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2009-2010学年度高三第一轮复习精品训练题数学(三)(函数2)


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2009- 学年度高三第一轮复习精品训练题数学( )(函数 2009-2010 学年度高三第一轮复习精品训练题数学(三)(函数 2)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要

求的。 1.设 f ( x ) , g ( x ) 是定义在 R 上的函数, h( x ) = f ( x ) + g ( x ) ,则“ f ( x ) , g ( x ) 均为偶函数” 是“ h( x ) 为偶函数”的 A.充要条件 C.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 D.既不充分也不必要的条件

2 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x > 0 时, f ( x) = 2 x ? 3 ,则 f (?2) = A. 1 B.

1 4

C. ?1

D. ?

11 4

3.如果 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,它在 [0,+∞) 上是减函数,那么下述式子中正确的是 A. f ( ? ) ≤ f ( a ? a + 1)

3 2 4 3 2 C. f ( ? ) = f (a ? a + 1) 4

B. f ( ? ) ≥ f ( a ? a + 1)
2

3 4

D.以上关系均不确定

4.函数 f ( x ) 、 f ( x + 2) 均为偶函数,且当 x∈[0,2]时, f ( x ) 是减函数,设

1 a = f (log 8 ), b = f (7.5) , c = f (?5) ,则 a、b、c 的大小是 2 A. a > b > c B. a > c > b C. b > a > c

D. c > a > b )

5.已知函数 f ( x ) 为 R 上的减函数,则满足 f ? ? < f (1) 的实数 x 的取值范围是( ?x? ? ? A. (? 1,1) B. (0,1) C. (? 1,0 ) ∪ (0,1) D. (? ∞,?1) ∪ (1,+∞ )
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

?1?

6.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和值域相同的函数是 A. y =

e x + e? x 2

B. y = lg

1? x 1+ x

C. y = x3

D. y = x

7.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 在区间 (8,+∞ ) 上为减函数,且函数 y = f ( x + 8) 为偶函数,则 A. f (6 ) > f (7 ) B. f (6 ) > f (9 ) C. f (7 ) > f (9 ) D. f (7 ) > f (10 )

8. f ( x) 是奇函数, 设 对任意的实数 x、 有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ), 且当x > 0时, f ( x) < 0, 则 y,

f ( x) 在区间[a,b]上

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A.有最小值 f ( a )

B.有最大值 f ( a )

C. 有最大值f (

a+b ) 2

D. 有最小值f (

a+b ) 2

9.函数 f ( x ) = x cos x + 1, x ∈ ( ?5,5) 的最大值为 M ,最小值为 m ,则 M + m 等于

A.0

B.1

C.2

D.4
2

10.对于函数① f ( x ) = lg x ? 2 + 1 ,② f ( x ) = ( x ? 2 ) ,③ f ( x ) = cos( x + 2 ) .判断如下三个 命题乙:f ( x )在区间(? ∞,2 ) 上是减函数, 在区间 (2,+∞ ) 命题的真假: 命题甲:f ( x + 2 ) 是偶函数; 上是增函数;命题丙: f ( x + 2 ) ? f ( x ) 在 (? ∞,+∞ ) 上是增函数.能使命题甲、乙、丙均为真的所 有函数的序号是 A. ② B. ③ C. ①② D. ①③ 11.在 R 上定义的函数 f ( x ) 是偶函数,且 f ( x ) = f (2 ? x ) ,若 f ( x ) 在区间 [1,2] 是减函数,则 函数 f ( x ) A.在区间 [? 2,?1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是增函数 B.在区间 [? 2,?1] 上是增函数,区间 [3,4] 上是减函数 C.在区间 [? 2,?1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是增函数 D.在区间 [? 2,?1] 上是减函数,区间 [3,4] 上是减函数 12. 设定义在 R 上的函数 f (x ) 的反函数为 f 则 f ?1 ( x ? 1) + f ?1 ( 4 ? x) 等于 A.0 题 号 答 案 二、填空题:本大题共 4 小题;每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中的横线上。 13.若函数 f (x) = 4x3-ax+3 的单调递减区间是 ( ? B.-2 C.2 D. 2 x ? 4
?1

(

)

( x) , 且对于任意的 x ∈ R , 都有 f ( ? x) + f ( x) = 3 ,

1 1 , ) ,则实数 a 的值为 2 2

.

?2 x, ? 14.设函数 f ( x ) = ? 2 x ? x + 3, ?

x < 2, x ≥ 2.

若 f ( x0 ) > 1 ,则 x0 的取值范围是

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15.已知函数 f ( x ) =

ax + b 2 的值域是[-1,4 ],则 a b 的值是 2 x +1



16.设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 ? ,1÷上单调递增,且满足 f (- x ) = f ( x - 1) ,给 ? ÷ 出下列结论:① f (1) = 0 ;②函数 f ( x ) 的周期是 2;③函数 f ( x ) 在 ?? 数 f ( x + 1) 是奇函数. 其中正确的命题的序号是 .

