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5.第三章判断(二)


第三章

判断(二)

在这一章里, 我们将比较详细地介绍复合判断的基本类型和形式, 分析各基本形式的真 假条件, 建立不同形式的复合判断形式之间的逻辑等值关系。 本章还将简要地介绍有关模态 判断的初步知识。 什么是复合判断?复合判断就是自身含有其他判断的判断。例如: 只有某甲年满 18 岁,某甲才有选举权。 就是一个复合判断。它自身含有两

个简单的判断及“某甲满 18 岁”和“某甲有选举权” 。 复合判断有两个基本的组成部分, 即支判断和逻辑联结词。 支判断就是被复合判断本身 所包含的更为简单的判断。上例中的“某甲有选举权”和“某甲满 18 岁”都是支判断。逻 辑联结词就是将支判断联系起来构成复合判断的逻辑概念。上例中的“只有??才??”就 是一种逻辑联结词。 复合判断的类型由逻辑联结词的性质决定的,不同的逻辑联结词构成不同的复合判断。 根据逻辑联结词的不同性质,我们将复合判断划分为联言判断、选言判断、假言判断和负判 断四个基本类型. 在各种类型的复合判断形式中,支判断形式是变项,逻辑联结词是常项。

第一节

联言判断

联言判断就是断定几种情况都成立的判断。例如,“太阳是恒星,并且地球绕太阳转” 就是一个联言判断。它断定“太阳是恒星”和“地球绕太阳旋转”这两种情况都成立。又如, “他不出席大会而参加小组讨论” 也是一个联言判断。 它断定“他不出席大会”和“他参加 小组讨论”这两个情况都成立。 对于由两个支判断组成的联言判断,若用判断变项 p、q 分别表示它的两个支判断,则 该联言判断的形式就可写作“p 并且 q”,或者写作: p∧q 联言判断的支判断,叫做联言支。符号“∧”称合取词,它是用来表示联言关系的逻辑联结 词。p∧q 可读作“p 并且 q”、“p 且 q”、 “p 而且 q”、“p 并 q”和“p 与 q 合取”等等。 在汉语中, 联言判断的逻辑联结词具有多样的表达方式。 除 “并且”、 “而且”等以外, “不
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但??而且??”、 “虽然??但是??” “既??又??”、 、 “??还??” 、 “??也??” 、 “??和??” 、 “??与??”等语词都能表达联言的逻辑联结词。例如: 人民不但创造了物质财富,而且创造了精神财富。 老张虽然自己有病,但他经常照顾别人。 此人不学习还反对别人学习。 我们喜爱文学,也爱好科学。 这些句子虽然表达的语法结构不同, 有些表达方式在语气方面存在着明显的差异, 表现 了说话者的某些主观顶向和情感因素等等,但它们的逻辑结构却是一样的,即都具有 p∧q 的形式。 因为逻辑的研究只是对语言材料一种形式的抽象, 它仅仅考虑断定的意义而不管语 句的其他表达上的意义。以上这些语句有一个共同点,都是同时断定几个情况成立,因而都 表达联言判断。 一个联言判断既然断定几种情况都成立,那么,它就是断定自身包含的那些支判断(即 联言支)都真。因此,一个联言判断的真或假是由它的支判断的真假决定的。当一个联言判 断的全部联言支都真的时候, 这联言判断是真的, 而当它的联言支有一个为假或全部为假时, 这联言判断就是假的。请看下面的联言判断 (1)地球是椭圆的而且是运动着的。 (2)地球是椭圆的而且是静止的。 (3)地球是方的而且是运动着的。 (4)地球是方的而且是静止的。 例(1)是一个真实的联言判断,因为它的两个联言支都是真判断。例(2)、例(3)和例(4)显然 都是虚假的联言判断,因为它们都含有虚假的支判断。 联言判断与它的支判断之间的这种真假制约关系可用真值表显示如下(表 6):

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

表6

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由联言判断的定义可知, 在一个联言判断中, 联言支的前后次序与联言判断的真假值无 关。p∧q 与 q∧p 的真假情况是完全相同,形式逻辑中称 p∧q 与 q∧p 的真假值相同,称二 者逻辑等值,记为 p∧q≡q∧p 其中,≡是逻辑等值符号,简称等值符号。上式等于说,合取词“∧”满足交换律。 联言判断的联结词“∧”是一个二元联结词, 即使用一个合取词能够而且只能联结两个 支判断。但在一个联言判断中可以含有两个或两个以上的合取词,因此,联言判断还可以有 三个或三个以上的支判断。例如: 鲁迅不但是一个伟大的思想家。而且是一个伟大的文学家和一个伟大的革命家。 这是有三个联言支的联言判断,其形式可写作: p∧q∧r 它的真假而 p、q、r 的真假情况决定,在用真值表显示这种制约关系时,我们可以将该 判断形式中任意两个支判断形式构成的联言判断形式用括号括起来, 按照表 7 先构造出括号 中的联言判断形式的真值表, 然后再通过所求出的真假情况与另一支判断形式的真假情况来 确定整个联言判断的真假。我们可队将 p∧q∧r 写为(p∧q) ∧r,先通过 p、q 来确定 p∧q 的真假情况, 再通过 p∧q 与 r 来真假情况来确定(p∧q) ∧r 的真假情况。 以下是(p∧q) ∧ r 的真值表(表 7): . p 真 真 真 真 假 假 假 假 q 真 真 假 假 真 真 假 假 r 真 假 真 假 真 假 真 假 p∧q 真 真 假 假 假 假 假 假 (p∧q) ∧r 真 假 假 假 假 假 假 假

表7

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在表 7 中,不同的真假何况一共是 8 种,这是因为 p∧q∧r 含有三个支判断形式,每一支判 断形式都有真、假两种情况,23=8。一般地,由 n 个不同的支判断形式(这些支判断形式本 身不是复合判断形式)组成的联言判断形式的真值表中,其真假情况共有 2 种。这一说明也 适用于其他复合判断形式。
n

第二节 选言判断
选言判断就是对几种情况作出选择性断定的判断。 选言判断包括相容与不相容两种 基本形式。

一、相容选言判断
相容选言判断就是断定在几种情况中至少有一种成立的判断。 例如,当我们获悉“今年农业总产值增长 4%”和“今年工业总产值增长 6%”, 这两个情况至少有一个是成立的。但尚不清楚倒底哪一个是真实的时,就会做出这样一 个相容的选言判断: 今年农业总产值增长 4%,或者今年工业总产值增长 6%。 选言判断的支判断叫做选言支。若用判断变项 p、q 分别表示上述相容选言判断的 两个选言支,则我们可以从中抽象出它的一般形式“p 或者 q”。也可写作 p∨q 符号 “∨”称析取词, 是用来表示相容选言关系的二元联结词。 p ∨q 可读用“p 或 q”、 “p 或者 q”、“或者 p,或者 q”以及“p 与 q 的析取” 。 一相容选言判断断定至少有一种情况成立,也就是断定它包畲的几个选言支至少有一
个为真。因此,相容选言判断只在它的全部支判断都假时才是假的。当它的支判断有一部分 为真或全部为真时,它是真的。例如: (1)中国是多民族国家,或者是历史悠久的国家。 (2)中国是多民族国家,或者是经济最发达的国家。 (3)中国是人口较少的国家,或者是发展中国家。 (4)中国是人口较少的国家,或者是经济最发达的国家。 上述四例都是相容的选言判断。其中。例(4)因其两个选言支都假,是一个虚假的相容

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选言判断。例(1)、例(2)和例(3)都满足“至少有一个支判断为真”这样的断定要求,因而 都是真实的相容选言判断。当然,稍稍熟悉中国情况的人一般不会做出如例(1)这样的相容 选言判断,他们更愿意做出一个联言的判断“中国是多民族国家而且是历史悠久的国家” 。 尽管如此, 例(1)仍然是正确的。 相容选言判断仅仅断定“至少有一情况成立” 并不含有“只 有一个情况成立”的意思。人们可以认为例(1)断定得不够充分。但绝不会认为例(1)是虚假 的。 相容选言判断 p∨q 与它的支判断 p、q 之间的真假制约关系如以下真值表所示: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 表8 析取词也满足交换律,p∨q 与 q∨p 具有完全相同的真假值: p∨q≡q∨p 相容选言判断既可是有两个选言支的,也可以是有三个或更多选言支的。例如: 有资格参加本校第二批次分房者或者是省学术技术带头人,或者是校“214” 人才计划第二层次专家,或者是现职博士生导师。 其形式是: p∨q∨r p∨q 真 真 真 假

二、不相容选言判断
不相容选言判断就是断定在两种情况中有一种成立并且只有一种成立的判断。 不相容选言判断的特征在于断定两种事物情况的不可并立性和互相排斥性。例如; 我国要么走资本主义道路,要么走社会主义道路。 这个不相容选言判断断定,对“中国走资本主义道路”和“中国走社会主义道路”这两种情 况,只能有一种选择并且二者必居其一。 若以判断变项 p、q 分别表示不相容选言判断的两个支判断,则它的形式就可写作“要 么 p,要么 q”。或用以下公式表示: p q

