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高中数学必修1课件 指数函数及性质习题课


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1.一般地,函数 y=ax(a>0,且a≠1) 叫做指数函数,其中x 是 自变量 ,函数的定义域是 R 值域是 (0,+∞). 2.函数y=ax(a>0,且a≠1),当 a>1 时,在(-∞,+∞)上是增函 0<a<1 数;当 时,在(-∞,+∞)上是减函数. 3.y=ax(a>0,且a≠1)的图象一定过点 (0,1).

当a>1时,若x>0, >1 ∈(0,1) ;当0<a<1时,若x>0,则 则y ,若x<0,则y ∈(0,1) y ,若x<0,则y . >1 4.函数y=2x-2的图象可以看成指数函数y=2x的图象向 右 平 x?m y ? a (a>0 ,且a≠1,m>0)的图 移 2 个单位得到的;函数 象可以看成指数函数y=ax的图象向 右 平移个 m 单位得到 x?m 的;函数 y ? a (a>0,且a≠1,m>0)的图象可以看成指数函 数y=ax的图象向 左 平移个 m 单位得到的.

5.函数y=ax和y=a-x的图象关于 y轴 对称;函数y=ax 和 y=-ax的图象关于 y轴 对称;函数y=ax和y=-a-x的图象 关于 原点 对称. 6.当a>1时, af(x)>ag(x) af(x)>ag(x) ? f(x)<g(x).

?

f(x)>g(x) ;当0<a<1时,

7.若函数y=f(x)在区间D上是增(减)函数,则函数 y=af(x),当a>1时,在区间D上是 增(减) 函数;当0<a<1 时,在区间D上是 减(增)函数.

学点一 基本概念 指出下列函数中,哪些是指数函数: (1)y=4x;(2)y=x4;(3)y= -4x;(4)y=(-4)x; (5)y= ?
x;(6)y=4x2;(7)y=xx;(8)y=(2a-1)x(a> 1

2

,且a≠1.)

【分析】根据指数函数的定义进行判断.
【解析】由定义,形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫指数函数. 由此可以确定(1)(5)(8)是指数函数. (2)不是指数函数. (3)是-1与指数函数4x的积.

(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.

(6)是二次函数,不是指数函数.
(7)底数x不是常数,不是指数函数.

【评析】基本初等函数:一次函数、二次函数、指数函 数及后面将要学到的对数函数、幂函数,都有一定的 形式,要注意定义的要求.

已知指数函数y=(m2+m+1)· (

1 x ) ,则m= 5

0或-1 .

解:

1 ∵y=(m2+m+1)· ( )x为指数函数, 5
∴m2+m+1=1,即m2+m=0,

∴m=0或-1.

学点二 函数的定义域 值域 求下列函数的定义域、值域: (1)y=2
1 x? 4

2 ?x ;(2)y=( ) ; 3
2x ?. 1 x ?1

(3)y=4x+2x+1+1;(4)y=10

【分析】由于指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的定义域是R,
所以函数y=af(x)(a>0,且a≠1)与函数f(x)的定义域相同,利 用指数函数的单调性求值域.

【解析】(1)令x-4≠0,得x≠4. ∴定义域为{x|x∈R,且x≠4}. ∴ ∴y=2
1 x ? 4 ≠0,∴2
1 x ? 4

1 x ? 4

≠1,

的值域为{y|y>0,且y≠1}.
2 ?X ( ) = 3 3 X ( ) ≥ 2 3 0 ( )=1, 2

(2)定义域为x∈R.
∵|x|≥0,∴y= 2 故y= ( ) ? X 的值域为{y|y≥1}. 3 (3)定义域为R.

∵y=4x+2x+1+1=(2x)2+2·x+1=(2x+1)2,且2x>0,∴y>1. 2

故y=4x+2x+1+1的值域为{y|y>1}.

(4)令

2x ≥0,得 x ?1

x -1 ≥0,解得x<-1或x≥1. x ?1

故定义域为{x|x<-1或x≥1}. 值域为{y|y≥0,且y≠10}.

【评析】求与指数函数有关的函数的值域时,要充分 考虑并利用指数函数本身的要求,并利用好指数函数 的单调性.如第(1)小题切记不能漏掉y>0.

求下列函数的定义域: (1)y=2 (2)y=
1? x 1-x

;
-x 2

2

-

1 ; 2

(3)y=1-6

x ? x?2
2
.

(1)要使函数有意义,必须1-x≠0,即x≠1, ∴函数的定义域是{x|x∈R,且x≠1}. (2)要使函数有意义,必须 ∴-x2≥-1,即-1≤x≤1, ∴函数的定义域是{x|-1≤x≤1}.

2?

X 2

1 - 2 ≥0,则

2

?X

2

≥2-1,

(3)根据题意得1-6
即6
2 x ?x-2

2 x ?x-2

≥0,

≤1=60.

∵6>1,∴x2+x-2≤0. 解得-2≤x≤1. ∴函数的定义域是[-2,1].

学点三

比较大小

比较下列各题中两个数的大小:
(1)1.72.5,1.73;(2)0.8-0.1,0.8-0.2;(3)1.70.3,0.93.1.

