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中国计量大学08-09-2高数A(2)试卷B

时间:2017-10-08


08-09a2 b 一、选择题(每小题 3 分,共 15 分)

1、下列级数条件收敛的是( (A)


?

? (?1) n
n ?1

?

1 n

(B)

? (?1) n
n ?1

r />1 n2

(C)

? (?1) n
n ?1

?

? n 1 (D) ? (?1) n n ?1 n(n ? 1) n ?1

? y3 ( x, y ) ? (0, 0) ? 2、设 f ( x, y ) ? ? x 2 ? y 2 ,则 f y?(0,0) ? ( ?0 ( x, y ) ? (0, 0) ?
(A) 不存在
?



(B) 0

(C) 1 )

(D) 3

3、幂级数

x 2 n ?1 的收敛半径为( ? n n ?0 3
(B)

(A) 3

1 3
x 0

(C) 3

(D)

1 3


4、变换二次积分 (A) (C)

?
x

a 0

dx ? f ( x, y)dy 的积分次序后可化为(
(B) (D)

? ?
0

a 0

dy ? f ( x, y)dx
a 0

y

? ?
0

a 0

dy ? f ( x, y)dx
0 a y

y

a

dy ? f ( x, y)dx

a

dy ? f ( x, y)dx

5、微分方程 y?? ? y ? 0 的通解为: ( (A) y ? c1 sin x ? cos x (C) y ? c1e
1、一动点



(B) y ? c1 sin x ? c2 cos x (D) y ? c1e
x

x

? c2e? x

? e? x 二、填空题(每小题 3 分,共 15

( x, y, z ) 与两定点 (2,1, ?1) 和 (4, 0,1) 等距离,则该动点的轨迹方程为

2、极限 lim
x ?2 y ?0

sin((8 ? x) y) ? xy
2 2

3、设 D 是由 ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 2 所围成的闭区域,记 I1 ?

?? ( x ? y) dxdy ,
2 D

I 2 ? ?? ( x ? y)3 dxdy ,则 I1 与 I 2 的大小关系是 I1
D

I2

4、已知级数

?a
n ?1

?

n

? a ,则级数 ? (an ? an?1 ) ?
n ?1

?

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5、函数 z ? 2 x cos y 2 的全微分 dz ?
三、计算与解答题(8、9 小题各 7 分,其它小题各 6 分,共 56 分)

1、设 z ? x2 y ? 3x ? y3 ,求

? z ?z , ? x ?y

2、计算

?? xydxdy
D

,其中

D 是由 y 2 ? x , y ? x ? 2 ,所围成的闭区域

?2 z 3、设 z ? f ( x ? y, xy ) ,且 f 具有二阶连续偏导数,求 ?x ?y
4、求微分方程 y?? ? 4 y? ? 13 y ? 0 的通解 5、计算 x2 ydx ? xy 2 dy ,其中 L 是抛物线 y ? x2 上从点 A(?1,1) 到点 B(1,1) 的一段弧
L

?

6、求过点 (0, 2, 4) 且与两平面 x ? 2 z ? 1 和 y ? 3z ? 2 平行的直线方程 7、计算

??? ( x
?

2

? y 2 )dv ,其中 ? 是由曲面 z 2 ? x2 ? y 2 及平面 z ? 2 所围成的闭区域
n

8、求幂级数

? nx
n ?1

?

的收敛域,并求和函数

9、计算对面积的曲面积分

?? ( x
?

2

? y 2 )dS ,其中 ? 是锥面 z ? x 2 ? y 2 及平面 z ? 2

所围成的区域的整个边界曲面四、应用题(8 分)要制造一个容积为 a(a ? 0 常数 ) 的长 方体带盖的容器,问怎样取长方体的长、宽、高时,容器表面积的材料最省

五、证明题(6 分)设 L 是椭圆:

x2 y 2 ? ? 1 的正方向的边界 a 2 b2

光滑闭曲线,证明:

? ?x
L

x? y x? y dx ? 2 dy ? 2? 1、A 2、C 3、C 4、D 5、B 2 2 ?y x ? y2
2、3

1、2 x ? y ? 2 z ? 5.5(由两点距离相等或经化简可得该平面方程的答案都算正确) 3、 I1 ? I 2 4、 2a ? a1 5、 2 ln 2cos y dx ? 2
x 2 x ?1

y sin y 2dy

三、计算与解答题(8、9 小题各 7 分,其它小题各 6 分,共 56 分)

1. 解:因 z ? x y ? 3x ? y ,
2 3

?z ? 2 xy ? 3 , ?x

(+3 分)

?z ? x2 ? 3 y 2 ?y

(+3 分)

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2.解:

?? xydxdy ? ?
D

2

?1

dy ?

y?2 y2

xydx

(+3 分)

1 2 45 (( y ? 2) 2 ? y 4 ) ydy ? .(+3 分) ? 2 ?1 8 ?z ?f ?u ?f ?v ? ? ? fu ? f v y 3. 解:记 u ? x ? y, v ? xy ,则 ?x ?u ?x ?v ?x ?