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符号“ ”表示不相容选言关系,称不相容析取词。p q 可读作“要么 p,要么 r、“p 与 q 不相容”、“p 或 q,二者必居其一”等。 根据不相容选言判断的定义, 我们知道, 一个不相容选言判断实际上是断定了它的两个 选言支既不同真又不同假。因此,当它的两个支判断都真或都假时,这个不相容选言判断是 假的;而当它的两个支判断的真假值不同时,这不相容选言判断才为真。请看下面的句子: (1)要么马是哺乳动物,要么马是胎生动物。 (2)要么马是哺乳动物,要么马是卵生动物。 (3)要么马是卵生动物,要么马是哺乳动物。 (4)要么马是冷血动物,要么马是卵生动物。 显然,例(1)是假判断,它的两个支判断都真,从而与不相容的断定方式相矛盾。例(4) 也是假的不相容选盲判断, 因为它的两个支判断都假, 而不相容选言要求其中至少有一支判 断为真。例(2)和例(3)都有两个真假值相反的支判断,因而都是真实的不相容选言判断。 不相容选言判断的真值表如下: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 表9 不相容析取词满足交换律: p q≡q p 相容选言判断与不相容选言判断都是选言判断, 它们的共同点是都断定至少有一选言支 为真。二者的差别则在于:不相容选言判断除断定至少有一真外,还断定两选言支至少有一 假;而相容选言判断则仅仅断定至少有一真,并不拒绝支判断都真的情况。由于不相容选言 比相容选言断定得更多,因此,在支判断相同的情况下,一不相容选言判断 p q 为真时, 相容选言判断 p∨q 必真;一相容选言判断 p∨q 为假时,不相容选言判断 p q 必假。 关于选言判断, 还有一个值得注意问题, 这就是“或者”一词的歧义性。 “??或者??” 这个语词尽管在大多数场合用来表达相容的选言关系“∨”。但是,在日常生活中也存在着 甩这个语词来表达不相容选言关系“ ”的情况,例如当我们说“中国或者对外开放,或 p q 假 真 真 假

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者阿关自守”时,我们便很可能是在不相容的意义下使用“或者”这一语词的。所以, 对一个由“或者”联结起来的语句。要明确它表达哪一种选言判断,应当联系具体的语 言环境去判定。不过,在本书中,我们仅限于在相容的意义下使用“或者”这一语词。

第三节

假言判断

假言判断,又称条件判断,它是断定了两种情况之间条件联系的判断。例如: (1)如果滥伐森林,就会破坏生态平衡。 (2)只有控制人口数量,才能提高人口质量。 这两例都是假言判断。其中,例(1)断定“滥伐森林”是“破坏生态平衡”的充分条件; 例(2)断定“控制人口数量”是“提高人口质量”的必要条件。 一个假言判断有两个支判断。 表示条件的那个支判断叫做前件, 另一个称后件。 在例(1) 中,“滥伐森林”是前件,“破坏生态平衡”是后件;在例(2)里,“控制人口数量”是前 件, “提高人口质量”是后件。 假言判断有三种基本形式。 充分条件假言判断、 必要条件假言判断和充要条件假言判断.

一、充分条件假言判断
什么是充分条件?如果情况 p 是情况 q 的充分条件,那么,当 p 成立时,q 必成立, 而当 p 不成立时,q 不一定不成立。或者说,若有 p 必有 q,而且无 p 未必无 q,那么, p 就是 q 的充分条件。 例如,“下雨”与“路湿”这两种情况。当“下雨”这一情况发生时, “路湿”的情
况必随之发生;而当“下雨”这一情况不发生时, “路湿”的情况却不一定不发生。 “下雨” 就是“路湿”的充分条件。 充分条件假言判断就是断定前件是后件的充分条件的假言判断。例如: 如果 54 能被 6 除尽,那么 54 能被 3 除尽。 如果老王患肺炎,则老王发烧。 这两例都是充分条件的假言判断。若用变项符号 p、q 分别表示一充分条件假言判断的 前件和后件,则它的形式是“如果 p,那么 q”,或者写作: p ?q

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符号“ ? ”称作蕴涵词,表示断定前者是后者的充分条件。p ? q 可读作“如果 p,则 q” 或“p 蕴涵 q”等。 在汉语中, 表达蕴涵的语词很多。 引导蕴涵前件的浯词除“如果??” 外, 常用的还有: “假如??” 、 “假设??” 、 “假定??” 、 “假使??” 、 既然??” 、 “只要??” 、 “一旦??” 、 “若??” 、 “倘若??”等等。引导蕴涵后件的语词除“那么??” 、 “则??” 、以外,还 有“就??” 、 “那就??” 、便??”等。 由于充分条件假言判断断定了前件是后件的充分条件,即“当前件成立时,后件必成 立” ,因此,若实际情况是前件成立而后件不成立,那么就可以判定这充分条件假言判断是 虚假的。相反,如果实际情况不是“前件真而后件假” ,那么这充分条件假言判断就不与实 际情况相矛盾,因而是真实的。请看下面的例子: (1)如果 3 小于 5,那么 3 小于 9。 (2)如果 3 小于 7,那么 7 小于 3。 (3)如果 7 小于 5,那么 7 小于 9。 (4)如果 7 小于 5,那么 7 小于 6。 上述四个充分条件假言判断前后件的真假情况是彼此不同的。例(1)是前后件都真,例 (2)的前件真而后件假,例(3)的前件假而后件真,例(4)是前后件都假。在这四个判断中, 只有例(2)是假的,因为“3 小于 7”显然不是“7 小于 3”的充分条件。其他三例的真实性, 也同样是明显的,因为小于 5 的数必然小于 6 和 9,这是一个常识。 充分条件假言判断 p ? q 与它的支判断 p、q 之间真假制约关系如以下真值表: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 表 10 从真值表可以看出:充分条件假言判断为假的情况只有一种,即“前件真而后件假” 。使充 分条件假言判断为真的情况有三种,这三种为真的情况有两个明显的特点:第一,当前件为 假时(不论后件为真还是为假),充分条件假言判断总是真的;第二,当后件为真时(不论前 件真假如何),充分条件假言判断总是真的。因此,一充分条件假言判断为真的情况是“前 p ?q 真 假 真 真

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件假或后件真。 ” 蕴涵关系“ ? ”不满足交换律。 运用真值表可计算出, p ? q 与 q ? p 不是逻辑上等值 的。

二、必要条件假言判断
什么是必要条件? 如果 p 是情况 q 的必要条件,那么,当 p 不成立时,q 一定不成立; 而当 p 成立时,q 不一定成立。或者说,若无 p 必无 q,而且有 p 未必有 q,那么 p 就是 q 的必要条件。 例如, “阳光充足”与“水稻生长良好”这两种情况。 虽然有了充足的阳光不一定就有 生长良好的水稻,但是如果阳光不充足,水稻的长势肯定不会好。 “阳光充足”便是“水稻 生长良好”的必要条件。 必要条件假言判断就是断定前件是后件的必要条件的假言判断。例如: 只有认识了自己的缺点,才能改正自己的缺点。 只有某甲到过作案现场,某甲才是作案的人。 这两例都是必要条件假言判断,分别断定了“认识自己的错误”是“改正自己的错误” 的必要条件,和“某甲到过作案现场”是“某甲是作案人”的必要条件。 用判断变项 p、q 分别表示必要条件假言判断的前、后件,其一般结构形式可写作“只 有 p,才 q”,或写作: p? q 符号“ ? ”称反蕴涵词.用来表示断定必要条件联系。p ? q 可读作“只有 p,才 q” 或“只有 p,才能 q”。 在汉语中,必要条件假言判断有多种表达形式,例如,以下语句 除非认识了自己的缺点,否则不能改正自己的缺点。 只有认识了自己的缺点,否则不能改正自己的缺点。 都表达“只有认识了自己的缺点,才能改正自己的缺点”这样一个必要条件假言判断。另一 方面,读者还要注意, “只有??才??”与“只要??就??”有着根本不同的语义。用 前者表示的判断是必要条件假言判断,用后者联结起来的语句则表达充分条件假言判断。 必要条件假言判断的真假, 也与它的前件和后件的真假直接相关。 既然它断定前件是后 件的必要条件,即前件不成立时,后件必然不成立,那么,当实际情况是前件不成立而后件 却成立时,前件事实上就不是后件的必要条件。这时,我们就说,这必要条件假言判断是虚
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假的。相反,如果实际情况不是“前件假而后件真” ,就说明前件的确是后件的必要条件, 这样的必要条件假言判断就是真实的。请看下面的例句: (1)只有 27 被 3 除尽,27 才被 9 除尽。 (2)只有 27 被 3 除尽,27 才被 6 除尽。 (3)只有 27 被 4 除尽,27 才被 9 除尽。 (4)只有 27 被 4 除尽,27 才被 8 除尽。 这是四个前后件真假情况各不相同的必要条件假言判断。其中,例(3)是明显虚假的,它的 前件“27 被 4 除尽”是假的,而它的后件“27 被 9 除尽”却是真的,可见其前件的真对于 后件的成立并不是必要的。而例(1)、例(2)和例(4)都不属于“前件假而后件真”的情况, 故这三个判断都是真的。必要条件假言判断形式 p ? q 的真值表如表 11 所示。 p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 表11 由真值表可见,必要条件假言判断为假的情况仅仅是“前件假而后件真”这一种。 在前后件的其它三种真假组合下, 必要条件假言判断都是真的。 这三种情况有两个明显 的特点:第一,当前件为真时(不论后件是真还是假),必要条件假言判断总是真的;第二, 当后件为假时(不论前件是真还是假),必要条件假言判断总是真的。因此,使必要条件假言 判断为真的条件是“前件真,或者后件假” 。 反蕴涵词“ ? ”不满足交换律。p ? q与q ? p不是逻辑等值的。 p? q 真 真 假 真

