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辽宁省沈阳铁路实验中学2015届高三下学期初考试数学(理)试题 Word版含答案

时间:2015-04-01


第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题: (本大题共 12 小题,每题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案 填涂在答题卡指定的位置。 ) 1.设集合 A ? { x |

2x ? 1 ? 0}, B ? { x || x |? 1} ,则 A x?2

B?





A. { x |

1 ? x ? 1} 2

B. { x | ?1 ? x ? 2} C. { x | ?1 ? x ? 2且x ? 1} D. { x | ?1 ? x ? 2}

2.复数 z ?

3 1 3 ? ai , a ? R ,且 z 2 ? ? i ,则 a 的值为 2 2 2
B. 2 C.





A. 1

1 2

D.

1 4


3.设 0 ? a ? 1 , m ? loga (a2 ? 1), n ? loga (a ? 1), p ? loga (2a) ,则 m , n , p 的大小关系是( A. n ? m ? p B. m ? p ? n C. m ? n ? p D. p ? m ? n

4. 若某三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体的三视图如下图所示, 则此几何体的体积等于( ) A. 30 B. 12

C. 24 D. 4 5.给出下列四个命题: ①命题“ ?x ? R, x ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? 0 ” ;
2 2

②线性相关系数 r 的绝对值越接近于 1,表明两个随机变量线性相关性
2 2 ③若 a, b ? [0,1] ,则不等式 a ? b ?

越强;

? 1 成立的概率是 ; 4 4
5 2

2 ④函数 y ? log2 ( x ? ax ? 2)在[2,??) 上恒为正,则实数 a 的取值范围是 (?? , ) 。

其中真命题的是 A. ①②

(

) C. ②③④ D. ②③

B. ②④

?4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 6. 已知 O 为直角坐标系原点, P、 Q 坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 则 cos?POQ 取最小值时的 ?POQ 的 ?x ? 1 ? 0 ?
大小为 ( ) B。

? A. 4

? 2

C。 ?

D。 2?

-1-

7.若 f ( x) ? ? A、 (??,?1]

1 2 x ? b ln( x ? 2) 在 (?1,??) 上是减函数,则 b 的取值范围是 ( 2
B、 (??,?1) C、 (?1,??) D、 [?1,??)
[gkstk.Com]



8.数列{an}满足:a1 = 1,且对任意的 m, n ? N * 都有: am?n ? am ? an ? mn,则

1 1 1 1 = ( ? ? ????? a1 a2 a3 a2008 2007 2007 A、 B、 2008 1004
9.已知 P 为抛物线 y ?

) C、

2008 2009

D、

4016 2009

1 2 17 x 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M ,点 A 的坐标是 (6, ) , 2 2
( )

则 PA ? PM 的最小值是 A. 8

B.

19 2
2

C. 10

D.

21 2


10.已知函数 f ( x ) ? 1 ? cos 2 x ? 2sin ( x ?

?
6

) ,其中 x ? R ,则下列结论中正确的是(

A. f ( x ) 是最小正周期为 ? 的偶函数

B. f ( x ) 的一条对称轴是 x ?

?
3

C. f ( x ) 的最大值为 2

D.将函数 y ?

3 sin 2 x 的图象左移
1? z 的最小值为 2 xyz

? 得到函数 f ( x ) 的图象 6
( )

11.已知正数 x、y、z 满足 x ? y ? z ? 1, 则S ?
2 2 2

A.3

B.

3( 3 ? 1) 2

C.4

D. 2( 2 ? 1)

12.若函数 y=f(x)(x∈ R)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈ (-1,1]时,f(x)=1-x2, ? ?lg|x|(x≠0) 函数 g(x)=? ,则函数 h(x)=f(x)-g(x)在区间[-5,10]内零点的个数为( (x=0) ?1 ? A.15 B.14 C.13 D.8

)

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上。 ) 13. 已知直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 和函数 f ( x ) ? a 的最小值为 。
x?2

1 1 则 ? ? 1(a ? 0且a ? 1) 的图象恒过同一个定点, a b

-2-

14 . 若 二 项 式 (a

x?


