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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量的数量积与平面向量应用举例

时间:2014-01-30


A

平面向量的数量积与平面向量应用举例
(时间:35 分钟 分值:80 分)

基础热身 → → 1.[2013· 大连模拟] 在△ABC 中,AB=3,AC=2,BC= 10,则AB·AC=( ) 3 2 A.- B.- 2 3 2 3 C. D. 3 2 a· a? 2.[2013· 大连模拟] 若向量 a 与 b 不共线,

a· b≠0,且 c=a-? a · b ? ?b,则向量 a 与 c 的夹 角为( ) π A.0 B. 6 π π C. D. 3 2 3.[2013· 锦州模拟] 已知直线 ax+by+c=0 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,且|AB| → → = 3,则OA·OB=( ) 1 1 1 1 A. B.- C. D.- 2 2 4 4 4.已知向量 a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量 a,b 的夹角为( ) π π π π A. B. C. D. 6 4 3 2

能力提升 → → → 5.[2013· 郑州检测] 设 A1,A2,A3,A4 是平面上给定的 4 个不同点,则使MA1+MA2+MA3 → +MA4=0 成立的点 M 的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 6.[2013· 石家庄模拟] 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b=0,(a-c)· (b-c)≤0,则|a+b -c|的最大值为( ) A. 2-1 B.1 C. 2 D.2 7.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 θ,则下列命题不正确的是( ) A.e1 在 e2 方向上的射影为 cosθ 2 B.e2 1=e2 C.(e1+e2)⊥(e1-e2) D.e1·e2=1 8.[2013· 大连模拟] 设向量 a 与 b 的夹角为 θ,定义 a 与 b 的“向量积”:a×b 是一个向 量,它的模|a×b|=|a|· |b|· sinθ ,若 a=(- 3,-1),b=(1, 3),则|a×b|=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 π 9.已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则 b1·b2 3 =________. 10. [2013· 烟台质检] 在平面直角坐标系 xOy 中, i, j 分别是与 x 轴, y 轴平行的单位向量, → → 若直角三角形 ABC 中,AB=i+j,AC=2i+mj,则实数 m=________.

→ 1→ 2→ → → 11.若等边三角形 ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满足CM= CB+ CA,则MA·MB 6 3 =________. 12.(13 分)[2013· 吉林模拟] 已知 m,x∈R,向量 a=(x,-m),b=((m+1)x,x). (1)当 m>0 时,若|a|<|b|,求 x 的取值范围; (2)若 a· b>1-m 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围.

难点突破 π 3x 3x x x 13.(12 分)已知向量 a=cos ,sin ,b=cos ,-sin ,且 x∈?0, ?. 2 2 2 2 2? ? (1)求 a· b 及|a+b|的值; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ|a+b|的最小值是- ,求 λ 的值. 2

B

平面向量的数量积与平面向量应用举例

(时间:35 分钟 分值:80 分) 基础热身 1.[2013· 辽宁卷] 已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b 2.对于向量 a,b,c 和实数 λ,下列命题中为真命题的是( ) A.若 a· b=0,则 a=0 或 b=0 B.若 λa=0,则 λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a· b=a· c,则 b=c → → 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,则AB·AC等于( ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 → → → → →, 4. [2013· 沈阳模拟] 如图 K27-1, 在△ABC 中, AD⊥AB, BC= 3 BD |AD|=1, 则AC· AD =( )

图 K27-1 A.2 3 3 B. 2 3 C. 3 D. 3

能力提升 5.[2013· 郑州模拟] 如图 K27-2,设 E,F 分别是 Rt△ABC 的斜边 BC 上的两个三等分 → → 点,已知 AB=3,AC=6,则AE·AF=( )

图 K27-2 A.8 B.10 C.11 D.12 → → → 6.已知点 A,B,C 在圆 x2+y2=1 上,满足 2OA+AB+AC=0(其中 O 为坐标原点),又 → → → → |AB|=|OA|,则向量BA在向量BC方向上的投影为( ) 1 1 A.1 B.-1 C. D.- 2 2 7.[2013· 吉林模拟] 在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,设向量 m=(b -c,c-a),n=(b,c+a),若 m⊥n,则角 A 的大小为( ) 2π π π π A. B. C. D. 3 3 2 4

→ → 8.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA·AF=-4, 则点 A 的坐标是( ) A.(2,± 2) B.(1,± 2) C.(1,2) D.(2,2 2) 9.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. 10.[2013· 郑州检测] 若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β |≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行 1 四边形的面积为 ,则 α 与 β 的夹角 θ 的取值范围是________. 2 → → 11.[2013· 北京卷] 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE·CB的 → → 值为________,DE·DC的最大值为________. → 12.(13 分)在?ABCD 中,A(1,1),AB=(6,0),点 M 是线段 AB 的中点,线段 CM 与 BD 交于点 P. → (1)若AD=(3,5),求点 C 的坐标; → → (2)当|AB|=|AD|时,求点 P 的轨迹.