三、充要条件假言判断
充要条件,即充分必要条件。如果情况p是情况q的充要条件,那么,当p成立时,q一定 成立;当p不成立时,q一定不成立。或者说,若有p必有q,无p必无q,则p就是q的充要条件。 例如,“a被2整除”构成“a是偶数”的充要条件。当a被2整除时,a必是一个偶数;当a不 被2整除时,a一定不是偶数。 充要条件假言判断就是断定了前件是后件的充要条件的假言判断。例如:

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这三角形三边等长,当且仅当它的三个内角都是60度。 用p、q分别表示充要条件的假言判断的前、后件,则充要条件假言判断形式写作“p当 且仅当q”,或写作: p ?q 符号“ ? ”称双蕴涵词,用来表示断定两情况之间有充要条件联系。p ? q可读作“p是q 的充要条件”、 “p等值于q”或“p当且仅当q”等等。 断定p是q的充要条件,即有p必有q,无p必无q。这等于说p与q的真假值完全相同。 因此,当实际情况是p与q都真或都假时,充要条件假言判断p ? q是真实的;而当实际情况 是“p真而q假”或“p假而q真”时,充要条件假言判断p ? q便是假的。请看下面的例子: (1)4<6,当且仅当一6<-4; (2)4<6,当且仅当一4<一6; (3)6<4,当且仅当一6<一4; (4)6<4,当且仅当一4<一6。 这四个充要条件假言判断中,例(1)前后件都真,例(4)前后件都假,故例(1)和例(4)都是真 实的判断。例(3)与例(2)的前后件真假值相反,与充要条件假言判断断定等值的涵义相

悖,因而是虚假的判断。 充要条件假言判断p ? q与它的支判断p和q的真假制约关系如以下真值表:
p 真 真 假 假 q 真 假 真 假 表12 从真值表中可以看出, 充要条件假言判断的真假与它的支判断的位置无关, 符号 “ ?” 满足交换律: p ? q≡q ? p 这一逻辑等值关系表明:断定p是q的充要条件等于断定q是p的充要条件。因此,也可以说充 要条件的假言判断是断定前后件互为充要条件的假言判断。 p ?q 真 假 假 真

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第四节 负判断

一、负判断及其真假情况
人们能够运用判断对事物情况表示自己肯定尊否定的态度, 同时也能够对一个已作出的 判断加以肯定或否定。对一个判断的否定本身也是一个判断。 负判断就是通过否定一个判断而作出的判断。 例如,我们认为“地球是宇宙的中心”这个判断虚假,就可以用一个负判断来否定它: “并非地球是宇宙的中心” 。 一个负判断由两部分组成,即否定词和被否定的原判断。若用判断变项p表示原判断, 则负判断的一般形式可写作“并非p” ,或写作:

?p
符号“ ? ”称否定词,可读作“并非” 、 “非” 、 “不”和“并不”等等。 在汉语中,负判断可有多样的表达方式。否定词既可置于句首,也可置于旬尾或句中。 下列语句都表达负判断: 、 并非人人都自私自利。 并非华山比泰山高。 “知识无用”是不真实的。 这里,第一个例句被否定的原判断是“人人都自私自利” ,否定词是“并非” ;第二个例句被 否定的原判断是“华山比泰山高” ,否定词也是“并非” ;第三个例句被否定的原判断是“知 识无用” ,否定词是“是不真实的” 。 负判断与否定判断不是同一个概念。负判断是对某个判断的否定,它是一种复合判断。 否定判断则是性质判断的一种, 即联项的质为否定的判断, 其否定性不是作用于整个判断而 是作用于谓项。例如: 并非每个人都是善良的。 每个人都不是善良的。 这两个语句显然表达了两个意义截然不同的判断。前者是一个负判断,它的否定词“并 非”是用来否定紧随其后的那个全称肯定判断的。后者则是一个否定判断,其否定词“不” 仅仅针对联项“是” ,作用于谓项 “善良的” , 它的意义在于断定每个人都被排斥在“善良的” 这一类之外。

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由于负判断的否定词有时也放在句子的中部, 需要注意勿必对二者加以区别。 还是上面的例 子, “人不都是善良的”这个语句与“人都不是善良的”表面上很接近,实际却有很大差别, 一个是负断,另一个却是否定判断。 一个负判断是真的还是假的,完全决定于它的支判断(即被否定的原判断)的真假。如果 被否定的那个支判断是真实的, 那么该否定本身便是不正确的; 如果被否定的那个支判断是 虚假的,则该否定本身就是真实的。请看下面的例句; (1)并非人造卫星都是用于军事目的的。 (2)并非三角形的内角和等于180度。 例(1)是一个真实的负判断,被它否定的支判断“人造卫星都是用于军事目的的”是假 的。例(2)是一个虚假的负判断,因为它的支判断“三角形的内角和等于180度”是真的。一 个负判断 ? p与它的支判断p之间的真假制约关系如以下的真值表: p 真 假 表13 由真值表可见,负判断与其支判断的真假值完全相反,二者之间具有矛盾关系。

?p
假 真

二、与负判断逻辑等值的判断
关于负判断, 形式逻辑中所关注的是一判断的负判断逻辑值于什么样的判断。 进行这样 的研究,是为了要解决这样一问题,即否定一个判断相当于肯定了一个什么样的判断。 (一)与性质判断的负判断逻辑等值的判断 由上文我们看到, 负判断与支判断之间具有矛盾关系, 因—判断的负判断显然是与该支 判断的矛盾关系的判断逻辑等值的。 当着支判断是性质判断时, 根据逻辑方阵所概括的对当 关系, 很容易得出与该支判断的负判断逻辑另等值的判断。 下面的等值式反映了与各种性质 判断的负判断逻辑等值的判断。

? SAP≡SOP ? SOP≡SAP

? SEP≡SIP ? SIP≡SEP

? P(s) ≡ P (s)(或 ? (这个S是P)≡这个S不是P) ? P (s) ≡P(s)(或 ? (这个S不是P)≡这个S是P)

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例如,根据(1),我们有,“并非所有的金属都是固体”逻辑等值于“有的金属不是固 体” 。再如,根据(2),否定“没有水生动物是哺乳动物”所得出的是“有的水生动物是哺乳 动物” 。从等值式(5)、(6)可见,单称肯定判断的负判断等值于单称否定判断,单称否定判 断的负判断等值于单称肯定判断。因此,对于单称判断,否定性作用于整个判断与作用于谓 项从逻辑上来说是相等的。我们有“并非曹操不是政治家”等值于“曹操是政治家” , “并非 地球是恒星”等值于“地球不是恒星” 。由此,我们可以采取现代逻辑中通行的方式,将单 称否定判断的形式直接表示成单称肯定判断的负判断形式。例如,可不将“地球不是恒星” 表示为 P (a),而将其形式表示为 ? P(a)。 单称判断的负判断的这种情形还可以扩展到不带量项的关系判断的负判断, 就是说, 对 于这样的关系判断,否定性作用于整个判断与作用于关系项在逻辑上是相等的。我们有

? aRb≡a R b, ? a R b≡aRb
例如, “并非a大于b”逻辑等值于“a不大于b”“并非杜甫不认识李白”逻辑等值于“杜甫 认识李白” 。对于“a不大于b”,我们也可以将其形式直接写为 ? aRb。 (二)与复合判断的负判断逻辑等值的判断 1.与负判断的负判断等值的判断 下述等值式反映了与负判断的负判断相等值的判断: (0) ? ? p≡p 等值式(0)表示,一支判断的负判断的负判断等值于该支判断,通常将此说成是:双重否 定等于肯定。上述等值式在逻辑学中称作双重否定律。 2.与相容选言判断的负判断等值的判断 与相容选言判断的负判断等值的是联言判断,下面是等值式: (1) ? (p∨q) ≡ ? p∧ ? q 当等值式左边的判断形式 ? (p∨q)为真时,p∨q为假。由相容选言判断的真值表(见表 8)可见, p∨q为假,当且仅当,p、q都为假。再由联言判断的真值表(见表6),等值式右边 的联言判断形式 ? p∧ ? q恰好就在这种情况下为真。故 ? (p∨q) 为真则 ? p∧ ? q为真。 当等值式左边的判断形式 ? (p∨q)为假时,p∨q为真。由相容选言判断的真值表(见表 8)可见, p∨q为真, 当且仅当, (1)p真且q真, 或者(2)p真而q假, 或者(3)p假而q真。 当(1)p、 q都为真时, ? p、 ? q都为假,此时 ? p∧ ? q为假;当(2)p真而q假时, ? p为假、 ? q 为真,此时, ? p∧ ? q仍然为假;(3)当p假而q真时, ? p为真、 ? q为假, ? p∧ ? q还是 为假。故 ? (p∨q) 为假则 ? p∧ ? q为假。
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由此可知, ? (p∨q) 与 ? p∧ ? q真假完全相同,二者之间具有逻辑等值关系。 对等值式(1)也可以这样来理解: p∨q为真,当且仅当,(1)p真且q真,或者(2)p真而q假,或者(3)p假而q真。当(1)p、q 都为真时, ? p、 ? q都为假,此时 ? p∧ ? q为假;当(2)p真而q假时, ? p为假、 ? q为 真,此时, ? p∧ ? q仍然为假;(3)当p假而q真时, ? p为真、 ? q为假, ? p∧ ? q还是为 假。故p∨q为真则 ? p∧ ? q为假。 p∨q为假,当且仅当,p、q都为假,而 ? p∧ ? q恰好就在这种情况下为真。故p∨q为 假则 ? p∧ ? q为真。 由此可知,p∨q与 ? p∧ ? q的真假值相反,二者之间具有矛盾关系,所以,p∨q的负 判断等值于 ? p∧ ? q,否定p∨q逻辑等值于肯定 ? p∧ ? q。 等值式(1)告诉我们,相容选言判断的负判断等值于支判断的负判断构成的联言判断。 根据等值式(1),我们有,“并非或者小陈是候选人或者小王是候选人”等值于“并非 小陈是候选人,并且,并非小王是候选人”;后者又等值于“小陈不是候选人,并且小王不 是候选人”。 利用真值表很容易验证等值式(1)。 p q p∨q 真 真 真 假

