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高中数学配套同课异构3.2.3 立体几何中的向量方法 课件1(人教A版选修2-1)


第三章 空间向量与立体几何

3.2 立体几何中的向量方法(三)

复 习 垂直关系:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? ? ? ? (1) l ? m ? a ? b ? a ? b ? 0
l
?

a ? b

m

垂直关系:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? ? ? (2) l ? ? ? ① a / / u ? a ? ? u ? ?? ? ?? ? ? l ? ? ② a ⊥AB, a ⊥AC
? a

u

?

C A

B

垂直关系:
? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则

? ? ? ? (3)? ? ? ? u ? v ? u ? v ? 0
? u

β

? v

α

例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD.

证明1:

立几法
A M B N C D

例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. ????? ???? ???? ???? ? 证明2: MN MA ? AD ? DN = A
? 1 ??? ???? 1 ???? ? ? AB ? AD ? DC 2 2 ? 1 ??? ???? 1 ???? ???? ? ? AB ? AD ? ( AC ? AD) 2 2 ? 1 ??? 1 ???? 1 ???? ? ? AB ? AC ? AD 2 2 2
M B N C D

???? ??? ? ? ? ? 1 ??? 1 ???? 1 ???? ??? MN ? AB ? (? AB ? AC ? AD) ? AB ? 0 2 2 2

MN⊥AB, 同理 MN⊥CD.

例1、四面体ABCD的六条棱长相等, AB、CD 的中点分别是M、N,求证MN⊥AB, MN⊥CD. 证明3: 如图所示建立空间直角坐标系,设AB=2.

B(0,0,0) D(0, 2,0)
Z

C ( 3,1, 0) A( 3 ,1, 2 6 )
3 3

A M

3 1 6 M( , , ) 6 2 3

3 3 N ( , , 0) 2 2

?

y

B

?
N C

D

y x

x

棱长为a 的正方体 OABC ? O' A' B' C' 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点,且AF=BE,求证: 练习

A F ?O E
1 1

解:如图所示建立空间 O’ 直角坐标系,设AF=BE=b. C’ 1 A (a, a, a) F (0, a ? b, 0)
O1 (0, 0, a )
???? ? A1 F ? (?a, ?b, ?a) ???? ? O1 E ? (a ? b, a, ? a) x ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? A1 F ? O1 E A1 F ? O1 E ? 0

Z
A’ B’

E (a ? b, a, 0)

O C
1 1

F A

y

B

E

A F ?O E

例2、四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方形, PD ? 底面ABCD , PD ? DC , 点E 是PC的中点, 作EF ? PB交PB于点F . (2) 求证 : PB ? 平面EFD .

证明1:如图所示建立 空间直角坐标系,设DC=1. 1 1 PB ? (1, , 1) DE ? (0, , ) 1? 2 2 1 1 故PB ? DE ? 0 ? ? ? 0 2 2 所以PB ? DE
由已知EF ? PB, 且EF ? DE ? E ,

Z

P F
D

E

C B

所以PB ? 平面EFD

A X

Y

例2、 四棱锥P - ABCD中, 底面ABCD是正方 形, PD ? 底面ABCD , PD ? DC , 点E 是PC的中点, 作EF ? PB交PB于点F , 求证 : PB ? 平面EFD .

证明2:

Z

P F
D A X B

E

C

Y

练习

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 正交 基底,建立如图所示坐标系D-xyz,
??? ? ???? 1 DA ? (1, 0, 0), ? (1,1, , ) DE 2 ???? ? 1 D1 F ? (0, , ?1) 2 ???? ??? ? ???? ???? 则 1 ? DA ? 0??, 1 ? DE ? 0 DF ?? DF ???? ??? ???? ???? ? 则 1 ? DA?, 1 ? DE. DF ?? DF
z
D1

??? ???? ???? ? ? 以 ?? 证明:设正方体棱长为1, DA??,DC ??,??DD1为单位

C1 B1 E

A1

D A
x

F B

C y

所以

D1 F ? 平面ADE

练习

正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F分别

是BB1,,CD中点,求证:D1F ? 平面ADE. 证明2:

z
D1

C1

A1

B1
E D C

F
A
x

y
B

例3、 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明: 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系
E(0,0,1) B(2,0,0) D(0,2,0)

??? ? EB ? (2, 0, ?1) ??? ? ED ? (0, 2, ?1)

E

设平面EBD的一个法向量是

? ??? ? ??? ? ? 由u ? EB ? u ? ED ? 0
? ? ???? 1 1 得u ? ( , ,1) 平面C1BD的一个法向量是 v ? CA ? (?1, ?1,1) 1 2 2

? u ? ( x, y,1)

? ? u ? v ? 0,

平面EBD ? 平面C1BD.

例3、正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,E是AA1中点, 求证:平面EBD ? 平面C1BD. 证明2:

E

?

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ? ? (1) l , m的夹角为?, cos ? ? cos ? a, b ?

夹角问题:

l

l

? a

? ? b

m

? ? a b ?

m

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则
? ? (2) l , ?的夹角为?, sin ? ? cos ? a, u ?

夹角问题:

? ? a u
?

l

? a
?

l

?

? ? ? π cos( - θ) = cos < a, u > 2

?

? ? ? π cos( + θ) = cos < a, u > 2

?

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ?? (3) ? , ? 的夹角为?, cosθ = ?cos < u, v >

夹角问题:

? u

?

? v

?

?

? ? 设直线 l,m 的方向向量分别为 a , b , ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u, v ,则 ?? (3) ? , ? 的夹角为?, cosθ = ?cos < u, v >

夹角问题:

? u

?

? v

?

?


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