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昌平区2013-2014学年高一下学期数学期末试卷及答案


考生须知:
1. 本试卷共 6 页,分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。 2. 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。 3. 答题卡上第 I 卷(选择题)必须用 2B 铅笔作答,第 II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字 笔作答,作图时可以使用 2B 铅笔。请按照题号顺序在各题目的答题区内域作答,未在对应 的答题区域内作答或超出

答题区域作答的均不得分。 4. 修改时,选择题部分用塑料橡皮擦涂干净,不得使用涂改液。保持答题卡整洁,不要折 叠、折皱、破损。不得在答题卡上做任何标记。 5. 考试结束后,考生务必将答题卡交监考老师收回,试卷自己妥善保存。 (样本标准差公式 s ?

( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? n
第Ⅰ卷(选择题

? ( xn ? x)2



共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.) (1) 若 a ? b ? 0 ,则下列各式中一定成立的是新|课 A. ac ? bc B. ? a ? ?b C.
|标 第 |一| 网

1 1 ? a b

2 2 D. a ? b

(2) 不等式 x( x ? 1) ? 0 的解集是 A. {x | x ? 0}
? ?

B. {x | x ? ?1}
? ?

C. {x | x ? ?1 或 x ? 0}

D. {x | ?1 ? x ? 0}

(3) cos 75 cos105 ? sin 75 sin105 的值是 A. ?1 B. ?

3 2

C.

1 2

D.

3 2

(4) 在一次对年龄和人体脂肪含量关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据,并制作成 如图所示的年龄和人体脂肪含量关系的散点图.根据该图,下列结论中正确的是 A.年龄和人体脂肪含量正相关,且脂肪含量的中位数等于 20% B.年龄和人体脂肪含量正相关,且脂肪含量的中位数小于 20% C.年龄和人体脂肪含量负相关,且脂肪含量的中位数等于 20% D.年龄和人体脂肪含量负相关,且脂肪含量的中位数小于 20%

脂肪含量(%) 35 30 25 20 15 10 5 O 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 年龄

第(4)题图

第(5)题图

(5) 如图,已知 A,B 两点分别在河的两岸,某测量者在点 A 所在的河岸边另选定一点 C, 测得 AC ? 45 m , ?ACB ? 45 , ?CAB ? 105 ,则 A,B 两点间的距离为 45 2 45 3 A. 45 2 m B. C. D. 45 3 m m m 2 2 (6)如果 25, x, y, z,1成等比数列,那么 A. y ? 5, xz ? 25 C. y ? 5, xz ? ?25

B. y ? ?5, xz ? 25 D. y ? ?5, xz ? ?25

(7)某学校要从数学竞赛初赛成绩相同的四名学生(其中 2 名男生,2 名女生)中,随机 选出 2 名学生去参加决赛,则选出的 2 名学生恰好为 1 名男生和 1 名女生的概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

? x ? y ? 1 ? 0, ? (8)已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为 ? x ? 0, ?
A. ?1 B.0 C.

1 2

D. 2

(9) 以下茎叶图记录了甲、乙两名篮球运动员在以往几场比赛中得分的情况,设甲、乙两 组数据的平均数分别为 x甲 ,x乙 , 标准差分别为 s甲, s乙 , 则 A. x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 C. x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 B. x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙 D. x甲 ? x乙 , s甲 ? s乙

(10)对任意的锐角 ? , ? , 下列不等关系中正确的是 A. sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? C. cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? B. sin(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? D. cos(? ? ? ) ? sin ? ? sin ?

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.)新 课 标 第 一 网 (11) 已知 tan ? ?

1 ? , 则 tan(? ? ) ? ____________. 2 4

(12) 设 a , b , c 是 △ ABC 中 ?A , ?B , ? C 的对 边, a ? 2 3 , c ? 6 , cos B ? ?

3 , 3

则 b ? _________; △ ABC 的面积为________. (13) 某程序框图如图所示,该程序运行后 输出 S 的结果是________.

(n ? N *) (14) 已知 Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,


Sn ? 25 ? 2n ,则 a3 ? _________________; n

当 n ? ______时, Sn 取得最大值.