难点突破 13. (12 分)[2013· 石家庄模拟] 已知 a=(cosx+sinx,sinx),b=(cosx-sinx,2cosx). (1)求证:向量 a 与向量 b 不可能平行; (2)若 a· b=1,且 x∈[-π ,0],求 x 的值.

A 【基础热身】 →2 →2 →2 → → → → → → |AB| +|AC| -|BC| 3 [解析] AB·AC=|AB||AC|cos∠BAC=|AB||AC|· = . 2 → → 2|AB||AC| a? ? ?a-? a· 2.D [解析] ∵a· c=a· ? ?a·b?b? a2 =a· a-?a·b?a·b=a2-a2=0, ? ? π 又 a≠0,c≠0,∴a⊥c,∴〈a,c〉= ,故选 D. 2 3.B [解析] 设 AB 中点为 P, 1.D

3 . 2 π 又|OA|=1,∴∠AOP= , 3 2π ∴∠AOB= , 3 2π 1 → → → → ∴OA·OB=|OA||OB|cos =- . 3 2 4.B [解析] 由 a=(1,1),2a+b=(4,2), 得 b=(4,2)-2(1,1)=(2,0). 设向量 a,b 的夹角为 θ, a·b π 2 2 则 cosθ = = = ,∴θ= . |a||b| 2 2 2 4 【能力提升】 ∵|AB|= 3,∴|AP|= → → → → → → 5.B [解析] 设 A1A2 中点为 P,A3A4 中点为 Q,则MA1+MA2=2MP,MA3+MA4=2MQ, → → → → ∴2MP+2MQ=0,即MP=-MQ,∴M 为 PQ 中点, 所以有且只有一个点适合条件. 6.B [解析] |a+b-c|= (a+b-c)2= a2+b2+c2+2a· b-2a· c-2b· c,由于 a· b=0, 2 所以上式= 3-2c· (a+b),又由于(a-c)· (b-c)≤0,得(a+b)· c≥c =1,所以|a+b-c|= 3-2c· (a+b)≤1,故选 B. 7.D [解析] ∵|e1|=1,|e2|=1, 〈e1,e2〉=θ, ∴e1 在 e2 方向上的射影数量为|e1|cosθ =cosθ , ∴A 正确; 2 又 e2 1=e2=1,∴B 正确; 2 ∵(e1+e2)· (e1-e2)=e2 1-e2=0, ∴(e1+e2)⊥(e1-e2),∴C 正确; ∵e1·e2=|e1||e2|cosθ =cosθ ,∴D 不成立. 8.B [解析] ∵|a|=|b|=2,a· b=-2 3,

-2 3 3 ∴cosθ = =- . 2 2×2 1 1 又 θ∈[0,π ],∴sinθ = .∴|a×b|=2×2× =2. 2 2 π 9.-6 [解析] ∵〈e1,e2〉= ,|e1|=1,|e2|=1, 3 ∴b1·b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2) π =3|e1|2-2e1·e2-8|e1|2=3-2cos -8=-6. 3 10.0 或-2 [解析] ∵△ABC 为直角三角形, → → ∴当 A 为直角时,AB·AC=(i+j)· (2i+mj)=2+m=0?m=-2; → → → → → 当 B 为直角时,AB·BC=AB·(AC-AB)=(i+j)· [i+(m-1)j]=1+m-1=0?m=0; → → → → → 当 C 为直角时,AC·BC=AC·(AC-AB)=(2i+mj)· [i+(m-1)j]=2+m2-m=0,此方程 无解. ∴实数 m=0 或-2. 11.-2 [解析] 以 AB 所在的直线为 x 轴,AB 的垂直平分线为 y 轴,建立如图所示的平 面直角坐标系,则 A,B,C 三点的坐标分别为 A(- 3,0),B( 3,0),C(0,3).设 M 点的 → → → 坐标为(x,y),则CM=(x,y-3),CB=( 3,-3),CA=(- 3,-3). 3 5 → 1→ 2→ 又CM= CB+ CA,即(x,y-3)=?- ,- ?, 6 3 2? ? 2 3 1 → → 可得 M?- , ?,所以MA·MB=-2. ? 2 2?