? (p∨q)
假 假 假 真

?p
假 假 真 真 ③

?q
假 真 假 真 ④

? p∧ ? q
假 假 假 真 ⑤

真 真 真 假 假 真 假 假




表14

其中,①是按照相容选言判断的真值表由p、q的真假情况求出p∨q的真值。②是按照负 判断的真值表由p∨q的真假情况求出 ? (p∨q)的真值。③、④步也是按照负判断的真值表 由p的真假情况求出 ? p的真值、由q的真假情况求出 ? q的真值。⑤是按照联言判断的真值 表由 ? p、? q的真假情况求出 ? p∧ ? q的真值。由真值表可见,? (p∨q)与 ? p∧ ? q的真 假情况完全相同,可见等值式(1)是成立的。 3.与联言判断的负判断等值的判断 与联言判断的负判断等值的判断是相容选言判断,下述等值式反映了这一等值关系:

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(2) ? (p∧q) ≡ ? p∨ ? q 当等值式左边的判断形式 ? (p∧q)为真时,p∧q为假。由联言判断的真值表(见表6)可 见, p∧q为假,当且仅当,(1)p真而q假,或者(2)p假而q真,或者(3)p假且q假。当(1)p 真而q假时, ? p为假而 ? q为真,此时 ? p∨ ? q为真;当(2)p假而q真时, ? p为真、 ? q 为假,此时, ? p∨ ? q仍然为真;(3)当p假且q假时, ? p为真、 ? q为真, ? p∨ ? q还是 为假。故 ? (p∨q)为真则 ? p∨ ? q为真。 当等值式左边的判断形式 ? (p∧q)为假时,p∧q为真。由联言判断的真值表, p∧q为 真,当且仅当,p真且q真。此时, ? p、 ? q都为假,从而 ? p∨ ? q为假。故 ? (p∧q) 为 假则 ? p∨ ? q为假。 由此可知, ? (p∧q) 与 ? p∨ ? q真假完全相同,二者之间具有逻辑等值关系。 对等值式(2)也可以这样来理解: p∧q为真,当且仅当,p真且q真。此时, ? p、 ? q都为假,从而 ? p∨ ? q为假。故 p∧q为真则 ? p∨ ? q为假。 p∧q为假,当且仅当,(1)p真而q假,或者(2)p假而q真,或者(3)p假且q假。当(1)p真 而q假时, ? p为假而 ? q为真,此时 ? p∨ ? q为真;当(2)p假而q真时, ? p为真、 ? q 为假,此时, ? p∨ ? q仍然为真;(3)当p假且q假时, ? p为真、 ? q为真, ? p∨ ? q还是 为假。故p∨q为假则 ? p∨ ? q为真。 由此可知,p∧q与 ? p∨ ? q的真假值相反,二者之间具有矛盾关系,所以,p∧q的负 判断逻辑等值于 ? p∨ ? q,否定p∧q逻辑等值于肯定 ? p∨ ? q。 等值式(2)告诉我们,联言判断的负判断等值于支判断的负判断构成的相容选言判断。 等值式(2)与等值式(1)具有对偶性。 根据等值式(2)我们有,“并非老张和老李都是本公司的负责人”逻辑等值于”或者并 非老张不是本公司的负责人,或者并非老李不是本公司的负责人”,后者又逻辑等值于“或 者老张不是本公司的负责人,或者老李不是本公司的负责人”。 4.与充分条件假言判断的负判断等值的判断。 一个充分条件假言判断为假的情况是“前件真而后件假”, 因此, 否定一个充分条件假 言判断,必须在肯定其前件的同时否定它的后件。例如,要否定“如果鲸在水中生活,则鲸 用鳃呼吸”,我们只能采用联言判断的形式“鲸在水中生活,但鲸不用鳃呼吸”。 充分条件假言判断的负判断 ? (p ? q),断定p ? q为假,因而是断定了p真而q假,即p 真和 ? q假。由此可以得出下面的等值式:
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(3) ? (p ? q) ≡p∧ ? q 等值式(3)显示,与充分条件假言判断的负判断相等值的是该充分条件假言判断的前件 与后件的负判断所组成的联言判断。 结合到充分条件假言判断的真值表(见表11),等值式(3)并不难理解。从表1l,我们看 到,当且仅当“前真而后假”( p真而q假)时,充分条件假言判断为假,等值式(12)则显 示,充分条件假言判断的负判断的恰好就等值于一个断定“前真而后假” ( p真而q假)的 联言判断。 我们也可以利用真值表来证明等值式(3)。 根据等值式 (3), 与“并非若2l能被3除尽, 则21能被6除尽” 逻辑等值的联言判断是 “2l 能被3除尽而不能被6除尽”;与“并非如果李老师不讲逻辑课,王老师就讲数学课”逻辑等 傅的联言判断是“李老师不讲逻辑课而且王老师不讲数学课”。 5.与必要条件假言判断的负判断等值的判断 必要条件假言判断为假的情况是“前件假而后件真”, 否定一个必要条件假言判断, 必 须在否定其前件的同时肯定它的后件。例如,要否定“只有某甲出国留学,某甲才精通一门 外语”,就得运用联言判断“某甲没出国留学但某甲精通一门外语”。 一个必要条件假言判断的负判断 ? (p ? q)断定p ? q前件p假而后件q为真,也就是断 定了 ? p与q都真。由此,可得以下的等值式: (5) ? (p ? q) ≡ ? p∧q 等值式(13)显示, 与必要条件假言判断的负判断等值的是由该必要条件假言判断的前件的负 判断与后件组成的联言判断。 等值式(5)也可以与必要条件假言判断的真值表(表12)结合起来理解。由真值表可见, 必要条件假言判断为假,当且仅当“前假而后真”;而等值式(5)显示,必要条件假言判断 的负判断恰好就等值于一个断定“前假而后真”的联言判断。 等值式(5)也可以利用真值表来加以证明。 根据等值式(5)“并非只有21被6除尽,21才被3除尽”等值于“21不被6除尽而能被3除 尽”。再如,与“并非只有这个乡不遭水灾,但这个乡的粮食才获丰收,逻辑等值的联言判 断是“这个乡遭受水灾”。 以上介绍了与一些复合判断的负判断逻辑等值的判断, 我们用一些等值式概括了这样的 等值关系。 利用这些等值式, 我们便可以解决前面提到的否定一个复合判断相当于肯定一个 什么样的判断的问题, 在形式逻辑中, 这样的问题也就是求复合判断的负判断相等值的判断。
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例如: 写出与“除非老张退休,否则他不担任钓协负责人”的负判断逻辑等值的判断。 解:原判断形式为p ? q,根据 ? (p ? q) ≡ ? p∧q,故所求判断为“并非老张退休, 并且,老张担任钓协负责人”。(或:“老张不退休,并且他担任钓协负贵人”。) 下面,我们重新再列出上面所介绍的那些等值式。其中,等值式(4)、(6)并未在上 文加以介绍,将在这里再作些说明。 (1) ? (p∨q)≡ ? p∧ ? q (3) ? (p ? q)≡p∧ ? q (5) ? (p ? q)≡ ? p∧q (2) ? (p∧q)≡ ? p∨ ? q (4) ? (p∧q)≡p ? ? q (6) ? (p∧q)≡ ? p