(15) 欧阳修的《卖油翁》中写到:(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之, 自钱孔入,而钱不湿.已知铜钱是直径为 4cm 的圆面,中间有边长为 1cm 的正方形孔,若随机向铜 ........ 钱上滴一滴油(油滴整体不出边界),则油滴整体(油滴近似看成是直径为 0.2cm 的球)恰好落入孔 中的概率是 (16)数列 (不作近似计算).

(n ? N *) 中,如果存在 ak , 使得“ ak ? ak ?1 , 且 ak ? ak ?1 ”成立 ?an ?

(其中 k ? 2, k ? N * ),则称 ak 为 ① 若 an

?an ? 的一个“谷值”.

? n2 ?10n ?1, 则 ?an ? 的“谷值”为_________________;





??2n2 ? tn, n ? 3, 且 ?an ? 存 在 “ 谷 值 ” , 则 实 数 t 的 取 值 范 围 是 an ? ? ??tn ? 8, n ? 3,

__________________.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) (17) (本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 是等差数列, Sn 为其前 n 项和,且 a3 ? 9, S3 ? 21 . (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 b1 (18) (本小题满分 14 分) “交通指数”是反映道路网畅通或拥堵的概念性指数值.交通指数的取值范围为 0 至

? 3, bn?1 ? abn ? 3 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn .

10 ,分为 5 个等级:其中 ?0, 2 ? 为畅通, ? 2, 4 ? 为基本畅通, ? 4,6 ? 为轻度拥堵, ?6,8? 为中
度拥堵, ?8,10? 为严重拥堵. 晚高峰时段,某市交通指挥中心选取了市区 60 个交通路段, 依据其交通指数数据绘制的频数分布表及频率分布直方图如图所示:

交通指数

频数

频率

?0, 2? ? 2, 4?
? 4,6? ?6,8?

m1 m2

n1 n2

频率 组距

15 18

0.25
0.3

0.15 0.125 0.1 0.05
交通指数

?8,10?

12

0.2

O

2

4

6

8

10

(I)求频率分布表中所标字母的值,并补充完成频率分布直方图; (II)用分层抽样的方法从交通指数在 [0, 2) 和 ? 2, 4 ? 的路段中抽取一个容量为 5 的样本,将 该样本看成一个总体,从中随机抽出 2 个路段,求至少有一个路段为畅通的概率. (19)(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

(cos x ? sin x)sin2 x . cos x

(I)求函数 f ( x ) 的单调递减区间; (II)求函数 f ( x ) 在区间 [

? 11? , ] 上的最大值和最小值. 24 24

(20)(本小题满分 14 分) 某旅游公司在相距为 100 km 的两个景点间开设了一个游船观光项目.已知游船最大时 速为 50 km / h ,游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例,当游船速度为 20 km / h 时,燃料费用为每小时 60 元.其它费用为每小时 240 元,且单程的收入为 6000 元. (I)当游船以 30 km / h 航行时,旅游公司单程获得的利润是多少?(利润=收入 ? 成本) (II)游船的航速为何值时,旅游公司单程获得的利润最大,最大利润是多少?

(21)(本小题满分 14 分)X K b1.C om 在无穷数列 {an } 中,a1 ? 1 ,对于任意 n ? N ,都有 an ? N* ,an ? an?1 . 设 m ? N ,
* *

记使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (I)设数列 {an } 为 1,2,4,10, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(II) 若 {an } 是公差为 2 的等差数列, 数列 ?bm ? 的前 m 项的和为 Sm , 求使得 Sm ? 2014 成立的 m 的最小值; (III)设

ap ? q



a1 ? a2 ?

? ap ? A



b1 ? b2 ???? ? bq ? B

,请你直接写出 B 与 A

的关系式,不需写推理过程.