(+3 分)

?2 z ? ? ( fu ? yf v ) ? fuu ? fuv x ? f v ? y( f vu ? f vv x) ?x?y ?y

? fuu ? xyfvv ? ( x ? y) fuv ? fv
2

(+3 分) (+3 分)

4. 解:方程的特征方程为: r ? 4r ? 13 ? 0 ,其特征根为 r 1,2 ? 2 ? 3i , 故方程的通解为: y ? (c1 cos3x ? c2 sin3x)e2 x 5.解: .(+3 分) (+3 分)

?x
L

2

ydx ? xy 2 dy ? ? x 2 x 2 dx ? xx 4 2 xdx
?1
1

1

? ? ( x 4 ? 2 x 6 )dx ?
?1

34 35

(+3 分)

6.解:解:因为所求直线与两平面都平行,因而平行于他们的交线,而交线的方向向量为

i

j k
(+3 分)

s ? n1 ? n2 ? 1 0 2 ? {?2,3,1} 0 1 ?3
故所求直线方程为

x y?2 z?4 ? ? ?2 3 1

.(+3 分) .(+3 分)

7.解:因 ? 的柱坐标方程是 0 ? ? ? 2? ,0 ? r ? 2, r ? z ? 2 , 因此有

??? ( x
?

2

3 3 ? y 2)dv ? ? d? ? r dr ? dz ? 2? ? (2 ? r )r dr ? 0 0 r 0

2?

2

2

2

16 ? 5

.(+3 分)

8 .因 ? ? lim
n ??

? an ?1 n ?1 ? lim ? 1,故收敛半径为 R ? 1 。当 x ? ?1 时级数分别为 ? n 与 n ?? n an n ?1

? (?1)
n ?1

?

n

n ,且都发散,故级数的收敛域为 x ? 1

.(+3 分)

当 x ? 1时设 s( x) ?

? nx
n ?1

?

n

,则有

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s( x) ? x? nx
n ?1

?

n ?1

? x(? x )? ? x(lim
n n ?1

?

x(1 ? x n ) x x )? ? x( )? ? n ?? 1? x 1? x (1 ? x) 2

(+4 分)

9.解:记 ?1 : z ? 2 , ? 2 : z ?

2 2 x 2 ? y 2 ,则在 ?1 上有 dS ? 1 ? z x ? zy dxdy ? dxdy ,且在

xoy 上的投影区域 D 为 x2 ? y 2 ? 4 , 在 ?2 上 dS ? 2dxdy , 且在 xoy 上的投影区域仍为 D ,
而且有 ? ? ?1 ? ?2 (+3 分) , 因此有

?? ( x
?

2

? y 2 )dS ? ?? ( x 2 ? y 2 )dS ? ?? ( x 2 ? y 2 )dS ? ?? ( x 2 ? y 2 )dxdy ? ?? ( x 2 ? y 2 ) 2dxdy
?1 ?2 D D

? ? d? ? r 3dr ? ? d? ?
0 0 0

2?

2

2?

2

0

2r 3dr ? 8? (1 ? 2) (+4 分)四、应用题(8 分)

解:设长方体箱子的长、宽、高分别为 x, y , z ,则长方体箱子的表面积为

s ? 2( xy ? yz ? zx) ,而 xyz ? a ,设 F ( x, y, z, ?) ? 2( xy ? yz ? zx) ? ?( xyz ?a )

(+4 分)

? Fx ? 2( y ? z ) ? ? yz ? 0 ? F ? 2( z ? x) ? ? zx ? 0 ? y 则? ,求解以上方程组得 x ? y ? z ? 3 a , F ? 2( x ? y ) ? ? xy ? 0 ? z ? F ? xyz ? a ? 0 ? ?
此时面积 s 最小, s ? 6 3 a2 平方单位 (+4 分)五、证明题(6 分) 证:记 P( x, y ) ?

x? y x? y ?Q( x, y) ?P( x, y) y 2 ? x 2 ? 2 xy , Q ( x , y ) ? ,则 ? ? x2 ? y 2 x2 ? y 2 ?x ?y ( x 2 ? y 2 )2

在椭圆内作包含原点 (0, 0) 的半径为 r 的小圆,其圆周曲线为 l ,方向取为顺时针方向,因此

L ? l 构成一个封闭的区域 D ,由格林公式得:

?? ( ?x ? ?y )dxdy ? ? ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy
D L ?l

?Q

?P

.(+3 分)



?Q( x, y ) ?P( x, y) ? ,所以得 ?x ?y

L ?l

) ? Q x( y, dy )? ? ? P( x ,y dx

0

由此得

? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? P( x, y )dx ? Q( x, y )dy ? ? ? ? P( x, y)dx ? Q( x, y)dy ? ? ?
L
l
?l

? ? (sin 2 ? ? cos2 ? )d? ? 2? ,即 ? ?
0
L

2?

x? y x? y dx ? 2 dy ? 2? 2 2 x ?y x ? y2

.(+3 分)

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