不难看出,偶数序号的等值式与其左边的奇数序号的等值式具有对偶性。其中的(1) 与(2)已在上面作了介绍。这两个等值式,其间的对偶性在于,否定联言得相容选言,否 定相容选言得联言, 联言的负判断等值于两个支判断的负判断组成的相容选言判断, 相容选 言的负判断等值于两个支判断的负判断组成的联言判断。 现在, 这种对偶性又得到了进一步 的扩展,这就是,否定充分条件假言得联言,否定联言也可以得充分条件假言充分条件。假 言的负判断等值于一个肯定“前真而后假”的联言(即由前件和后件的负判断组成的联言), 联言的负判断也等值于前一支判断与后一支判断的负判断组成的充分条件假言; 否定必要条 件假言得联言, 否定联言也可以得必要条件假言; 必要条件假言的负判断等值于一个肯定 “前 假而后真” 的联言(即由前件的负判断和后件组成的联言), 联言的负判断也等值于前一支判 断的负判断与后一支判断组成的必要条件假言。 上述关于对偶性的说明,对于识记这些等值式有一定的帮助。不过,要真正理解、把握 这些等值式,仍然离不开多作习题,多对有关的具体问题加以分析。 (三)求多重复合判断的负判断相等值的判断 所谓多重复合判断,指的是其支判断仍是复合判断的复合判断。实际上,上面我们已经 考察了多种以复合判断为支判断的负判断, 以及以负判断为支判断的复合判断, 这些判断也 属于多重复合判断。 这里要介绍的, 是如何利用上面所介绍的那些等值式来求与多重复合判 断的负判断逻辑等值的判断。这个问题,其实就是这些等值式的综合运用问题。 为了能以较为简单的公式分析多重复合判断的形式,我们约定,合取词、析取词(相容 的与不相容的)的结合力强于蕴涵词(以及反蕴涵词、双蕴涵词)。这样,便可以省出一些括 号而不致引起混淆。 事实上, 在前文的论述中, 我们已经将否定词的结合力当作是最强的了。 (因为, 若不其然,则像 ? p∧q 这样的判断形式, 就不会视为联言判断形式而可能被误
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解为 ? (p∧q)这样一个负判断形式了。) 下面是多重复合判断的例子: (1)如果小刘学习努力并且有正确的学习方法,那么他能学好数学。 (2)小张的数学、外语和物理考试都没有及格。 (3)如果老王坚持长跑或坚持练气功,那么,不仅他的气管炎能治愈,而且他的关 节炎也不会重犯。 这些判断的形式可依次分析如下: (1)pl∧p2 ? p3 (2) ql∧q2∧q3 (3) rl∨r2 ? r3∧r4 其中,判断形式(1)、(3)中都已按上述约定省出了不必要的括号,它们分别相当于 (1’) (pl∧p2) ? p3 (3’) ( rl∨r2) ? (r3∧r4 ) 如果利用单称判断负判断的等值判断公式,(2)、(3)也可以分析为: (2 ) ? ql∧ ? q2∧ ? q3 (3 ) rl∨r2 ? r3∧ ? r4 判断形式(1)、(2)、(3)中各变项所代表的支判断请读者自己分析。现在,我们按步骤 写出求这些判断的负判断逻辑等值的判断的过程, 并在每一步骤的后面加括号写出其所根据 的等值式。 解答(1):
* *

? ( pl∧p2 ?p3)
≡ ( pl∧p2) ∧ ? p3 ≡ pl∧p2 ∧ ? p3 解答(2): (根据等值式(3)) (省略括号)

? (ql∧q2∧q3)
≡ ? ((ql∧q2) ∧q3) ≡ ? (ql∧q2) ∨ ? q3 ≡( ? ql∨ ? q2) ∨ ? q3 ≡ ? ql∨ ? q2∨ ? q3 (添加括号) (根据等值式(2)) (根据等值式(2)) (省略括号)
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解答(3):

? ( rl∨r2 ? r3∧r4 )
≡(( rl∨r2) ? (r3∧r4 )) ≡( rl∨r2) ∧ ? (r3∧r4 ) ≡( rl∨r2) ∧( ? r3∨ ? r4 ) (添加括号) (根据等值式(3)) (根据等值式(2))

这样,与上述这些多重复合判断的负判断逻辑等值的判断依次为: (1)小刘虽然学习努力且有正确的学习方法,但没能学好数学。 (2)如果小张的数学、外语考试没有及格,那么他的物理考试及格了。 (3)虽然老王坚持长跑或坚持练气功,但是,或者他的气管炎未能治愈,或者他的关 节炎重犯了。

第五节

对复合判断间等值关系的进一步认识

在这一节,我们还要介绍一些等值式,这些等值式所反映的,除复合判断的负判断与特 定的复合判断之间的等值关系外,还有并非负判断的复合判断之间的等值关系。

一、等值关系
1.充分条件假言判断与相容选言判断之间的等值关系 充分条件假言判断与相容选判断之间的等值关系可以下列等值式来加以概括: (7)p ? q≡ ? p∨q (8)p∨q≡ ? p ? q

且以等值式(7)为例来说明这种等值关系。p ? q为假,当且仅当p真而q假,在其余情况下 p ?q都为真。 ? p∨q为假,当且仅当 ? p、q都为假即p真而q假,在其余情况下 ? p∨q都为 真。由此可见,p ? q的真值与 ? p∨q相同,从而它们是等值的。对等值式(8)可以类似 地加以说明。 例如,根据等值式(7),“如果该厂要扭亏为盈,那么就得生产产销对路的产品”等 值于“或者该厂不扭亏为盈,或者该厂生产产销对路的产品”。 再如,根据等值式(8),“或者老张去参加会议,或者老李去参加会议”等值于“如 果老张不去参加会议,那么老李去参加会议”。 2.必要条件假言判断与相容选言判断之间的等值关系

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必要条件假言判断与相容选言判断之间的等值关系可以下列等值式来加以概括; (9)p ? q≡p∨ ? q (10) p∨q≡p ? ? q

且以等值式(10)为例来说明这种等值关系。p∨q为假,当且仅当,p、q都为假,其余 情况下p∨q都为真。p ? ? q为假,当且仅当,p假而 ? q真(即p、q都为假),其余情况下 p ? ? q都为真。由此可见,p∨q与p ? ? q的真值完全相同,因此它们是逻辑等值的。对 等值式(9)可以类似地加以说明。 例如,根据等值式(10),“或者老张去参加会议,或者老李去参加会议”等值于“只 有老张去参加会议,老李才不去参加会议”。再如,根据等值式(9),“除非老王戒烟, 否则他不能治好气管炎”等值于“或者老王戒烟,或者他不能治好气管炎”。 3.充分条件假言判断与必要条件假言判断之间的等值关系 对于任何两种情况p、q而言,若q是的p充分条件,则p就是q的必要条件;若p是q的必 要条件,则q就是p的充分条件。 例如,当a能被4除尽时,a必能被2除尽,“a被4除尽”是“a被2除尽”的充分条件。同 时,若a不被2除尽,则a必不被4除尽,“a被2除尽”是“a被4除尽”的必要条件。 充分条件与必要条件的上述相对的关系反映在假言判断中, 就表现为充分条件假言判断 与必要条件假言判断之间的等值关系。由于充分条件假言判断断定了前件是后件的充分条 件,因而也就同时断定了后件是前件的必要条件。同理,必要条件假言判断既然断定了前件 是后件的必要条件, 它也就同时断定了后件是前件的充分条件。 这一规律可用以下逻辑等值 式来表示: (11)p ? q≡q ? p (12)p ? q≡q ? p

实际上, 由于等值式两边可以互换位置而等值关系保持不变, 又由于变项的符号对于判 断形式并无影响,因此,上述两个等值式可以其中的任一个得出。 利用上述等值式, 任给一充分条件假言判断, 我们总能构造出与它逻辑等值的必要条件 假言判断。“如果某甲是本案罪犯,则某甲到过作案现场”是一个充分条件假言判断,与它 逻辑等值的必要条件假言判断是:“只有某甲到过作案现场,某甲才是本案罪犯”。 同样,利用上述等值式,任给一必要条件假言判断,我们也能构造出与它逻辑等值的充 分条件假占判断。“只有某甲满了18岁,某甲才有选举权”是一个必要条件的假言判断,与 它逻辑等值的充分条件假言判断是“如果某甲有选举权,那么某甲一定满了18岁”。 4.假言易位的等值关系 既然若p是q的充分条件,则q就是p的必要条件,那么,根据必要条件的定义,若q不成
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立,p就一定不成立,就是说,若否定q,就一定要否定p,亦即,若肯定非q,就一定要肯定 非p;同时,若q成立,p不一定成立,就是说,若肯定q,不一定肯定p,亦即,若否定非q, 不一定否定非p。这样,非q就是非p的充分条件。 例如, “天下雨”是“操场地湿”的充分条件, “操场地湿”是“天下雨” 的必要条件, 从而, “操场地不湿” (“并非操场地湿”)是“天未下雨” ( “并非天下雨”)的充分条件。 . 上述情形反映在假言判断中,便有如下的等值式: (13)p ? q≡ ? q ? ? p 等值式(13)称作“假言易位”。它表明,对充分条件假言判断,若将其前件的负判断作为 后件,将后件的负判断作为前件,所组成的新的充分条件假言判断与原判断逻辑等值-o 例如,“如果某甲是作案人,那么他要有作案时间”逻辑等值于“如果某甲没有作案时间, 那么他不是作案人”。 假言易位的等值关系也适合于必要条件假言判断。我们有 (14)p ? q≡ ? q ? ? p 可以按照与前面的说明类似的方式并利用等值式(8)来理解等值式(14)。事实上, 如果p是q的必要条件,那么q就是p的充分条件。根据等值式(13), ? p是 ? q的充分条件。 从而, ? q便是 ? p的必要条件。 根据等值式(14),我们有,“只有某甲认识错误,某甲才能改正错误,,逻辑等值于 “只有某甲不改正错误,某甲才能不认识错误”。 根据等值式(11)一(14),任一充分条件假言判断或(必要条件假言判断),都等值于 另外的一个充分(或必要)条件假言判断及两个必要(或充分)条件假言判断。 例如, 我们可以 写出与“只有认识错误,才能改正错误”逻辑等值的另外三个假言判断: 原判断形式为p ? q。 根据p ? q≡q ? p, 可得到与原判断等值的充分条件假言判断 “如 果要改正错误,那么就要认识错误”。根据p ? q≡ ? q ? ? p,可得到与原判断等值的必 要条件假言判断“只有不改正错误,才能不认识错误”。根据p ? q≡ ? p ? ? q (即根据 p ? q≡q ? p≡ ? p ? ? q),可写出与原判断等值的充分条件假言判断“如果不认识错误, 那么就不能改正错误”。 5.与不相容选言判断、充要条件假言判断的负判断等值的判断 不相容选言判断、 充要条件假言判断互为负判断的等值判断, 下列等值式反映了这样的 等值关系: (15) ? (p q) ≡ p ? q
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(16) ? (p ? q) ≡ p q 由不相容选言判断的真值表(表9)与充要条件假言判断的真值表(表12)很容易看出, p q与p ? q真值完全相反,二者之间具有矛盾关系。因此,不相容选言判断的负判断等值 于充要条件假言判断,充要条件假言判断的负判断等值于不相容选言判断。 例如, “并非要么甲队出线要么乙队出线”等值于“甲队出线, 当且仅当, 乙队出线” 。 “并非老赵参加篮协当且仅当老孙参加篮协”逻辑等值于“要么老赵参加篮协,要么老李参 加篮协”。 6.充分必要条件假言判断、不相容选言判断与联言判断之间的关系 充分必要条件假育判断与不相容选言判断分别都等值于一种联言判断, 该联言判断的支 判断也是复合判断。我们有以下的等值式: (17)p ? q ≡(p ? q) ∧(p ? q) (18)p q ≡(p∨q) ∧ ? (p∧q)

