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高考数学(理)大一轮复习精讲课件:第三章 三角函数、解三角形 第八节 正弦定理和余弦定理的应用


第八节

正弦定理和余弦定理的应用

基础盘查

实际应用中的常用术语(仰角与俯角、方位角、方向角)

(一)循纲忆知
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题.

(二)小题查验
1.判断正误
? π? (1)

俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为 ?0 , 2 ? ? ?

( × )

(2)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点 之间的位置关系 (√ )

? π? (3)方位角大小的范围是[0,2π) ,方向角大小的范围一般是?0,2? ? ?

(√ )

2.(北师大版教材习题改编)海面上有 A,B,C 三个灯塔,AB= 10 n mile,从 A 望 C 和 B 成 60° 视角,从 B 望 C 和 A 成 75° 视角,则 BC= A.10 3 n mile C.5 2 n mile 10 6 B. n mile 3 D.5 6 n mile ( )

3.(2015· 北京朝阳区模拟)如图,在 水平地面上有两座直立的相距 60 m 的铁塔 AA1 和 BB1. 已知从 塔 AA1 的底部看塔 BB1 顶部的仰 角是从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶 部的仰角的 2 倍,从两塔底部连 线中心 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔 BB1 的底 部看塔 AA1 顶部的仰角的正切值为________;塔 BB1 的高为 ________ m.

解析:设从塔 BB1 的底部看塔 AA1 顶部的仰角为 α, 则 AA1=60tan α,BB1=60tan 2α, ∵从两塔底部连线中点 C 分别看两塔顶部的仰角互为余角, AA1 30 ∴△A1AC∽△CBB1,∴ = , 30 BB1 ∴AA1 · BB1=900, ∴ 3 600tan αtan 2 α= 900, 1 3 ∴tan α= ,tan 2α= ,BB1=60tan 2α=45. 3 4

1 答案: 3

45

考点一

测量高度问题 (重点保分型考点——师生共研)
[必备知识]

仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和 目标视线的夹角,目标视线在水平视 线上方时叫仰角,目标视线在水平视 线下方时叫俯角.(如图).

[典题例析]
(2014· 新课标全国卷Ⅰ )如图,为测量山高 MN,选择 A 和另一座 山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN= 60° , C 点的仰角∠ CAB= 45° 以及∠ MAC= 75° ;从 C 点测得∠ MCA= 60° ,已知山高 BC= 100 m,则山高 MN= ________m.

解析:在 Rt△ABC 中,AC=100 2 m, MA AC 在△MAC 中,由正弦定理得 = , sin 60° sin 45° 解得 MA=100 3 m, 在 Rt△MNA 中,MN=MA · sin 60° =150 m. 即山高 MN 为 150 m.

答案:150

[类题通法]

求解高度问题应注意 (1)在测量高度时,要理解仰角、俯角的概念,仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角;
(2)准确理解题意,分清已知条件与所求,画出示意图;
(3)运用正、余弦定理,有序地解相关的三角形,逐步求解问 题的答案,注意方程思想的运用.

[演练冲关]

要测量电视塔 AB 的高度, 在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45° , 在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30° ,并测得水平面上的∠ BCD= 120° , CD= 40 m,求电视塔的高度.

解:如图,设电视塔 AB 高为 x m, 则在 Rt△ABC 中, 由∠ACB=45° 得 BC=x. 在 Rt△ADB 中,∠ADB=30° , 则 BD= 3 x . 在△BDC 中,由余弦定理得, BD 2 =BC 2 +CD 2 -2BC · CD · cos 120° , 即( 3x)2=x2+402-2 · x· 40 · cos 120° , 解得 x=40,所以电视塔高为 40 米.

考点二

测量距离问题 (常考常新型考点——多角探明)

[多角探明]
研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助 测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题, 从而利用正、余弦定理求解.
归纳起来常见的命题角度有: (1)两点都不可到达;

(2)两点不相通的距离; (3)两点间可视但有一点不可到达.

角度一:两点都不可到达
1.如图,A,B 两点在河的同侧,且 A, B 两点均不可到达, 测出 AB 的距离, 测量者可以在河岸边选定两点 C, D, 测得 CD=a,同时在 C,D 两点分别 测得∠BCA=α,∠ACD=β,∠CDB=γ,∠BDA=δ. 在△ADC 和△BDC 中,由正弦定理分别计算出 AC 和 BC, 再在△ABC 中,应用余弦定理计算出 AB. 3 若测得 CD= km,∠ADB=∠CDB=30° ,∠ACD=60° , 2 ∠ACB=45° ,求 A,B 两点间的距离.

