 1 ,则点 C 的轨迹方程为 (
A.(x ? 1)2 + (y ? 2)2 = 5 C.2x ? y = 0
答案: D 解析: 设 点

)

B.3x + 2y ? 11 = 0 D.x + 2y ? 5 = 0

?→ ? ?→ ? ?→ ? C 坐标为 (x , y) ,∵ OC = αOA + βOB ,∴ (x , y) = (3α ? β, α + 3β),又 α + β = 1 .则 { x = 3α ? β = 4α ? 1 ,消去 α 即可. y = α + 3β = 3 ? 2α

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