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2.3.2等比数列前n项和2


2.3.2等比数列前n项和
中国人民大学附属中学

传说在很久以前,古印度舍罕王在宫廷单调 的生活苦恼中,发现了也就是现今的国际象棋 如此的有趣和奥妙之后,决定要重赏发明人— —他的宰相西萨?班?达依尔,让他随意选择奖品, 宰相要求的赏赐是:在棋盘的第一格内赏他一 粒麦子,第二格内赏他两粒麦子,第三格四粒 麦子……以此类推,每一格上的麦子数都是前

一格的两倍,国王一听,几粒麦子,加起来也 不过一小袋,他就答应了宰相的要求。实际国 王能满足宰相的要求吗?

经过计算,我们得到麦粒总数是

1 ? 2 ? 4 ? 8 ? ? ? 2 ? 2 ? 1(粒).
63 64

=18446744073709551615(粒) 已知麦子每千粒约为40克,则折合约为 737869762948382064克≈7378.7亿吨

再看另一个问题:
甲、乙二人约定在一个月(按30天)内甲

每天给乙100元钱,而乙则第一天给甲返还一
分,第二天给甲返还二分,即后一天返还的钱

是前一天的二倍。问谁赢谁亏?
分析:数学建模 {an}:100 ,100 ,100……100 {bn}: 1 , 2 , 22 …… 229 q=1 q=2

S30 =100+100+??+100

T30 =1+2+22 +?? +229
这是一个比较大小的问题,实质上是求等 比数列前n项和的问题。 在等比数列{an}中 当q=1时 ,Sn=a1+a2+a3+??+an-1+an= na1 当q≠1时,Sn=a1+a2+a3+??+an-1+an =?

S1=a1
S2=a1 +a2 =a1+a1q =a1(1+q) S3=a1+a2+a3=a1+a1q +a1q2 =a1(1+q+q2) S4=a1+a2+a3+a4=a1+a1q+a1q2+a1q3 =a1(1+q+q2+q3)

观察:

a1 (1 ? q 2 ) S2 ? ? 1? q 1? q a1 (1 ? q ? q 2 )(1 ? q) a1 (1 ? q 3 ) S3 ? ? 1? q 1? q

a1 (1 ? q)(1 ? q)

a1 (1 ? q ) Sn ? .(q ? 1) 1? q
n

Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ② ① —②得: Sn (1—q)=a1—a1qn

a1 (1 ? q ) 当q≠1时, S ? . n 1? q
n

等比数列{an}前n项和

? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

q ?1 q ?1

? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

q ?1 q ?1

二者不能兼容,体现分类讨论的必要性。 数学游戏问题答案: 230–1 (分)=10737418. 23 (元) 远大于3000元

? na1 ? Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

q ?1 q ?1

1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 ? q n ) a1 ? an q 2、q≠1时, S n ? ? 1? q 1? q 3、五个量n、a1、q、an、Sn中,解决“知三

求二”问题。

例1.“一尺之棰,日取其半,万世不竭”,
怎样用学过的知识来说明它? 解:这句古语用现代文叙述是:

一尺长的木棒,每天取它的一半,永远也取不完。 如果每天取出的木棒的长度排成一个数列, 1 1 则得到一个首项为a1= ,公比q= 的等比 2 2 数列,

它的前n项和为
1 ?1? ? [1 ? ? ? ] 2 ? 2 ? ? 1 ? ( 1 )n Sn ? 1 2 1? 2 1
n

1 ? ( ) n 总小于1, 不论n取何值, 2

这说明一尺长的木棒,每天取它的一半, 永远也取不完。

1 例2.等比数列{an}的公比q= ,a8=1,求它 2

的前8项和S8。
a8 7,所以 a ? ? 27 解1:因为a8=a1q 1 7 q

因此

1 8 2 [1 ? ( ) ] 8 a1 (1 ? q ) 2 ? 28 ? 1 ? 255 ? S8 ? 1 1? q 1? 2
7

解2:把原数列的第8项当作第一项,第1项当
作第8项,

即顺序颠倒,也得到一个等比数列{bn},
其中b1=a8=1,q’=2,所以前8项和

b1 (1 ? q ' ) 1 ? 2 S8 ? ? ? 255 1? q ' 1? 2
8 8

例3.求和 9 ? 99 ? 999 ? ? ? 999?? ? ?? ? 99
n
个9

分析:数列9,99,999,……,不是等比数

列,不能直接用公式求和,
但将它转化为 10-1,100-1,1000-1,……, 就可以解决了。

解:
原式=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+?+(10n-1) =(10+100+1000+??+10n)-n
10(10 ? 1) ? ?n 10 ? 1
n

10 n ? (10 ? 1) ? n 9

例4.某工厂去年1月份的产值为a元,月平均增

长率为p(p>0),求这个工厂去年全年产值的总和。 解:该工厂去年2月份的产值为a(1+p)元, 3月,4月,……,的产值分别为a(1+p)2元, a(1+p)3元,……, 所以12个月的产值组成一个等比数列,首项 为a,公比为1+p,

a[1 ? (1 ? p) ] S12 ? 1 ? (1 ? p)
12

a[(1 ? p) ? 1] ? p
12

答:该工厂去年全年的总产值为 12 a[(1 ? p) ? 1] 元。 p

练习:
1.在正项等比数列{an}中,若S2=7, S6=91, 则S4 的值为( A )

(A)28 (B)32 (C)35 (D)49

2.一个等比数列共有3n项,其前n项之积为 A,次n项之积为B,末n项之积为C,则一定 有( D ) (A)A+B=C (B)A+C=2B

(C)AB=C

(D)AC=B2

1 n 3.在等比数列{an}中,Sn=k-( ) ,则实数k 2 的值为( B ) 1 (A) (B)1 2 (C)3 (D)2 4

4.在由正数组成的等比数列{an}中,若
a4a5a6=3, log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值为 ( A )
4 (A) 3 3 (B) 4
4 3

(C)2

(D) 3

5.数列{an}的前n项和Sn满足loga(Sn+a)=n+1

(a>0,a1≠0), 则此数列的通项公式为
an=(a-1)an .

6. 2+(2+22)+(2+22+23)+…+(2+22+23+…+210) = 212-24 。


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