【分析】将所给指数值化归到同一指数函数,利用 指数函数单调性比较大小;若不能化归为同一底数 时,或求范围或找一个中间值再比较大小.

【解析】(1)指数函数y=1.7x,由于底数1.7>1,∴指数 函数y=1.7x在(-∞,+∞)上是增函数. ∵2.5<3,∴1.72.5<1.73. (2)函数y=0.8x,由于0<0.8<1,

∴指数函数y=0.8x在(-∞,+∞)上为减函数.
∵-0.1>-0.2,∴0.8-0.1<0.8-0.2. (3)由指数函数的性质得1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1, ∴1.70.3>0.93.1. 【评析】比较大小一般用函数单调性,而比较1.70.3与 0.93.1的大小,可在两数间插入1,它们都与1比较大小 可得结论,注意此类题在求解时,常插入0或±1.

比较下列各题中数的大小: 4 -0.8, ( 4 ) -0.9; (2) 4 -0.23, ( 3 -0.25; (3)(3+2 ) 2, ( ) (1) ( ) ( ) 4 5 3 5
?

1 2

2 -1) .

2 3

4 4 4 ( )x在R上是减函数,又∵-0.8>-0.9,∴ (1)∵y= 5 ( )?0.8 ?( )?0.9 5 5 4 -0.25 3 0.25 4 x (2)∵( ) =( ) , ∴由y= ( ) 在R上是增函数得 4 3 3

4 4 4 3 即 () ? ) . () ? ) ? 0.23 0.25 ? 0.23 ? ( ( 0.25 3 3 3 4
1 ? 2

? 32 ( 1 ( 1 ? ?) 2 ) 21 ) ?1 (3)∵ ( 2 ? ? ?? 2,

?
2 3

1 ? 2 2

?

而y= ( 2?1)x 为R上的减函数, ∴. ( 2 1 ? 2 1 ?) ( ?)
1 ? 2

32 ) ( ? ) 即 (? 2 ? 21 .

2 3

学点四

最值问题
? x ? x

2 1 求函数y= 4 ? ?, x∈[-3,2]的最大值和最小值.
【分析】令x 2? = t,化函数为关于t的二次函数,再求解. ,

?1 ? 【解析】令x =t,∵x∈[-3,2],∴t∈ ?? 4 , 8 ?? 2? 2 ? x ? x ∴y= 4 ? ? = t -t+1= t ? 1 ) 2 ? 3 , 2 1 ( 2 4 当t= 1 时,y=3 ;当t=8时,y=57. 3 2 ∴函数的最大值为57,最小值为 .

4

4

【评析】化为二次函数,用配方法求解是一种常用的方法.

已知函数y=a2x+2ax-1(a>1)在区间[-1,1]上的最大值 是14,求a的值.
?1 ? 令t=ax,∵x∈[-1,1],且a>1,∴t∈? a , a ? . ? ?

原函数化为y=t2+2t-1=(t+1)2-2. ∴单调增区间是[-1,+∞),
?1 ? ? ∴当t∈a , a ?? ?

时,函数单调递增,

∴当t=a时,y max =(a+1)2-2=14, 解得a=3或a=-5, 又∵a>1,∴a=3.

学点五

单调性的判定
2 -x +3x+2

已知a>0,且a≠1,讨论f(x)=a
3

的单调性

3 ?(x? )2 ? 【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单 2 2 4 2 调性题.指数-x +3x+2= 当x≥ 时,是减函 3 数,x≤ 2 时,是增函数,而f(x)的单调性又与0<a<1和a>1 两种范围有关,应分类讨论.

17

3 17 3 ?(x ? )2 ? 【解析】设u=-x +3x+2= 2 4,则当x≥ 2 时,u是 u 3 减函数,当x≤ 时,u是增函数,又当a>1时,y=a 是增函数, 2
2

当0<a<1时,y=a 是减函数,所以当a>1时,原函数 f(x) 2 3? ? -x +3x+2 ? 3 , ?? ? ? ? , ? 上是增函数; =a 在2 ? ? 上是减函数,在 ? 2? ? ? ? 2 +3x+2 -x 3 当0<a<1时,原函数f(x)= a 在? , ?? ? 上是增函数,在 ? ?
3? ? ? ? ? , ? 上是减函数. 2? ?
?2 ?

u

【评析】一般情况下,两个函数都是增函数或都是减函 数,则其复合函数是增函数;如果两个函数中一增一减, 则其复合函数是减函数.但一定要注意考虑复合函数的 定义域.

2 -x2 +2x 讨论函数f(x)= ( ) 的单调性,并求其值域. 3
u ∵f(x)的定义域为R,令u=-x +2x,则f(u)=( )

2

2 又∵u=-x +2x=-(x-1) +1在(-∞,1]上是增函数又∵f(u)=u ( ) 义域内为减函数, 3
∴函数f(x)在(-∞,1]上为减函数,

2

2

2 3

. 在其定

同理可得f(x)在[1,+∞)上为增函数.

学点六

函数的图象及应用
x?1

画出函数? 2 y 一些重要性质.