解:∵∠ADC=∠ADB+∠CDB=60° ,∠ACD=60° , 3 ∴∠DAC=60° ,∴AC=DC= km. 2 在△BCD 中,∠DBC=45° ,由正弦定理, 3 2 DC 6 得 BC= · sin∠BDC= · sin 30° = . sin 45° 4 sin∠DBC 在△ABC 中,由余弦定理,得 3 3 3 6 2 3 AB =AC +BC -2AC · BCcos 45° = + - 2× × × = . 4 8 2 4 2 8
2 2 2

6 6 ∴AB= (km).∴A,B 两点间的距离为 km. 4 4

角度二:两点不相通的距离
2.如图所示,要测量一水塘两侧 A,B 两点间的距离,其方法先选定适当 的位置 C,用经纬仪测出角 α,再 分别测出 AC,BC 的长 b,a,则可 求出 A,B 两点间的距离. 即 AB= a2+b2-2abcos α. 若测得 CA=400 m,CB=600 m,∠ACB=60° ,试计算 AB 的长.

解:在△ABC 中,由余弦定理得 AB2=AC2+BC2-2AC · BCcos ∠ACB, ∴AB2=4002+6002-2×400×600cos 60° =280 000. ∴AB=200 7 m. 7 m.

即 A,B 两点间的距离为 200

角度三:两点间可视但有一点不可到达
3. 如图所示,A,B 两点在一条河的两岸, 测量者在 A 的同侧,且 B 点不可到达, 要测出 AB 的距离,其方法在 A 所在的 岸边选定一点 C,可以测出 AC 的距离 m,再借助仪器,测出 ∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC 中,运用正弦定理就可以求 出 AB. 若测出 AC=60 m,∠BAC=75° ,∠BCA=45° ,则 A,B 两点 间的距离为________m.

解析:∠ABC=180° -75° -45° =60° , AB AC 所以由正弦定理得, = , sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB= = =20 6(m). sin B sin 60° 即 A,B 两点间的距离为 20 6 m.

答案:20 6

[类题通法]

求距离问题的注意事项

(1)选定或确定要求解的三角形,即所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确 定三角形中求解.

(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更 便于计算的定理.

考点三

测量角度问题 (重点保分型考点——师生共研)

[必备知识]
1.方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目 标方向线之间的水平夹角叫做方位角. 如B点 的方位角为 α(如图).

2.方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北 (南)偏东(西)××度.

[典题例析]
在一次海上联合作战演习中,红方一 艘侦察艇发现在北偏东 45° 方向,相 距 12 n mile 的水面上, 有蓝方一艘小 艇正以每小时 10 n mile 的速度沿南 偏东 75° 方向前进,若红方侦察艇以 每小时 14 n mile 的速度,沿北偏东 45° + α 方向拦截蓝方的小 艇.若要在最短的时间内拦截住,求红方侦察艇所需的时间和 角 α 的正弦值.

解: 如图, 设红方侦察艇经过 x 小时后在 C 处追上蓝方的小艇, 则 AC=14x,BC=10x,∠ABC=120° . 根据余弦定理得 (14x)2= 122+ (10x)2- 240xcos 120° , 解得 x=2. 故 AC=28,BC=20. BC AC 20sin 120° 5 3 根据正弦定理得 = ,解得 sin α= = . sin α sin 120° 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为 2 小时,角 α 的正弦值为 . 14

[类题通法]

解决测量角度问题的注意事项

(1)明确方位角的含义;

(2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意 图,这是最关键、最重要的一步; (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后, 注意正、 余弦定理的“联袂”使用.

[演练冲关]

如图,位于 A 处的信息中心获悉: 在其正东方向相距 40 海里的 B 处 有一艘渔船遇险,在原地等待营 救. 信息中心立即把消息告知在其 南偏西 30° 、相距 20 海里的 C 处 的乙船, 现乙船朝北偏东 θ 的方向 沿直线 CB 前往 B 处救援,求 cos θ 的值.

解:在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° , 由余弦定理得, BC2=AB2+AC2-2AB · AC · cos 120° =2 800 ?BC=20 7. 由正弦定理,得 AB BC = sin∠ACB sin∠BAC

AB 21 ?sin∠ACB=BC · sin∠BAC= . 7

2 7 由∠BAC =120° ,知∠ACB 为锐角,则 cos∠ACB= . 7 由 θ=∠ACB+30° , 得 cos θ = cos( ∠ ACB + 30° ) = cos ∠ ACB cos 30° - sin ∠ ACB sin 30° 21 = . 14

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