12.解:(1)|a|2=x2+m2,|b|2=(m+1)2x2+x2, 因为|a|<|b|,所以|a|2<|b|2. 从而 x2+m2<(m+1)2x2+x2. m 2 因为 m>0,所以?m+1? <x2, ? ? m m 解得 x<- 或 x> . m+1 m+1 (2)a· b=(m+1)x2-mx. 由题意,得(m+1)x2-mx>1-m 对任意的实数 x 恒成立, 即(m+1)x2-mx+m-1>0 对任意的实数 x 恒成立. 当 m+1=0,即 m=-1 时,显然不成立, ?m+1>0, ? 从而? 2 ? ?m -4(m+1)(m-1)<0. m>-1, ? ? 2 3 解得? 2 3 2 3 所以 m> 3 . ?m> 3 或m<- 3 , ? 【难点突破】 3x x 3x x 13.解:(1)a· b=cos ·cos -sin ·sin =cos2x. 2 2 2 2 3x x 2 3x x 2 cos +cos ? +?sin -sin ? |a+b|= ? 2? ? 2 2? ? 2 = 2+2cos2x=2 cos2x.

π ∵x∈?0, ?,∴cosx≥0, 2? ? ∴|a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4λcosx,即 f(x)=2(cosx-λ)2-1-2λ2. π ∵x∈?0, ?,∴0≤cosx≤1. 2? ? ①当 λ<0 时,当且仅当 cosx=0 时, f(x)取得最小值-1,这与已知矛盾; ②当 0≤λ≤1 时,当且仅当 cosx=λ 时, 3 f(x)取得最小值-1-2λ2,由已知-1-2λ2=- , 2 1 解得 λ= ; 2 3 ③当 λ>1 时,当且仅当 cosx=1 时,f(x)取得最小值 1-4λ,由已知得 1-4λ=- , 2 5 解得 λ= ,这与 λ>1 相矛盾. 8 1 综上所述,λ= 即为所求. 2 B 【基础热身】 1.B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解, 向量的模平方就等于向量的平方. 因为|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a· b=0,所以 a⊥b,答案选 B. 2.B [解析] a· b=0?a⊥b,故 A 错;a2=b2?|a|=|b|,得不出 a=± b,不要与实数 x,y 满足|x|=|y|?x=± y 混淆,故 C 错;a·b=a· c?a· (b-c)=0,同 A 知 D 错,故选 B. → → → → → → → →2 3.D [解析] 因为∠C=90°,所以AC·CB=0,所以AB·AC=(AC+CB)· AC=|AC| + → → →2 AC·CB=AC =16. → → → → → 4.D [解析] ∵AC=AB+BC=AB+ 3 BD, → → → → → → → → → ∴AC·AD=(AB+ 3 BD)·AD=AB·AD+ 3 BD·AD. → → 又∵AB⊥AD,∴AB·AD=0, → → → → → → ∴AC·AD= 3 BD·AD= 3|BD||AD|cos∠ADB → → = 3|BD|cos∠ADB= 3|AD|= 3. 【能力提升】 → → → → → → → 1→ → 1→ 5.B [解析] AE·AF=(AB+BE)· (AC+CF)=AB+ BC·AC- BC 3 3 → → 1 → 2 1→ → → =AB·AC- |BC| + BC·(AC-AB) 9 3 2→2 2 2 = |BC| = (6 +32)=10. 9 9 → → → → → → → → → → → 6.C [解析] 由 2OA+AB+AC=(OA+AB)+(OA+AC)=OB+OC=0 得,OB=-OC, 即 O,B,C 三点共线. π 1 → → → → → 又|AB|=|OA|=1,故向量BA在向量BC方向上的投影为|BA|cos = . 3 2 7.B [解析] m· n=b(b-c)+c2-a2 =c2+b2-a2-bc=0,