骣 1 ?2 ÷ 桫

骣1 ÷ , 0÷上单调递增;④函 ? 2 ÷ 桫

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 17.已知函数 f ( x ) = x +
2

a ( x ≠ 0, a ∈ R ) x

(1)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (2)若 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数,求实数 a 的取值范围。 18.已知奇函数 f ( x ) = x + ax + bx + c 是定义 [ ?1,1] 在上的增函数
3 2

(1)求 b 的取值范围; (2)若 b ? tb + 1 ≥ f ( x ) 对 x ∈ [ ?1,1] 恒成立,求实数 t 的取值范围。
2

19.设函数 f(x)=

c2 , 其中 a 为实数. x 2 + ax + a

(1)若 f(x)的定义域为 R,求 a 的取值范围; (2)当 f(x)的定义域为 R 时,求 f(x)的单减区间. 20.已知 a ∈ R ,函数 f ( x ) =

1 3 a +1 2 x + x + ( 4a + 1) x . 12 2

(1)如果函数 g ( x ) = f ′( x ) 是偶函数,求 f ( x ) 的极大值和极小值; (2)如果函数 f ( x ) 是 ( ?∞,

+ ∞) 上的单调函数,求 a 的取值范围.
a (a > 0) , 且当 x ∈ [?3,?1] 时, ≤ f ( x ) ≤ m n x

21. 已知 y = f ( x ) 是偶函数, x > 0 时,f ( x ) = x + 当 恒成立, (理科生做)求 m ? n 的最小值. (文科生做)若 a≥9,求 m ? n 的最小值.

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22..已知函数 f ( x ) = 2ax ?

1 , x ∈ (0,1], x2

(1)若 f ( x)在x(0,1] 是增函数,求 a 的取值范围; (2)求 f ( x)在区间(0,1] 上的最大值.

2009-2010 学年度高三第一轮复习精品训练题

数学(三)(函数 2)参考答案
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 13.3; . 三、解答题
2 17. 17.解:(1)当 a = 0 时, f ( x ) = x 为偶函数;当 a ≠ 0 时, f ( x ) 既不是奇函数也不是偶

1

2

3

4

5

6

7

8

9 0

1 1 A

1 2 B

1

B

C

B

A

C

C

D

B

C

A

14. (0, 2) ∪ (3, +∞ ) ; .

15.48; .

16. ①②④ .

函数. (2)设 x 2 > x1 ≥ 2 , f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = x1 +
2

a a 2 ? x2 ? x1 x2

=

x1 ? x 2 [x1 x2 (x1 + x2 ) ? a] , x1 x 2

由 x 2 > x1 ≥ 2 得 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) > 16 , x1 ? x 2 < 0, x1 x 2 > 0 要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数只需 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) < 0 , 即 x1 x 2 ( x1 + x 2 ) ? a > 0 恒成立,则 a ≤ 16 。 另解 (导数法) f ' ( x ) = 2 x ? : 恒成立,即 2 x ?

a , 要使 f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数, 只需当 x ≥ 2 时,f ' ( x ) ≥ 0 x2

a ≥ 0 ,则 a ≤ 2 x 3 ∈ [16,+∞ ) 恒成立, 2 x

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故当 a ≤ 16 时, f ( x ) 在区间 [2,+∞ ) 是增函数。 18. 解:(1) f ( x ) = x + ax + bx + c 是奇函数,所以, a = c = 0
3 2

∴ f ( x ) = x + bx, f
3 3

'

( x ) = 3x 2 + b.
'

又 f ( x ) = x + bx 在 [ ?1,1] 上是增函数,所以, f ∴b ≥ 0 。

( x ) = 3x 2 + b 在 ( ?1,1) 上横为正值,
3

(2)要使 b ? tb + 1 ≥ f ( x ) 对 x ∈ [ ?1,1] 恒成立,由于 f ( x ) = x + bx 在 [ ?1,1] 上是增函数,
2 2 2 f ( x ) = x 3 + bx 在 [ ?1,1] 上的最大值为 1 + b , 所以, 只需 b ? tb + 1 ≥ 1 + b, 即b ? ( t + 1) b ≥ 0 ,

对任意 b ≥ 0 恒成立,因此只要 t + 1 ≤ 0即t ≤ ?1. 19.解:(1) f ( x ) 的定义域为 R ,∴ x + ax + a ≠ 0 恒成立,∴? = a ? 4a < 0 , .
2 2

