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高中数学必修5高中数学必修5《数列复习(一)通项公式》教案

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课题:数列复习(一)通项公式
教学目标
(一) 知识与技能目标 数列通项公式的求法. (二) 过程与能力目标 1. 熟练掌握本章的知识网络结构及相互关系. 2. 掌握数列通项公式的求法.

教学重点:掌握数列通项公式的求法. 教学难点:根据数列的递推关系求通项. 教学过程
一、基本概念 数列的通项公式:如果数列{an}的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示,这个 公式就叫做这个数列的通项公式. 二、数列的通项公式的求法 题型一:已知数列的前几项,求数列的通项公式. 例1 根据数列的前几项,写出下列个数列的一个通项公式: (1) ?

4 1 4 2 , ,? , ,?; 5 2 11 7

(2) 0.9,0.99,0.999,0.9999,…; (3) 1,0,1,0,1,0,…. 【解】 (1)注意到前四项中有两项分子均为4,不妨把分子都统一为4,即 ? 观察符号是正负交替出现,因而有 a n ? (?1) n

4 4 4 4 , ,? , ,… 8 5 11 14

4 . 3n ? 2 1 1 1 (2) 将数列中的项和1比较,就会发现, a1 =0.9=1=1- 2 a 2 =0.99=110 100 10 1 1 1 =1- 3 ,因此就有 a n ? 1? n . a 3 =0.999=11000 10 10 1 n?1 (3)数列中的奇数项为1,偶数项为0,注意 1 ? (?1) n?1 的值为2和0,因此有 an ? ?1 ? (?1) ?. 2 题型二:已知递推公式,求特殊数列的通项公式. 例2 写出下面各数列一个通项公式.
(1) a1 ? 1, an ?1 ? 1 ? (2) a1 ? 1 , a n ?

an (n ? 1); 2

练习1: a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ; 练习2: a1 ? 1 , a n ?1 ?

2a n ?1 (n ? 2) ; 2 ? a n ?1

3a n (n ? 1) ; 3 ? an

(3) a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n(n ? 2) (4) a1 ? 1 , a n?1 ?

* 练习3: a1 ? 1, a2 ? 3, an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an (n ? N ).

n a n (n ? 1) ; n ?1

练习4: a1 ? 1 , an ?1 ? 2n ? an (n ? 1)

【解】 (1)法一:∵ a1 ? 1 , an?1 ? 1 ?

an (n ? 1) 2

∴ a2 ? 1 ?

a1 1 3 ? 1? ? , 2 2 2

a3 ? 1 ?

a2 3 7 ? 1? ? 2 4 4

a4 ? 1 ?

a3 7 15 ? 1? ? 2 8 8

故 an ?

2n ?1 . 2 n ?1

an 1 (n ? 1) ,∴ a n?1 ? 2 ? (a n ? 2) 2 2 1 ∴{ a n ? 2 }是一个首项为-1,公比为 的等比数列, 2 1 1 ∴ a n ? 2 ? (?1)( ) n ?1 ,即 a n ? 2 ? ( ) n ?1 . 2 2
法二:∵ an?1 ? 1 ? 练习: ∵ a1 ? 1, an ?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,∴ an ?1 ? 3 ? 2(an ? 3)(n ? 1) , ∴{ an ? 3 }是以 a1 ? 3 ? 4 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ an ? 3 ? 4 ? 2
n ?1

? 2n ?1 ,所以该数列的通项 an ? 2n?1 ? 3 .
∴ a n?1 ? 4 ? 2(a n ? 4)

(备用)∵ an?1 ? 2an ? 4 ,

∴数列{ a n ? 4 }是以2为首项,2为公比的等比数列, ∴ a n ? 4 ? 2 ? 2 n ?1 ,即 a n ? 2 n ? 4(n ? N ? ) . [点评]若数列{an}满足a1 =a,an+1 = pan +q (p≠1),通过变形可转化为 a n ?1 ?

q q ? p(a n ? ), 1? p 1? p

即转化为 {an ?

q } 是等比数列求解. 1? p

解: (2)由 a n ?

2a n ?1 1 1 1 1 1 1 1 (n ? 2) 得 ? ? ,即 ? ? ,又 ? 1 , 2 ? a n ?1 a n a n ?1 2 a n a n ?1 2 a1

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 2



2 1 1 1 n ?1 ,∴ a n ? ? ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? ) . a n a1 2 2 n ?1
3a n 1 1 1 得 ? ? , 3 ? an a n ?1 a n 3


练习2:由 a n ?1 ?

1 1 1 1 ? ? ,又 ? 1 , a n ?1 a n 3 a1

∴数列{

1 1 }是以1为首项, 为公差的等差数列. an 3



3 1 1 1 n?2 ,∴ a n ? ? ? (n ? 1) ? ? (n ? N ? ) . a n a1 3 3 n?2

[点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ?

can 1 1 b (b, c ? 0) ,通过取倒可转化为 ? ? ,即转 ban ? c an ?1 an c

化为{

1 }是等差数列求解. an
∴ a2 ? a1 ? 2 ? 2 … …

(3)∵ a1 ? 1 , an ? an?1 ? 2n(n ? 2)

a3 ? a 2 ? 2 ? 3
a n ? a n?1 ? 2 ? n

a 4 ? a3 ? 2 ? 4

将上述(n-1)个式子相加,得 a n ? a1 ? 2 ? (2 ? 3 ? 4 ? ? ? n) 即 a n ? a1 ? 2 ?

(2 ? n)(n ? 1) , a n ? n 2 ? n ? 1(n ? N ? ) . 2

练习 3:? an ? 2 ? 3an ?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2( an ?1 ? an ), ? a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an ?1 ? 2( n ? N * ). an ?1 ? an

??an ?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列.
∴ an ?1 ? an ? 2 (n ? N ),
n *

? an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ? 2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
) [点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求和的数列 ,则用累加法求解, n
即 an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? ? ? (an ? an ?1 ) . (4)∵ a1 ? 1 , a n?1 ?

n a n (n ? 1) , n ?1



a n ?1 n , ? an n ?1



a a2 1 2 a 3 ? , 3 ? , 4 ? ,…, a1 2 a 2 3 a3 4

an n ?1 , ? a n ?1 n

将上述(n-1)个式子相乘,得

an 1 1 ? ,即 a n ? (n ? N ? ) . a1 n n


练习4:∵ an ?1 ? 2n ? an ,∴

an ?1 ? 2n an

a2 a a a ? 2 , 3 ? 22 , 4 ? 23 ,…, n ? 2n ?1 , a2 a3 an ?1 a1

将上述(n-1)个式子相乘,得

an ? 21? 2 ? 3??? ( n ?1) ,即 an ? 2 a1

n ( n ?1) 2 (n ? N ? ) .

[点评]若数列{ an }满足 a1 ? a , an ?1 ? an ? bn (数列{b}为可以求积的数列 ,则用迭乘法求解, ) n 即 an ? a1 ?

a a2 a3 ? ??? n . a1 a2 an?1

三、课堂小结: 1. 已知数列的前几项,求数列的通项公式的方法:观察法. 2. 已知递推公式,求特殊数列的通项公式的方法: 转化为等差、等比数列求通项;累加法;迭乘法. 四、课外作业: 《习案》作业二十.


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