b2+c2-a2 1 π ∴cosA= = .∵0<A<π ,∴A= . 2bc 2 3 2 y 0 ? 8.B [解析] 由题意 F(1,0),设 A? ? 4 ,y0?, 2 2 → ?y0 → ? y0 ? 则OA=? 4 ,y0?,AF=?1- 4 ,-y0? ?. → → ∵OA·AF=-4, 2 y2 y0 0 1- ?-y2 ∴ ? 4 ? 0=-4, 4? 解得 y0=2 或 y0=-2. 2 y0 ∴当 y0=2 时,x0= =1; 4 2 y0 当 y0=-2 时,x0= =1. 4 故 A(1,± 2),故选 B. 9.1 [解析] 由 a+b 与 ka-b 垂直知(a+b)· (ka-b)=0,即 ka2-a· b+ka· b-b2=0,又由 |a|=|b|=1 知(k-1)(a· b+1)=0.若 a· b=-1,则 a 与 b 夹角 180°,与 a,b 不共线矛盾,∴k -1=0,∴k=1. π 5π 1 10.? , ? [解析] 平行四边形面积 S=|α||β|sinθ = , 2 6 6 ? ? π 5π 1 ∵|α |=1,|β|≤1,∴sinθ ≥ .又 θ∈(0,π ),∴θ∈? , ?. 2 6 ? ?6 11.1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积,平面向量的投影等基础知识. → → → → → → → → 方法一:投影法:设向量DE,DA的夹角为 θ,则DE·CB=DE·DA=|DE|·|DA|cosθ , → → → → → → → 由图可知, |DE|cosθ =|DA|, 所以原式等于|DA|2=1, 要使DE· DC最大只要使向量DE在向量DC → → → → → 上的投影达到最大即可,因为DE在向量DC上的投影达到最大为|DC|=1,所以(DE·DC)max= → |DC|2=1.

→ → → → → → → → → → → → → 方法二:因为DE=DA+AE且DA⊥AE,所以DE·CB=(DA+AE)· DA=|DA|2=1,DE·DC → → → → → → → → → → → =(DA+AE)· AB=AB·AE=|AB||AE|=|AE|,所以要使DE·DC最大,只要|AE|最大即可,明显 → → → 随着 E 点在 AB 边上移动|AE|max=1,故(DE·DC)max=1. → → 方法三:以 D 为坐标原点,DC与DA所在直线分别为 x,y 轴, 建立平面直角坐标系, 如图所示,可知 E(x,1),0≤x≤1, → → → → 所以DE=(x,1),CB=(0,1),可得DE·CB=x×0+1×1=1. → → → → → 因为DC=(1,0),所以DE·DC=x,因为 1≥x≥0,所以(DE·DC)max=1.

12.解:(1)设点 C 的坐标为(x0,y0), → → → 又AC=AD+AB=(3,5)+(6,0)=(9,5), 即(x0-1,y0-1)=(9,5), ∴x0=10,y0=6,即点 C(10,6). (2)设 P(x,y), → → → 则BP=AP-AB=(x-1,y-1)-(6,0) =(x-7,y-1), → → → 1→ → AC=AM+MC= AB+3MP 2 1→ → 1→ = AB+3(AP- AB) 2 2 → → =3AP-AB =(3(x-1),3(y-1))-(6,0) =(3x-9,3y-3). → → ∵|AB|=|AD|,∴平行四边形 ABCD 为菱形, → → ∴BP⊥AC, ∴(x-7,y-1)· (3x-9,3y-3)=0, 即(x-7)(3x-9)+(y-1)(3y-3)=0. ∴x2+y2-10x-2y+22=0(y≠1). 故点 P 的轨迹是以(5,1)为圆心,2 为半径的圆且去掉与直线 y=1 的两个交点. 【难点突破】 13.解:(1)证明:假设 a∥b, 则 2cosx(cosx+sinx)=sinx(cosx-sinx), 即 2cos2x+2sinxcosx=sinxcosx-sin2x,1+sinxcosx+cos2x=0, 1+cos2x π π 1 3 2 1+ sin2x+ =0,即 2sin?2x+ ?=-3?sin?2x+ ?=- . 2 2 2 4? 4? ? ? π 3 2 而 sin?2x+ ?∈[-1,1],- <-1,矛盾.故假设不成立,向量 a 与向量 b 不平行. 2 4 ? ? (2)a· b = (cosx + sinx)(cosx - sinx) + 2sinxcosx = cos2x - sin2x + sin2x = cos2x + sin2x = 2 π sin?2x+ ?, 4? ? π 2 a·b=1?sin?2x+ ?= . 4? 2 ? π 7π π 又 x∈[-π ,0]?2x+ ∈?- , ?, 4 ? 4 4? π 7π π 5π π π ∴2x+ =- 或 2x+ =- 或 2x+ = , 4 4 4 4 4 4 3π ∴x=-π ,- 或 0. 4


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