昌平区 2013-2014 学年第二学期高一年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准 2014.7

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.) 1 2 题号 答案 B C

3 D

4 B

5 A

6 A

7 D

8 C

9 B

10 C

(II) 因为an ? 2n ? 3, 所以bn?1 ? abn ? 3 ? 2bn ? 3 ? 3 ? 2bn , ????10 分 所以

bn ?1 ? 2, 又b1 ? 3 , bn

所以?bn ? 是以 3 为首项 2 为公比的等比数列.

bn ? 3 ? 2n?1, ????12 分
所以 Tn ?

3 ? ?1 ? 2n ? 1? 2

? 3(2n ? 1). ????14 分

(18) (本小题满分 14 分) 解: (I)由频率分布直方图,得交通指数在[2,4)的频率为 1? (0.05 ? 0.1 ? 0.125 ? 0.15) ? 2 ? 0.15 . 所以, n1 ? 0.05 ? 2 ? 0.1, m1 ? 0.1? 60 ? 6.
w W w . X k b 1.c O m

n2 ? 0.15, m2 ? 0.15 ? 60 ? 9.
频率分布直方图为:

频率 组距

0.15 0.125 0.1 0.075 0.05
交通指数

O

2

4

6

8

10

?????????6 分

(II)依题意知,取出的 5 个路段中,交通指数在[0,2)内的有 2 个,设为 a , b, 交通指数在[2,4)内的有 3 个,设为 x, y, z.?????????????8 分 则交通指数在 [0, 4) 的基本事件空间为

? ? {a b, a x, a y , a ,z b,x b ,y b , z ,x y ,x z }y z ,基本事件总数为 10,?????10 分
事件 A ? “至少有一个路段为畅通” , 则 A ? ?ab, ax, ay, az, bx, by, bz? , 基本事件总数为 7.????12 分

P ( A) ?

7 10

所以至少有一个路段为畅通的概率为

7 . ??????????????14 分 10

(19) (本小题满分 14 分) 解: f ( x ) 的定义域为 {x | x ? kπ ? , x ? R},(k ? Z).

π 2

f ( x) ?

(cos x ? sin x)sin2 x ? sin2 x ? 2sin2 x ? sin2 x ? cos2 x ? 1 cos x
π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
???????4 分

? π π 3π ? 2x ? ? 2kπ ? , 且 x ? k? + , k ? Z 2 4 2 2 π 5π π 5π 解得, 2kπ ? ? 2 x ? 2kπ ? , 即 kπ ? ? x ? kπ ? . 4 4 8 8
(I)令 2kπ ? 所以, f ( x ) 的单调递减区间为

π π π 5π [kπ ? , kπ ? ),(kπ ? , kπ ? ],(k ? Z). ???????8 分 8 2 2 8
(II)由 x ? [

π 11π , ], 得2 x 24 24

π 4

π 7π [ , ], 3 6

π = 4 π 当 2x + = 4
当 2x +

π π π , 即 x = 时, f ( x)max ? f ( ) ? 2 ? 1, 8 2 8 11π 7π 11π 2 ,即x= 时, f ( x) min ? f ( )?? ? 1. ???????14 分 24 6 24 2

(20) (本小题满分 14 分) 解:设游船的速度为 v ( km / h ),旅游公司单程获得的利润为 y (元) , 因为游船的燃料费用为每小时 k ? v 元,依题意 k ? 20 ? 60 ,则 k ?
2

2

3 .· · · · · · · 2分 20

所以 y = 6000 ? (

3 2 100 100 v ? ? 240 ? ) 20 v v 24000 ,(0 ? v ? 50) . · = 6000 ? 15v ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 v

(21) (本小题满分 14 分) 解: (?) b1 ? 1, b2 ? 2, b3 ? 2. ???????3 分 (Ⅱ) an ? 2n ? 1, 由 an ? m 得 n ?

m ?1 . xK b 1. Com 2

根据 bm 的定义,当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k ;当 m ? 2 k 时, bm ? k.(k ? N*) ①若 m ? 2k ? 1 , Sm ? b1 ? b2 ? b3 ?

? bm ? b1 ? b2 ? b3 ?

? b2k ?1

? 2(1 ? 2 ? 3 ?

? k ? 1) ? k ? k 2 .

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