的图象,并根据图象指出这个函数的

【分析】指数函数的复合函数常常由指数函数经过平移 变换、对称变换、翻折变换等得到,经过这些变换其性 质与图象将发生变化. 【解析】 x? 1

y ?2

x? 1

其图象是由两部分合成的,一是把y=2 的图象向右平移1 个单位,在x≥1的部分,二是把 的图象向右平移1 1 个单位,在x<1的部分,对接处的公共点为(1,1),如上图. y ? ( )x
2

?2 , x ?1 ? ? ? 1 x?1 ?( ) , x ?1 ?2 x

由图象可知函数有三个重要性质:
(1)对称性:对称轴为x=1; (2)单调性:(-∞,1]上单调递减,[1,+∞)上单调 递增; (3)函数的值域:[1,+∞). 【评析】作较复杂函数的图象(本题称分段函数),要 把各部分变换而得到一个整体,为了表示某部分是某个 函数图象的一部分,常画出一些虚线进行衬托,虚线部 分不是函数图象上的点,应注意区别.

画出函数y=2 +1的图象,然后指出其单调区间及值域.

x-1

先画出指数函数y=2 的图象,然后将其向右平移一个 单位,再向上平移一个单位即可,由图象可看出函数 的单调增区间为(-∞,+∞),函数的值域为(1,+∞).

x

学点七 指数函数的综合应用
e x a 在R上满足f(-x)=f(x). 设a>0,f(x)= ? x a e

(1)求a的值;

(2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
【分析】f(-x)=f(x)说明f(x)是偶函数,由此求a;单调性只 能用定义明. 【解析】(1)因为对一切x∈R有f(x)=f(-x),即
x e a 1 x ? x ? x ?ae, a e ae

1 1 ( ? )?e ? x)? 对一切x∈R成立. a (x 0 所以 a e

1 2 由此可得 a ? ? 0 , 即a =1. a
又因为a>0,所以a=1.

1 1 ? 0 ? x1 ? x 2 ,? f(x1 ) ? f(x 2 ) ? e ? e ? x1 ? x2 e e 1 ? (e x2 ? e x1 )( x1 ? x 2 ? 1) e 1 ? e x 2 ? x1 ? e x1 (e x 2 ? x1 ? 1) ? x 2 ? x1 e ? x1 ? 0,x 2 ? 0,x 2 ? x1 ? 0? x1 ? x 2 ? 0,e.x 2 ? x1 ? 1 ? 0,
x1 x2

1 ? e x1 ? x 2 ? 0

? f(x1 ) ? f(x 2 ) ? 0

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

【评析】指数函数的复合函数的性质是学习的重点,

研究这些性质,使用的方法仍是前面学习的基本方法.

2 2 x ? 1 (x∈R). 设a是实数,f(x)=a-

(1)证明:不论a为何实数,f(x)均为增函数; (2)试确定a的值,使f(-x)+f(x)=0成立. (1)证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,x1-x2<0,则
2 2x ? 1
1

f(x1)-f(x2)= (a=
2 2x
2 1

)-(a-

2 2x ? 1
2

)

2 ? x ? 1 2 ?1
1 2

x 2(2 - 2x ) x = ( 2x ?1)(2 ?1)
1 2

.
x 1 x 2

由于指数函数y=2x在R上是增函数,且x1<x2,

所以 22 2 ? ? ,即 - 0 2 .
x 1 x 2

又由2x>0得

x 2 1 x? 1, ? 1,2 ? 1 ?
1 2

所以f(x1)-f(x2)<0,

因为此结论与a的取值无关,
所以不论a为何实数,f(x)均为增函数. (2)由f(-x)+f(x)=0得

2 2 a- -x ? - x a ?0, 2 ? 1 2? 1 x 22 ? x 2 2(2 1) ? 2a ?x ? ? x ? x ?2 x (2 ? ?2 2 ? 1) 1 2? 1
得a=1.

1.解题时需要注意什么问题? (1)函数y=ax的图象与性质是本学案的核心,对a>1或 0<a<1的图象和性质,如单调性、值域的分布等要熟练掌 握,只有这样,在研究有关复合函数时才能收到事半功倍 的效果. 1 对称.

( 的图象关于y轴 )x (2)当a>0,且a≠1时,函数y=ax与函数y= a
(3)由函数y=2x,y=2x+1的图象可以看出,将函数y=2x的图象向 左平移1个单位,就得到函数y=2x+1的图象.注意不要把方向 搞错. (4)结合图象记忆性质,直接进行运算、判断是学习本 学案应特别注意的思想方法.

2.指数函数的定义中,需要注意什么? 指数函数的定义中,要注意以下几点: (1)指数函数的定义是形式性的定义;

(2)a,x位置易混,应牢记指数函数自变量的位置.

1.掌握指数函数图象的规律,是数形结合研究指数函 数有关问题的必备基础. 2.当指数函数底数大于1时,图象上升,且当底数越大, 图象向上越靠近于y轴,当底数大于0小于1时,图象下 降,底数越小,图象向下越靠近于x轴,简称当x>0时, 底大、图象高.


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