这两个等值式从直观上很容易把握。等值式(17)的右边断定:p是q的充分条件,并且 p又是q的必要条件。这样一个联言判断当然就等值于充分必要条件假言判断p ? q。 例如, “a>b当且仅当-a<-b”等值于“如果a>b, 那么-a<-b; 并且, 只有a>b, 才有-a<-b。”实际上,在日常汉语中,后一判断较之于前一判断更为人所熟悉。利用等 值式(11)一(14),充分必要条件假首判断与联言判断之间的等值关系还可以表达成以下 多种多样的等值式: (17a) (17b) (17c) (17d) (17e) (17f) (17g) p ? q ≡(p ? q) ∧(q ? p) p ? q ≡(p ? q) ∧( ? p ? ? q) p ? q ≡(p ? q) ∧( ? q ? ? p) p ? q ≡(q ? p) ∧(p ? q) p ? q ≡(q ? p) ∧(q ? p) p ? q ≡(q ? p) ∧( ? p ? ? q) p ? q ≡(q ? p) ∧( ? q ? ? p)

??等等。 余下还有8个等值式,请读者自己由等值式(17)利用等值式(11)-(14)写出这些反映 充分必要条件假言判断与联言判断之间的等值关系的等值式。 再来看等值式(18)。它的右边断定,p、q至少有一成立,并且,并非p与q同时成立; 即,p、q至少并且至多有一个成立。这样一个联言判断与不相容选言判断之间的等值关系也 是很显然的。
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等值式(18)的例子如,“要么派小王去学习,要么派小张去学习”等值于“或者派小 王去学习。或者派小张去学习;并且,并非既派小张又派小王去学习”。 利用等值式②,由等值式⑩还可以得出: (18a) p q ≡(p∨q) ∧ ( ? p∨ ? q) 现在.我们再将本书所介绍的一些主要的等值式集中地排列在下面: (0) ? ? p≡p (1) ? (p∨q)≡ ? p∧ ? q (3) ? (p ? q)≡p∧ ? q (5) ? (p ? q)≡ ? p∧q (7)p ? q≡ ? p∨q (9)p ? q≡p∨ ? q (11)p ? q≡q ? p (13)p ? q≡ ? q ? ? p (15) ? (p q) ≡ p ? q (17)p ? q ≡(p ? q) ∧(p ? q) (2) ? (p∧q)≡ ? p∨ ? q (4) ? (p∧q)≡p ? ? q (6) ? (p∧q)≡ ? p ? q (8)p∨q≡ ? p ? q (10) p∨q≡p ? ? q (12)p ? q≡q ? p (14)p ? q≡ ? q ? ? p (16) ? (p ? q) ≡ p q (18)p q ≡(p∨q) ∧ ? (p∧q)

容易看出,除等值式(0)、(13)、(14)、(17)、(18)外,其余每一行所列的 一对等值式,也都具有在第四节曾经说明过的那种对偶性。这就是说,充分条件假言判断等 值于前后件交换位置所组成的必要条件假言判段, 必要条件假言判断又等值于前后件交换位 置所组成的充分条件假言判断;充分条件假言判断等值于前件的负判断与后件所组成的相

容选言判断, 相容选言判断又等值于前一支判断的负判断作为前件与后一支判断作为后 件所组成的充分条件假言判断; 必要条件假言判断等值于前件与后件的负判断所组成的 相容选言判断, 相容选言判断又等值于前一支判断作为前件与后一支判断的负判断作为 后件所组成的必要条件假言判断。

二、“猪腰图”
本节和第四节所介绍的等值式, 除有关性质判断、 关系判断的负判断的等值式以外, 反映复合判断及其负判断与其它判断之间等值关系的,共有19个。这19个等值式中的绝 大多数都可以概括在一个被称作“猪腰图”的示意图中:

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图17 这个“猪腰图”中概括了6对共12个等值式,即等值式(1)-(12)。下面,我们某对 这个示意图加以说明。 1.∧、∨、 ? 、 ? 分别表示联言、相容选言、充分条件假言与必要条件假言判断。 2.所谓“加非”是指在支判断前加否定词“ ? ”或在整个判断前加否定词“ ? ”。 其中,图上部的“进出加非”指在联言判断的前面加否定词“ ? ”可以转换为与其等值的 其它判断(这叫做“出加非”,即由联言判断的负判断转换为其它判断),以及在其它判断的 前面加否定词“ ? ”可以转换为与其等值的联言判断(这叫做“进加非”,即由其它判断的 负判断转换为联言判断;此时是在其它判断的前面加上括号并加上“ ? ”,而不在联言判 断的前面加括号再加上“ ? ”)。图中其余的“前加非”、“后加非”指在前一支判断前 “ ? ”、在后一支判断前加“ ? ”。“进出加非”所指的是将“ ? ”加在等值式左边的判 断前,而“前加非”、“后加非”所指的是将“ ? ”加在等值式右边的判断中的前一支判 断前、后一支判断前。 3.示意图显示,在联言判断前加上“ ? ”(出加非)等值于前一支判断前加上“ ? ”且 后一支判断前也加上 “?” (前加非、 后加非)的相容选言判断, 又等值于后件前加上 “ ? ”(后 加非)的充分条件假言判断,还等值前件前加上“ ? ”(前加非)的必要条件假言判断。 反之, 在相容选言判断前加上“ ? ”(相对于联言判断来说,这叫“进加非”)等值于前一支判断 前加上“ ? ”且后一支判断前边加上“ ? ”(前加非、后加非)的联言判断;在充分条件假 言判断前加上“?”(进加非)等值于后件前加上“ ? ”的联言判断;在必要条件假言判断前 加上“ ? ”(进加非)等值于前件前加上“ ? ”的联言判断。

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这就是说,联言的负判断等值于相容选言判断,也等值于充分条件假言判断,还等值于 必要条件假言判断;而相容选言判断、充分条件假言判断、必要条件假言判断的负判断都等 值于联言判断。 4.示意图显示,相容选言判断与充分条件假言判断、必要条件假言判断这三种判断相 互间的转换都不在判断的前面加 “ ? ”, 而只需在所转换成的等值判断(即等值式右边的题) 的支判断前加“ ? ”。具体说来,相容选言等值于前件前加“ ? ”的充分条件假言判断, 充分条件假言判断也等值于前一支判断前加“ ? ”的相容选言判断;相容选言判断等值于 后件前加“ ? ”的必要条件假言判断,必要条件假言判断也等值于后件前加“ ? ”的相容 选言判断; 充分条件假言判断等值于前后件交换位置后所得的必要条件假言判断, 必要条件 假言判断也等值于前后件交换位置后所得的充分条件假言判断。 5.当一判断的支判断中有一个为负判断或两个都是负判断时,仍可按图示转换为与其 等值的别的判断。例如:

? ( ? p ?q)≡ ? p∧ ? q (按图示,在原判断 ? p ? q前加“ ? ”,再对后一个支判断
加“ ? ”)

? ( ? p∧ ? q)≡ ? ? p ? ? q,再根据 ? ? p≡p,有 ? ( ? p∧ ? q)≡p ? ? q。
图17因其外部轮廓酷似猪腰子(猪的肾脏),故名“猪腰图”。这一示意图可帮助我们记 忆大多数有关复合判断及其负判断的等值公式, 但它并不能作为这些等值公式的根据。 并且, 对于初学形式逻辑的人来说, 切不可采取死记硬背此示意图来代替对前文所述基本等值关系 的理解。否则,将不利于我们对形式逻辑基础知识的学习和把握。

