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汕头金山中学2011-2012学年高二上学期期末考试(文数)

时间:2013-04-16


汕头金山中学 2011-2012 学年高二上学期期末考试 数学(文)试题
一、选择题 (本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) ⒈已知 a , b , c ? R ,且 a ? b 则一定成立的是( ) A、 a
2

? b

2

/>B、

1 a
2

?

1 b

C、 ac

2

? bc

2

D、
c

a
2

?1

? c

b
2

?1

⒉命题“ ? x ? R , x ? 2 x + 1 ≥ 0 ”的否定是(
2 A. ? x 0 ? R , x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0



2 B. ? x 0 ? R , x 0 ? 2 x 0 ? 1 ? 0

C. ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

D. ? x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0
2

⒊若椭圆 A. 1

x

2

? y

2

? 1 上一点到左焦点的距离为 1,则该点到右焦点的距离为(



4

B. 2
2 2

C. 3 )

D. 4

⒋“ x , y ? R , x ? y

? 0 ”是“ xy ? 0 ”的(

A.充分不必要条件 C.充要条件 ⒌若焦点在 y 轴上的椭圆
x
2

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
? y
2

? 1 的离心率为

1 2

,则 m 的值为(
8 3



m

2

A

1

B

3 2

C

3

D

⒍已知双曲线的中心在坐标原点,离心率 e ? 2 ,且它的一个顶点与抛物线 y 重合,则此双曲线的方程为( A. x ?
2

2

? ? 8 x 的焦点


? y
2

y

2

?1

B.

x

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

3

3

12

4

4

12

?x ? y ? 5 ? 0 ? ⒎若不等式组 ? y ? a 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是( ?0 ? x ? 3 ?



A. a ? 5

B. a ? 8

C. a ? 5 或 a ? 8

D. 5 ? a ? 8

⒏等差数列 { a n } 中, a 1 ? 1, a 2 ? 3 ,数列 {

1 a n a n ?1

} 的前 n 项和为

15 31

,则 n 的值为

1

A.15 ⒐已知点 P 是抛物线 y
2

B.16

C.17

D.18

? 4 x 上 的 动 点 , 点 P 在 y 轴 上 的 射 影 是 M , 点 A (1, 3 ) , 则

PA ? PM 的最小值是 (

) C.3 D.4

A.1

B.2
x a
2 2

⒑已知 F 1 , F 2 是双曲线
2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? 0 , b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为双曲线左支上

一点,若

P F2 P F1

的最小值为 8 a ,则该双曲线的离心率的取值范围是(



A. (1, 3 )

B. (1 , 2 )

C. (1 , 3 ]

D. (1, 2 ]

二.填空题 (本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) ⒒双曲线
x
2

?

y

2

? 1 的渐近线方程是

16

9

⒓等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,若 S 5 ? 30 , a 7 ? 8 ,则 a 11 = ⒔设命题 p:
2x ?1 x ?1 ? 0

,命题 q: x ? ( 2 a ? 1 ) x ? a ( a ? 1 ) ? 0 , 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则
2

实数 a 的取值范围是_____________ ⒕设 3 b 是 1 ? a 和 1 ? a 的等比中项,则 a ? 3 b 的最大值为 三﹑解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) ⒖(12 分)在锐角△ A B C 中,已知 a、b、 c 分别是三内角 A 、 B 、 C 所对应的边长,且 b ? 2 a sin B . ⑴求角 A 的大小; ⑵若 b
? 1 ,且△ A B C
2

的面积为

3 4

3

,求 a 的值.

⒗(12 分)已知命题 p:曲线 y ? x 命题 q :
x
2

? ( 2 m ? 3 ) x ? 1 与 x 轴相交于不同的两点;

?

y

2

? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆.若“p 且 q” 是假命题, p 或 q”是真命题,求 m “

m

2

取值范围.

2 ⒘(14 分)已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ? 2 n ? 2 n ,数列 { b n } 的前 n 项和为 T n ,且

T n ? 2 ? bn (n ? N

*

).

