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高一数学课件:5.9 正弦定理、余弦定理2


高中数学第一册(下) 第五章第九节第一课时
教学目标:
(一)知识目标:正弦定理 (二)能力目标:1.了解向量知识的应用 2.掌握正弦定理的推导过程;

3.利用正弦定理证明简单三角形;
4.利用正弦定理求解些三角形边角问题.

(三)德育目标:
通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识 间的联

系,体现事物之间的普遍联系与辩证统一. 教学重点: 正弦定理的证明和应用正弦定理的证明和应用 教学难点: 1.向量知识在证明正弦定理时的应用; 2.正弦定理在解三角形式的应用思路.

5.9 正弦定理、余弦定理
回忆一下直角三角形的边角关系?
a ?b ? c
2 2 2

A c a b C

a ? tan A b

A ? B ? 90?

B a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗?

a b ? ?c sin A sin B
sin C ? 1

a b c ? ? sin A sin B sin C

即正弦定理,定理对任意三角形均成立

利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系?

? 向量的数量积 a ? b ?| a || b | cos? , 为向量a 与b 的夹角.
如何构造向量及等式? 在锐角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 90? ? A , j 与 CB j ? 的夹角为 90 ? C . 等式 AC ? CB ? AB A j ? ( AC ? CB ) ? j ? AB B

C

?  AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C ) ? j AB cos(90? ? A) j
a c ?  a sin C ? c sin A 即 sin A ? sin C b c 同理,过C作单位向量j 垂直于CB ,可得 sin B ? sin C

a b c ?    ? ? sin A sin B sin C

在钝角三角形中,怎样将三角形的边用向量表示?怎样引 入单位向量?怎样取数量积? 在钝角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 A ? 90? ,j 与 CB 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB . B a b c   同样可证得: A ? sin B ? sin C sin j A C

正弦定理

在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比

相等,即
a b c   ? ? sin A sin B sin C

正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两 边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角.

例题讲解 例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30? ,求b(保 留两个有效数字). b c ? 解:∵ 且 B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? sin B sin C
c ? sin B 10 ? sin 105? ?  b ? ? ? 19 sin C sin 30?

例题讲解 例2 在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 4 2 , B ? 45?,求 A .
a b ? 解:由 sin A sin B
a sin B 1 ? 得 sin A ? b 2

∵ ∴

在 ?ABC 中 a ? b A 为锐角

?  A ? 30?

例题讲解
? 例3 在 ?ABC 中, B ? 45?, ?C ? 60?, a ? 2( 3 ? 1) ,求

?ABC 的面积S.
解: ? ?A ? 180? ? ( B ? C ) ? 75?
a sin B ? ∴由正弦定理得 b ? sin A 2( 3 ? 1)( 6? 2 4 2 ) 2 ?4

1 1 3 ? S ?ABC ? ab sin C ? ? 2( 3 ? 1) ? 4 ? ( ) ? 6 ? 2 3 2 2 2

练习: (1)在 ?ABC 中,一定成立的等式是( C )
A. a sin A ? b sin B C . a sin B ? b sin A B . a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

(2)在?ABC 中,若

a A cos 2

?

b B cos 2

?

c C cos 2

,则 ?ABC是( D )

A.等腰三角形
C.直角三角形

B.等腰直角三角形
D.等边三有形

练习: (3)在任一 ?ABC 中,求证: a(sin B ? sin C ) ? b(sin C ? sin A) ? c(sin A ? sin B) ? 0

证明:由于正弦定理:令 a ? k sin A, B ? k sin B, c ? k sin C
代入左边得:

左边= k (sin A sin B ? sin A sin C ? sin B sin C ? sin B sin A ? sin C sin A ? sin C sin B)
∴ 等式成立.

课时小结:
(1)通过本节学习,我们研究了正弦定理的证明 方法,同时了解了向量工具的作用. (2)明确了利用正弦定理解决两类有关三角形问题. (3)已知两边和其中一边所对的角;两角一边.

课后作业:
(一)课本习题 5.9 2、3、4 (二)预习课本第129—131页余弦定理

课后反思:
本节学习旨在掌握正弦定理、定理的推导和应用,通 过对例题的学习,能掌握用正弦定理解决两类问题.

感谢领导和同行们的观赏


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