三、等值式的变形和归约
下面,我们再介绍一些变形的方法,利用这些方法,可以将前述的等值式归约为数量更 少的等值式。 变形方法有两种,即否定词转移法与代入法。 否定词转移法是将等值符号一端的否定词移至另一端, 从而将一等值公式变形为另一等 值公式的方法。假定公式 ? A与B是逻辑等值的,即:

? A≡B
运用否定词转移法可将它变形为: A≡ ? B 否定词转移法的可行性是由逻辑等值概念本身决定的, 同时应用了双重否定规律。 因为
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当 ? A与B逻辑等值时,对二者同时予以否定也应是逻辑等值的,即;

? ? A≡ ? B
而 ? ? A≡A,故得:

? A≡B
另一种变形方法是代入法。 代入法就是用某个公式去替换一等值式中同一变项符号的每 处出现,从而得出另一等值公式的方法。例如对等值式 ? (p∧q)≡p ? ? q中的q用 ? q去替 换,可得

? (p∧ ? q)≡p ? ? ? q
利用否定词转移法和代入法,利用等值式(0)(双重否定律),再根据等值式两边可 相互交换位置的性质,我们可以由等值式(1)一(8)中的任一等值式得出新的等值式。例 如,对等值式(3) ? (p ? q)≡p∧ ? q 应用否定词转移法,我们有 p ? q ≡ ? (p∧ ? q) 用 ? q代入q,有 利用双重否定律,有 等值式两边交换位置,有 p ? ? q ≡ ? (p∧ ? ? q) p ? ? q ≡ ? (p∧q) (4) ? (p∧q)≡p ? ? q

这样,我们就由等值式(3)得出了等值式(4)。 应用与此类似的方法,我们可以将猪腰图所概括的12个等值式以及等值式(15)、 (16) 减少一半,即将其中的7个归约为与其成对的另外7个。或者换一种说法,对这14个等值式, 我们可以由其中的7个利用否定词转移法与代入法这两种变形方法,在必要时交换等值式两 边的位置,以及利用双重否定律消去双重否定,便可以推导出与其成对的另外7个等值式。

第五节 真值表方法及复合判断间的对当关系

一、真值表方法
真值表是一种非常有用的工具, 利用这一工具, 不仅可以一目了然地显示任一种基本的复合 判断形式的真值情况, 而且还可以借助它判别任给的两个复合判断形式是否等值(在第四节, 我们已应用这一工具证明了等值式 ( 1) ), 以及计算任给的一多重复合判断形式的真值。

(一)用真值表判定逻辑等值关系 由真值表可以计算出任何一个复合判断的真值, 它也可以用来判定或验证任何两个
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复合判断是否逻辑等值。判定方法是:在同一真值表上分别求出需要判定的两个公式的 真值,如果两公式在同一真值表上取得完全相同的真值,则这两个公式就被判定为逻辑 等值的。反之,它们之间就没有逻辑等值关系。 例1 用真值表判定 ? ( ? p ? ? q)与p∧ ? q是否逻辑等值:
p q

? p ? q ? p ? ? q ? ( ? p ? ? q) p∧ ? q
真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 假

真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 真 真

从真值表中可以看出,当p真q假或p假q真时 ? ( ? p ? ? q)与p∧ ? q的取值不同,二者 不是逻辑等值的。 例2 用真值表判定 ? p∨q 与 ? (p∧ ? q)是否逻辑等值:
p q

?p ?q

? p∨q
真 假 真 真

p∧ ? q ? (p∧ ? q) 假 真 假 假 真 假 真 真

真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 真 真

判断形式 ? p∨q 与 ? (p∧ ? q)在真值表中取得完全相同的真值,二者是逻辑等值的。. 例3 用真值表判定“只有老王不练气功,老王才打太极拳”与“老王不练气功或不打 太极拳”是否逻辑等值。 解:用p表示“老王练气功”,用q表示“老王打太极拳”,这样,例3的两个判断的形 式分别为 ? p ? q、 ? p∨ ? q ,其真值表为: p q

? p ? q ? p? q
假 真 真 真

? p∨ ? q
假 真 真 真

真 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 真 真

此真值表表明例3两个判断是逻辑等值的。

80

(二)用真值表求多重复合判断形式的真值 对这类问题常常首先需要分析出一多重复合判断的形式,然后再和J用真值表来计算其 真值。对一个多重复合判断做逻辑的分析,应首先区分出它们的复合层次,从它的几个逻辑 联结词中找出决定基本类型的、 起主要作用的联结词, 并逐层地加以分析。 请看下面的例句。 “只要甲队和乙队都不参加决赛,丙队就获得冠军或者丙队进入决赛”。 这个多重复合判断既含有蕴涵词又含有合取词和析取词, 但起主要作用的是蕴涵词, 因而是 一个充分条件的假言判断,它的前件是一个联言判断,后件是一个相容选言判断。其形式为 ( ? p∧ ? q) ? (r∨s) 又如, “张三是一个教育工作者,而且只有张三不是教育工作者,李四才不认识他”。 这个判断中的主联结词是合取词,它的一个支判断是必要条件假言判断。其形式为: p∧( ? q ? ? r) 求多重复合判断形式真值可按下述步骤进行: 第一, 将该多重复合判断中的变项符号列 在真值表左端各列。并将各种不同的真值赋值尽行列出,(若变项的个数为n,则n个变项的 真值赋值应为2 个);第二,按复杂程度由小到大逐层分析出多重复合判断的支判断,并依 次排列在真值表的各列;第三,先求出支判断的值,最后求出整个多重复合判断的真假值。 例如,求多重复合判断形式 ? ( ? p∧ ? q) ? p的真值: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
n

?p
假 假 真 真

?q
假 真 假 真

? p∧ ? q ? ( ? p∧ ? q) ? ( ? p∧ ? q) ? p
假 假 假 真 真 真 真 假 真 真 假 真

利用真值表方法计算一复合判断形式的真值在复合判断的推理理论中还有重要的应用, 我们将在介绍这一理论时再说明真值表方法的这种应用。

二、复合判断间的对当关系
在复合判断形式之间,也存在着类似于A、E、I、O之间所具有的各种对当关系。从第四 节的介绍中, 我们实际上已经看到了与各种复合判断形式具有矛盾关系的复合判断形式。 例 如,由等值式(2)、(1)可知p∧q与 ? p∨ ? q之间具有矛盾关系,p∨q与 ? p∧ ? q之间
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具有矛盾关系。 利用真值表, 我们可以更进一步地了解复合判断形式之间所有存在的反对关 系、下反对关系以及差等关系。 例如,观察p∧q与p∨q的真值表(见表6、表8),可以看出:若p∧q为真,则p∨q为真, 当p∧q为假时,p∨q可真可假;反之,当p∨q为真时,p∧q可真可假,若p∨q为假,则p∧q 为假。可见,p∧q与p∨q之间具有差等关系。 为进一步认识p∧q、 ? p∧ ? q、p∨q与 ? p∨ ? q之间的真假关系,我们不妨用一个真 值表求出这4个判断形式的真值: p 真 真 假 假 q 真 假 真 假

?p
假 假 真 真

?q
假 真 假 真

p∧q ? p∧ ? q 真 假 假 假 假 假 假 真

p∨q 真 真 真 假

? p∨ ? q
假 真 真 真

由真值表可见,若 p∧q 为真,则 ? p∧ ? q 为假,当 p∧q 为假时 ? p∧ ? q 可真可假; 反之,若 ? p∧ ? q 为真,则 p∧q 为假,当 ? p∧ ? q 为假时,p∧q 可真可假.由此可知, p∧q 与 ? p∧ ? q 之间具有反对关系。 当 p∨q 为真时, ? p∨ ? q 可真可假,若 p∨q 为假,则 ? p∨ ? q 为真; 反之, 当

? p∨ ? q 为真时,p∨q 可真可假,若 ? p∨ ? q 为假,则 p∨q 为真。 由此可知,p∨q 与
? p∨ ? q 之间具有下反对关系。
这样 p∧q、 ? p∧ ? q、p∨q 与 ? p∨ ? q 之间就存在有类似于 A、E、I、O 之间所具有 的那些对当关系,于是,可以用我们在第二章第二节所介绍的逻辑方阵(图 16)来表示它们 之间的关系:

82

具有这些对当关系的复合判断形式还有很多。例如。在 p∧q、p∧ ? q、p ? q、p ? ? q

? p∨q、 ? p∧ ? q、 之间, 在 ? p∧q、 p∧ ? q、 p∨ ? q 之间, 在 p q、 p∨q、 p ? q 之间, ??
也可以建立起类似的逻辑方阵。 ≡? ? ? ? ∨∧

第七节

模态判断

模态一词是英文 ModaI 的译音,它的本意是“情态”、“形式”、“形态”和“语气” 等等。 模态的种类很多。 “必然”和可能”是真理论模态, “应当”和“可以”是道义论模态。 此外.还有认知模态、时间模态等等。在形式逻辑中,仅介绍有关真理论模态的初步知识。