∴ 0 < a < 4 ,即当 0 < a < 4 时 f ( x) 的定义域为 R .
(2) f ′( x) =

x( x + a ? 2)e x ,令 f ′( x ) ≤ 0 ,得 x ( x + a ? 2) ≤ 0 . ( x 2 + ax + a) 2

由 f ′( x ) = 0 ,得 x = 0 或 x = 2 ? a ,又∵ 0 < a < 4 ,

∴ 0 < a < 2 时,由 f ′( x) < 0 得 0 < x < 2 ? a ;
当 a = 2 时, f ′( x ) ≥ 0 ;当 2 < a < 4 时,由 f ′( x ) < 0 得 2 ? a < x < 0 , 即当 0 < a < 2 时, f ( x ) 的单调减区间为 (0,? a ) ; 2 当 2 < a < 4 时, f ( x ) 的单调减区间为 (2 ? a, . 0) 20. 20.解:解: f ′( x ) =

1 2 x + (a + 1) x + (4a + 1) . 4

(Ⅰ)∵ f ′( x ) 是偶函数,∴ a = ?1 . 此时 f ( x ) =

1 3 1 x ? 3 x , f ′( x) = x 2 ? 3 , 12 4

令 f ′( x ) = 0 ,解得: x = ±2 3 . 列表如下:

x

(-∞,-2 3 )

-2 3

(-

2 3

(2 3 ,+∞)

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2 3 ,2 3 )

f ′(x) f (x)

+ 递增

0 极大值

- 递减

0 极小值

+ 递增

可知: f ( x ) 的极大值为 f ( ?2 3 ) = 4 3 ,

f ( x) 的极小值为 f (2 3 ) = ?4 3 . 分
(Ⅱ)∵ f ′( x ) =

1 2 x + (a + 1) x + (4a + 1) , 4 1 2 2 令 ? = ( a + 1) ? 4 ? ? (4a + 1) = a ? 2a ≤ 0, 4
解得: 0 ≤ a ≤ 2 .

这时 f ′( x ) ≥ 0 恒成立, ∴ 函数 y = f (x ) 在 ( ?∞,

+ ∞ ) 上为单调递增函数.

综上, a 的取值范围是 {a 0 ≤ a ≤ 2} . 21.解:因为 f ( x ) 是偶函数,且 x>0, f ( x) = x + .
a , x
a x

所以 x<0 时, ?x > 0 , f ( x) = f (? x) = ? x ?

因为 f ( x ) 在 (?∞,? a ) 单调递减,在 (? a ,0) 单调递增 因为 x ∈ [ ?3, ?1] ,所以 y = ? x ? 而 x = ?3 时, y = 3 +

a ≥ 2 a ,当且仅当 x = ? a 时取等号. x

a ; x = ?1 时, y = 1 + a 3 a 2 , n = 1+ a , m ? n = ? a + 2 3 3 a ,最小值为 2 a 3

1° 若 0 < a < 1 , m = 3 +

2° 若 1 ≤ a < 3 ,所以 f ( x ) 在 [?3,?1] 上最大值为 3 +
所以 m = f ( ?3) = 3 +

a a , n = 2 a ,所以 m ? n = 3 ? 2 a + 3 3

3° 若 3 ≤ a < 9 , m = 1 + a , n = 2 a ,则 m ? n = 1 + a ? 2 a 4° 若 a ≥ 9 , m = f (?1) = 1 + a , n = f (?3) = 3 +

2a a ,m ? n = ?2 3 3

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? 2 ? ? 3 a + 2, 0 < a < 1 ? ?3 + a ? 2 a ,1 ≤ a < 3 ? 3 所以 m ? n = ? ?1 + a ? 2 a ,3 ≤ a < 9 ? 2 ? a ? 2, a ≥ 9 ? 3 ?
(m ? n) min = 4 ? 2 3 (当 a=3 时取最小值)

(文科生做)参考上面解答可知:若 a ≥ 9 , m = f (?1) = 1 + a , n = f (?3) = 3 +

a , 3

m?n =

2a 2 ? 2 ≥ × 9 ? 2 = 4 , (m ? n)min = 4 (当 a=9 时取最小值) 3 3

22.解:(1) f ′( x) = 2a +

2 ,∴ 命题等价于f ′( x) > 0对x ∈ (0,1]恒成立, 即 x3

1 1 , 而g ( x) = ? 3 在x ∈ (0,1]为增函数, 3 x x ∴ a > [ g ( x)]max = g (1) = ?1, a>? 2(1 ? x 3 ) ,∴当x ∈ (0,1)时, f ′( x) > 0, x3 ∴ f ( x)在(0,1]也是增函数; ∴ 而当a = ?1时, f ′( x) =
综上,a 的取值范围是 a ≥ ?1. (2)① 当a ≥ ?1时,∵ f ( x )在(0,1]为增函数,∴ [ f ( x )] max = f (1) = 2a ? 1; ②当 a < ?1时, 令f ′( x ) = 2a +

2 1 1 = 0得x = ? 3 < 1,∴ ? 3 ∈ (0,1], 3 x a a

且f ′( x)的值在x = ? 3

1 a

处左正右负, 1 a ) = ?33 a 2 .

∴当a < ?1时, [ f ( x)]max = f (? 3
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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