(1)求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式; (2)设 ,若 < ,求 n 的取值范围

⒙(14 分)一校办服装厂花费 2 万元购买某品牌运动装的生产与销售权.根据以往经验,
2

每生产 1 百套这种品牌运动装的成本为 1 万元,每生产 x (百套)的销售额 R ( x ) (万元) 满足:
? ? 0 . 4 x ? 4 . 2 x ? 0 . 8,  ? x ? 5, 0 ? R (x) ? ? 9 ,  x ? 5 . ?14 . 7 ? x ?3 ?
2

(1)该服装厂生产 750 套此种品牌运动装可获得利润多少万元? (2)该服装厂生产多少套此种品牌运动装利润最大?此时,利润是多少万元?
C ⒚ (14 分) 已知椭圆中心 E 在坐标原点, 焦点在 x 轴上, 且经过 A ( ? 2 , 0 ) 、B ( 2 , 0 ) 、 ? 1, ? ? 3 ? ? 2 ?

三点. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线 l : y ? k ( x ? 1)( k ? 0 ) 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点. ①若 k ?
3 ,求 MN

的长;

②证明:直线 A M 与直线 B N 的交点在直线 x ? 4 上. ⒛(14 分)在数列 { a n } 中, a 1 ? 0 ,且对任意 k ? N , a 2 k ? 1 , a 2 k , a 2 k ? 1 成等差数列,其公
*

差为 2 k . ⑴求 a 2 , a 3 , a 4 ; ⑵求数列 { a n } 的通项公式; ⑶记. T n ?
2
2

?

3

2

?? ?

n

2

, 证明:

3 2

a2

a3

an

? 2n ? T n ? 2(n ? 2) .

3

⒗(12 分)命题

p

为真 ? ? ? ( 2 m ? 3 ) ? 4 ? 0
2

? m ?

1 2

或m ?

5 2

? 3分

若命题 q 为真 ? m ? 2
1 5 ? ?m ? 或 m ? 若 p 真 q 假,则 ? 2 2 ?m ? 2 ? 5 ?1 ? ? m ? 若 q 真 p 假,则 ? 2 2 ?m ? 2 ?

? 5分
? p , q 一真一假

? “p 且 q” 是假命题, p 或 q”是真命题 “

? 7分

?m ?

1 2

? 9分

?2 ? m ?

5 2

? 11 分

综上, m ?

1 2

或2 ? m ?

5 2

?12 分

17. (12 分)(1)由于 a 1 ? s 1 ? 4
2 2 当 n ? 2 时, a n ? s n ? s n ? 1 ? ( 2 n ? 2 n ) ? [ 2 ( n ? 1) ? 2 ( n ? 1) ] ? 4 n

? a n ? 4n(n ? N

*

)

当 n ? 1 时, T 1 ? 2 ? b 1 ? b 1 ? b 1 ? 1 又当 n ? 2 时, b n ? T n ? T n ? 1 ? ( 2 ? b n ) ? ( 2 ? b n ? 1 ) b n ? T n ? T n ? 1 ? ( 2 ? 6 m ) ? ( 2 ? b m ? 1 )
? 2 b n ? b n ?1

? 数列 ? b n ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为

1 2

? bn ? (

1 2

)

n ?1

?8 分
? 16 n
2

(2)由(1)知

?(

1 2

)

n ?1

?9 分

4

?

C n ?1 Cn

1 6 ( n ? 1) ? (
2

1 2

)

( n ?1) ?1

? 16n ? (
2

1 2
2

?
n ?1

( n ? 1) 2n
2

2

?11 分

)



c n ?1 cn

?1得
*

( n ? 1) 2n
2

? 1 即n ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ?
2

2

?13 分 ?14 分

又n ? N

? n ? N 且n ? 3
*

18. (14 分)解: (1) R ( 7 . 5 ) ? 1 ? 7 . 5 ? 2 ? 3 . 2 , 所以,生产 750 套此种品牌运动装可获得利润 3 . 2 万元?????????????4 分 (2)由题意,每生产 x (百件)该品牌运动装的成本函数 G ( x ) ? x ? 2 ,所以,
? ? 0 . 4 x ? 3 . 2 x ? 2 . 8 ,   0 ? x ? 5 ) ( ? 利润函数 f ( x ) ? R ( x ) ? G ( x ) ? ? 9 ,     x ? 5 ) ( ?12 . 7 ? x ? x ?3 ?
2
2