一、模态判断的结构和类型
模态判断就是含有模态词的判断。如: (1)中国女排必然战胜日本女排。 (2)他可能参加这次考试。 这两例都是模态判断。例(1)含有模态词“必然”,是一个必然模态判断;例(2)含有模 态词“可能”,是一个可能模态判断。 在汉语表达中,模态词可以中置,如例(1)和例(2),也可以前置或后置。请看下面的句 子: (3)必然是中国女排战胜日本女排。 (4)中国女排战胜日本女排是必然的。 (5)可能他参加这次考试。 (6)他参加这次考试是可能的。 模态判断分为必然判断和可能判断两类, 而每一类又都有肯定和否定两种形式。 所以模 态判断包括四种形式:必然肯定、必然否定、可能肯定和可能否定。 1.必然肯定判断 必然肯定判断是断定某种情况的成立具有必然性的判断。 例如 “人类必然向太空发展” , 便断定了 “人类向太空发展” 这种情况成立具有必然性。 若用符号 p 表示“人类向太空发展” 这一判断,则这个必然肯定判断的形式是“必然 p”。也可以写做:

83

口 p (“口”代表“必然”) 2.必然否定判断 必然否定判断是断定某种情况不成立具有必然性的判断。 如 “历史必然不出现大倒退” , 这个判断断定“历史出现大倒退不成立” 是具有必然性的。若用 p 表示“历史出现大倒退”, 则这个必然否定判断的结构形式是“必然不 p”(或“必然非 p”),也可写做: 口?p 3.可能肯定判断 可能肯定判断是断定某情况的成立具有可能性的判断。例如“明天下雨是可能的,”这 个判断断定了“明天下雨”这种情况成立的可能性。用 p 表示“明天下雨”.则它的结构形 式是“可能 p”,也可写作: ◇p(“◇”表示“可能”) 4.可能否定判断 可能否定判断是断定某情况不成立是具有可能性的判断。例如“这场比赛可能不举 行”.这一判断断定“这场比赛不举行”这种情况不成立是可能的。若用 p 表示“这场比赛 举行”,则这个可能否定判断的结构形式是“可能不 p”(或“可能非 p”),也可写成: ◇?p 二、模态判断的真假关系 关于模态判断的真假, 不同的逻辑理论有不同的解释, 而不同的解释又往往会产生不同 的结果。下面介绍的只是基于一种最简单的解释而得到的一些基本的较直观的真假关系。 一个模态判断的真假显然不同于一个非模态判断的真假。 对于非模态判断而言, 一个相 应的事实往往能够证实或驳斥一个非模态判断。例如,当说“今天的确下了雨”时,“今天 下雨”这个非模态判断就得到证实,它是真判断;而另一个非模态判断“今天不下雨”就被 驳斥了,它是一个假判断。然而,对于模态判断来说,一个相应的事实有时并不能决定它的 真与假。即使“今天下雨”是一个事实,“今天必然下雨”也不见得是一个真判断,因为有 些事实完全可以认为是假然的而非必然的。同理,“今天下雨”这一事实也不能决定“今天 可能不下雨”为假:可能性也不以既成事实为转移。 为了解释模态判断的真假, 我们在这儿引进“可能世界”的概念。 一个可能世界可以看 做是一些不互相矛盾的事物情况的集合。 而现实世界则可看作众多可能世界中的一个。 这样, 对四种不同形式的模态判断可以做如下解释: 口 p 是真的,当且仅当 p 在每一个可能世界中都真;
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口 ? p 是真的,当且仅当 p 在每一个可能世界中都是假的 ◇p 是真的,当且仅当 p 至少在某个可能世界中是真的; ◇ ? p 是真的,当且仅当 p 至少在某个可能世界中是假的。 按照上述解释,口 p、口 ? p、◇p 与◇ ? p 四个判断的关系,与性质判断 A、E、l、O 间真假关系便是类似的。下面将分别论述。 1.口 p 与口 ? p 之间的关系 口 p 与口 ? p 之间具有反对关系, 二者不能同真, 但可能同假: 当其中一个判断为真时, 另一个判断必假;当其中一个判断为假时,另一个判断真假不定。例如, “这次卫星发射必然成功”与“这次卫星发射必然不成功” 这两个判断之间便具有反 对关系。 2.◇p 与◇ ? p 之间的关系。 ◇p 与◇ ? p 之间具有下反对关系,二者不能同假,但可能同真.当其中一个判断为假 时,另一个判断必真,当其中一个判断为真时,另一个判断真假不定。例如, “某甲可能去北京开会”与“某甲可能不去北京开会” 这两个判断之间便具有下 反对关系。 3.口 p 与◇p、口 ? p 与◇ ? p 的关系。 口 p 与◇p 之间的关系、口 ? p 与◇ ? p 之间的关系都是差等关系。当必然模态判断为 真时,相应的可能模态判断必真;当可能模态判断为假时瑚应的必然模态判断必假;当必然 模态判断为假时,相应的可能模态判断真假不定,当可能模态判断为真时,必然模态判断真 假不定。例如: “这本书必然畅销”与“这本书可能畅销” 这两个判断之间便具有差等关系。 “某地必然不发生地震” 与 “某地可能不发生地震” 这两个判断之间也具有差等关系。 4.口 p 与◇ ? p、口 ? p 与◇ ? p 的关系 口 p 与◇ ? p 之间的关系、口 ? p 与◇p 之间的关系都是矛盾关系,即不同真也不同假 的关系.当其中一个判断为真时,另一个判断必假;当其中一个判断为假时,另一个判断必 真。例如。 “某企业必然转产”与“某企业可能不转产” 这两个判断之间便具有矛盾关系。 “某甲必然不参加这次会议”与“某甲可能参加这次会议” 这两个判断之间也具有矛 盾关系。 四种模态判断之间的真假关系也可用一逻辑方阵来加以表示:
85

三、模态判断的负判断 否定一个模态判断就得到一个模态判断的负判断, 对一个模态判断的否定, 其实质是对 模态概念的否定。因此,模态判断的负判断分为两类:不必然判断和不可能判断。 1.不必然判断 不必然判断是必然判断的负判断,它包括不必然肯定判断和不必然否定判断两种形式。 例如: (1)并非今年小春作物必然丰收。 (2)今年小春作物不必然不丰收。 这两例都是不必然判断。其中,例(1)是一个不必然肯定判断,其结构形式是

?口 p
例(2)是一个不必然否定判断。它的结构形式是

?口?p
2.不可能判断 不可能判断是可能判断的负判断,它包括不可能肯定判断和不可能否定判断两种形式。 例如: (3)中国不可能复辟资本主义。 (4)并非物价可能不上涨。 这两例都是不可能判断。其中,例(3)是一个不可能肯定判断,其形式结构是

? ◇p
例(4)则是一个不可能否定判断,其形式结构是

?◇?p
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3.模态判断间的逻辑等值关系 由于必然肯定判断口 p 与可能否定判断◇ ? p 之间的关系是矛盾关系。因此。 ? 口 p 与◇ ? p、 ? ◇ ? p 与口 p 之间具有逻辑等值的关系:

? 口 p≡◇ ? p ? ◇ ? p≡口 p
根据这两个等值公式,“并非今年小春作物必然丰收”就等值于“今年小春作物可能不 丰收”。而与“今年小春作物必然丰收”等值的判断则是“今年小春作物不可能不丰收”· 必然否定判断口_7p 与可能肯定判断◇p 的关系也是矛盾关系,因而 ? 口 ? p 与◇p、 ? ◇p 与口 ? P 之间也具有逻辑等值关系:

? 口 ? p≡◇p ? ◇p≡口 ? p
根据这两个等值公式, “并非今年小春作物不必然丰收”等值于 “今年小春作物可能丰 收”,而与“中国必然不复辟资本主义”逻辑等值的判断则是“中国不可能复辟资本主义”。 四、模态判断与非模态判断的关系 这里所说的模态与非模态判断的关系仅指口 p、 ◇p 与 p 的关系, 和口 ? p、 ◇?p 与?p 的关系。 前面提到, 当 p 事实上真时并不能一般地决定口 p 是真的; 当 p 事实上为假时也不能一 般地决定◇p 是假的。这就是说。事实上真的不一定是必然真的,而事实上假的也不一定没 有为真的可能性。 但是,必然性、可能性与现实性之间仍然存在着一定的关系。p 事实上真可以理解为在 现实世界中是真的, 而现实世界只是许多可能世界中的一个。 既然口 p 真被解释为 p 在一切 可能世界中都真,那么 p 当然也在现实世界中为真。另一方面,若 p 在现实世界里真,则 p 已经在一个可能世界中为真了,这就满足了◇p 为真的定义——“p 至少在一可能世界中为 真”。这样,我们能够推出模态判断与非模态判断之间有以下四点关系: 第一,如果口 p 真.则 p 必真。 例如:“中国必然对外开放”为真,因此“中国对外开放”是真的。 第二,如果 p 真,则◇p 必真。 例如:“农副产品涨价”是真的,因此“农副产品可能涨价”也是真的。 第三,如果 p 假.则口 p 必假。 例如;“巫师能够点石成金”这个判断是假的,所以“巫师必然能够点石成金”这一判
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断也是假的。 第四,如果◇p 是假的,则 p 必假。 例如:“电脑可能完全代替人脑”这一判断为假.囚此“电脑完全代替人脑”是假的。 综上所述,口 p 与 p、p 与◇p 的关系都是差等关系。同理,口 ? p 与 ? p、 ? p 与◇ ? p 的 关系也是差等关系。

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