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3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数


名师一号

高考总复习 模块新课标 新课标 A 版数学

第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数
时间:45 分钟 分值:75 分

一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) π? ? π 1. (2014· 昆明检测)已知角 α 的终边上一点的坐标为?sin6,c

os6?,
? ?

则角 α 的最小正值为( 11π A. 6 π C.3

) 5π B. 6 π D.6 3 2 π = 3 ,故角 α 的最小正值为 1 3,选 C. 2

π cos6 解析 由 tanα= π = sin6 答案 C

2.(2014· 福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( A.sin165° >0 C.tan170° >0 B.cos280° >0 D.tan310° <0

)

解析 165° 是第二象限角,因此 sin165° >0 正确;280° 是第四象 限角,因此 cos280° >0 正确;170° 是第二象限角,因此 tan170° <0, 故 C 错误;310° 是第四象限角,因此 tan310° <0 正确. 答案 C
? ?

θ? ? θ θ 3.设 θ 是第三象限角,且?cos2?=-cos2,则2是( A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角

)

3π 解析 由于 θ 是第三象限角,所以 2kπ+π<θ<2kπ+ 2 (k∈Z),

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π θ 3π θ θ θ kπ+2<2<kπ+ 4 (k∈Z);又|cos2|=-cos2,所以 cos2≤0,从而 2kπ π θ 3π π θ 3π +2≤2≤2kπ+ 2 ,(k∈Z),综上可知 2kπ+2<2<2kπ+ 4 ,(k∈Z), θ 即2是第二象限角. 答案 B

4.已知扇形的周长是 4 cm,则扇形面积最大时,扇形的中心角 的弧度数是( A.2 1 C.2 ) B.1 D.3

解析 设此扇形的半径为 r,弧长为 l,则 2r+l=4,则面积 S= 1 1 2 2 rl = 2 2r(4-2r)=-r +2r=-(r-1) +1,∴当 r=1 时 S 最大,这时 l 2 l=4-2r=2,从而 α=r=1=2. 答案 A

3 5.若一个 α 角的终边上有一点 P(-4,a)且 sinα· cosα= 4 ,则 a 的值为( ) B.± 4 3 D. 3

A.4 3 4 C.-4 3或-3 3

解析 依题意可知 α 角的终边在第三象限,点 P(-4,a)在其终 3 3 4 边上且 sinα· cosα= 4 ,易得 tanα= 3或 3 ,则 a=-4 3或-3 3. 答案 C

6.(2014· 海口调研)已知点 P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,则
2

名师一号 在[0,2π]内 α 的取值范围是(
?π π? A.?4,2? ? ? ? ?3π 5 ? C.? 4 ,4π? ?

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? ? ? ?

5 ? ?π π? ? D.?4,2?∪?π,4π?
? ?

?sinα-cosα>0, 解析 由已知得? ?tanα>0.

5 ? ?π π? ? 解得 α∈?4,2?∪?π,4π?.
? ? ? ?

答案

D

二、填空题 7. 已知点 P(tanα, cosα)在第三象限, 则角 α 的终边在第________ 象限. 解析 由题意知,tanα<0,cosα<0,所以 α 是第二象限角. 答案 二

π 8.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动3弧长 到达 Q 点,则 Q 的坐标为________. π π? ? 解析 根据题意得 Q?cos3,sin3?,
? ? ?1 3? 即 Q? , ?. 2? ?2 ?1 3? 答案 ? , ? 2? ?2

3 9 .已知角 α 的终边在直线 y =- 4 x 上,则 2sinα + cosα = __________. 3 解析 由题意知 tanα=-4, ∴α 在第二象限或第四象限, 故 sinα
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3 4 3 4 =5,cosα=-5或 sinα=-5,cosα=5, 2 2 ∴2sinα+cosα=5或-5. 2 2 答案 5或-5 三、解答题 3 10.已知角 α 终边经过点 P(x,- 2)(x≠0),且 cosα= 6 x,求 sinα、tanα 的值. 解 ∵P(x,- 2)(x≠0), ∴P 到原点的距离 r= x2+2. 3 x 3 又 cosα= 6 x,∴cosα= 2 = 6 x, x +2 ∵x≠0,∴x=± 10,∴r=2 3. 当 x= 10时,P 点坐标为( 10,- 2), 6 5 由三角函数定义,有 sinα=- 6 ,tanα=- 5 ; 当 x=- 10时,P 点坐标为(- 10,- 2), 6 5 ∴sinα=- 6 ,tanα= 5 . 11.已知扇形 OAB 的圆心角 α 为 120° ,半径长为 6, ︵ (1)求AB的弧长; (2)求弓形 OAB 的面积. 解 2π (1)∵α=120° = 3 ,r=6,

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2π ∴AB的弧长为 l= 3 ×6=4π. 1 1 (2)∵S 扇形 OAB=2lr=2×4π×6=12π,

1 2π 1 3 S△ABO=2r2· sin 3 =2×62× 2 =9 3, ∴S 弓形 OAB=S 扇形 OAB-S△ABO=12π-9 3. 12.已知 A、B 是单位圆 O 上的动点,且 A、B 分别在第一、二 象限. C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点, △AOB 为正三角形. 记∠AOC =α.

sin α+sin2α ?3 4? (1)若 A 点的坐标为?5,5?,求 2 的值; ? ? cos α+cos2α (2)求|BC|2 的取值范围. 解
?3 4? (1)∵A 点坐标为?5,5?, ? ?

2

4 ∴tanα=3. sin2α+sin2α sin2α+2sinαcosα ∴ 2 = = cos α+cos2α 2cos2α-sin2α sin2α sinα 2 +2 × cos α cosα tan2α+2tanα = sin2α 2-tan2α 2-cos2α
5

名师一号 16 8 9 +3 = 16=20. 2- 9 (2)设 A 点的坐标为(x,y), ∵△AOB 为正三角形,

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π? π?? ? ? ? ∴B 点坐标为?cos?α+3?,sin?α+3??,
? ? ? ? ??

且 C(1,0). π? ? π? ? ? ? ∴|BC|2=?cos?α+3?-1?2+sin2?α+3?
? ? ? ? ? ?

π? ? =2-2cos?α+3?.
? ?

而 A、B 分别在第一、二象限,
?π π? ∴α∈?6,2?. ? ?

π ?π 5π? ∴α+3∈?2, 6 ?.
? ?

π? ? ? 3 ? ∴cos?α+3?∈?- ,0?. 2 ? ? ? ? ∴|BC|2 的取值范围是(2,2+ 3).

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