?6 分

当 0 ? x ? 5 时, f ( x ) ? ? 0 . 4 ( x ? 4 ) ? 3 . 6 ,故当 x ? 4 时, f ( x ) 的最大值为 3 . 6 . ?9 分 当 x ? 5 时, f ( x ) ? 9 . 7 ? [( x ? 3 ) ?
9 x ?3 ] ? 3 .7 ,

故当 x ? 6 时, f ( x ) 的最大值为 3 . 7 . 所以,生产 600 件该品牌运动装利润最大是 3.7 万元 19. (14 分)解: (1)设椭圆方程为
3 2
x
2

?13 分 ????14 分 ??1 分

?

y b

2 2

? 1( b ? 0 )

4

将 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得
9 1 4 ? 4 b
2

? 1 ,解得 b

2

? 3

∴椭圆 E 的方程

x

2

?

y

2

?1

??3 分

4

3

(2)

??5 分 ①若 k ?
3 ,则 x 1 ? x 2 ?

8 5

, x1 x 2 ? 0

5

又 y1 ? y 2 ?
? MN ?

3 ( x1 ? x 2 )
2

??6 分
2

( x1 ? x 2 )

? ( y1 ? y 2 )
2

= (1 ? 3 )( x 1 ? x 2 ) 2
8
2

= 2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? 2 ( )
5

?

16 5

??8 分



因此结论成立.直线 A M 与直线 B N 的交点住直线 x ? 4 上. ??14 分 20. (14 分) 解:⑴证明:由题设可知, a 2 ? a 1 ? 2 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 2 ? 4 , a 4 ? a 3 ? 4 ? 8 ,??3 分 ⑵解:由题设可得 a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? 4 k , k ? N * 所以 a 2 k ? 1 ? a 1 ? ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 1 ? ? ? a 2 k ? 1 ? a 2 k ? 3 ? ? ... ? a 3 ? a 1 ? ? 4 k ? 4 ? k ? 1 ? ? ... ? 4 ? 1
? 2 k ? k ? 1? , k ? N * .

由 a 1 ? 0 ,得 a 2 k ? 1 ? 2 k ? k ? 1 ? ,从而 a 2 k ? a 2 k ? 1 ? 2 k ? 2 k 2 .
?n ?1 , n为 奇 数 2 ? n ? 2 的通项公式为 a n ? ? 或写为 a n ? ? 2 2 ?n , n为 偶 数 ? 2 ?
2

所以数列 ? a n ?

? ? 1?

n

?1

,n ? N * 。

4

??7 分 ⑶证明:由⑵可知当 n 为偶数时,
n
2

?

n n

2 2

? 2;

an
n
2

2

当 n 为奇数时,

? n

n
2

2

an

?1 2

?

2n n
2
2

2

?1

? 2 ?

2 ( n ? 1 )( n ? 1 )

? 2 ? (

1 n ?1

?

1 n ?1

) .??8 分

易知 n ? 2 时, 2 n ? T n ? 4 ?

2

? 4 ? 2 ? 2 . 不等式成立。

??9 分

a2

6

又当 n 为偶数且 n ? 4 时,
Tn ?
?

2

2

?

3

2

? ????
n 2

n

2

? (

2

2

?
1

4

2

? ??? ?
? 1 3?1

n

2

)? (
1 5?1

3

2

?
1

5

2

? ????

( n ? 1) a n ?1
1

2

)
? 1 ( n ? 1) ? 1

a2
n 2

a3
? 2 ? (

an

a2

a4

an
)? (

a3
?

a5
5?1 ) ? ???? (

? 1) ? 2 ? (

3?1

( n ? 1) ? 1

)

? 2n ? 2 ? (
? 2n ? 2 ? ? 2n ? Tn ? 3 2

1 2

?
? 1 n

1 4
1 n

)? (

1 4

?
3 2

1 6

)? (
1 n

1 6

?

1 8

) ? ???? (

1 n ? 2

?

1 n

)

1 2 ?

? 2n ?

?

??11 分
3 2
3 2

,从而

3 2

? 2n ? Tn ?
n
2

?

1 n
?

?

3 2
1

?

1 4
?

? 2 ,不等式也成立。??12 分
n n
2 2

当 n 为奇数时, T n ? T n ? 1 ?

? 2 ( n ? 1) ?

an

n ?1

?1 2

=2n ?

7 2

?

1 n ?1

? 2 ? n

2
2

?1

7


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