1 6 ) 的 展 开 式 中 的 常 数 项 为 -160, 则 x

?

a

0

(3x 2 ? 1)dx =

15.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内,每个小方格内至多填 字母,若使所有字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种 数字作答)

1 个 ( 用

16. 已知函数 f ( x) ?| e ?
x

a |, (a ? R) 在区间 [0,1] 上单调递增,则实数 a 的取值范围 ex

是 。 三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asinA=(2b+c)sin+(2c+b)sinC\ (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 某市公租房的房源位于 A,B,C 三个片区,设每位申请人只申请其中一个片区的房源, 请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任 4 位申请人中: (Ⅰ)恰有 2 人申请 A 片区房源的概率; (Ⅱ)申请的房源所在片区的个数 ? 的分布列与期望 19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 A ? BCD 中 , ?ABC ? ?BCD ? ?CDA ? 90? , AC ? 6 3 ,

且 申

BC ? CD ? 6 ,设顶点 A 在底面 BCD 上的射影为 E. (Ⅰ)求证: CE ? BD ; (Ⅱ)设点 G 在棱 AC 上,且 CG ? 2GA ,试求二面角 C ? EG ? D 的余弦值.

-3-

20. (本小题满分 12 分) 设椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,上顶点为 A , a 2 b2
y
A

过点 A 与 AF2 垂直的直线交 x 轴负半轴于点 Q ,且 2F1F2 ? F2Q ? 0 . (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A 、 Q 、 F2 三点的圆恰好与
Q

? F 1

O

? F2

x

直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 相切, 求椭圆 C 的方程; (3) 在 (2) 的条件下, 过右焦点 F2 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于 M 、N 两点, 在 x 轴上是否存在点 P ( m,0) 使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形,如果存在,求出 m 的取值范围,如果不存在,说明理由。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? e , x ? R ,其中 e 为自然对数的底数, a ? R 。
2 ax

(1)设 a ? ?1, x ? [?1,1] ,求函数 y ? f ( x ) 的最值; (2)若对于任意的 a ? 0 ,都有 f ( x ) ? f '( x ) ? 求 x 的取值范围。

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ax ? e 成立, a

-4-

选答题(本小题满分 10 分) (请考生在第 22、23、24 三道题中任选一题做答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目 的题号涂黑。注意所做题号必须与所涂题目的题号一致,并在答题卡指定区域答题。如果多做,则按所做的第一题 计分。 ) 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知 AD 是 ? ABC 的外角 ?EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D ,延长 DA 交 ? ABC 的外接圆于 点 F ,连结 FB, FC 。 (1)求证: FB ? FC ; (2)求证: FB ? FA ? FD ;
2

(3)若 AB 是 ? ABC 外接圆的直径, 且 ?EAC ? 120 , BC ? 6 ,求 AD 的长。

第 22 题图 23.选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数).在极坐标系(与直角坐标系 xoy 取相同的 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) ,求|PA|+|PB|.

24.选修 4—5:不等式证明选讲 已知函数 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? x ? 3 。 (1)解不等式 f ( x ) ? 4 ; (2)若存在 x 使得 f ( x ) ? a ? 0 成立,求实数 a 的取值范围。

-5-

-6-

参考数学
1-5 DCDCB 6-10 ACABD 11-12 CA 13. 6 14.

3 5

15. 144

16. a ?[?1,1]

[学优高考网]

18.解:这是等可能性事件的概率计算问题. (I)解法一:所有可能的申请方式有 34 种,恰有 2 人申请 A 片区房源的申请方式 请 A 片区房源的概率为
2 C4 ? 22 8 ? . 4 27 3

2 C4 ? 22 种,从而恰有 2 人申

解法二:设对每位申请人的观察为一次试验,这是 4 次独立重复试验.

1 P ( A) ? . 3 记“申请 A 片区房源”为事件 A,则
从而,由独立重复试验中事件 A 恰发生 k 次的概率计算公式知,恰有 2 人申请 A 片区房源的概率为

8 2 1 2 2 2 P4 (2) ? C4 ( ) ( ) ? . 3 3 27
(II)ξ 的所有可能值为 1,2,3.又

3 1 ? , 4 27 3 C 2 (C1C 3 ? C 2 C 2 ) 14 C 2 (24 ? 2) 14 P(? ? 2) ? 3 2 4 4 4 2 ? (或P(? ? 2) ? 3 4 ? ) 27 27 3 3 P(? ? 1) ?
1 2 1 2 3 C3 C4 C2 4 C4 A 4 P(? ? 3) ? ? (或P(? ? 3) ? 4 3 ? ). 4 9 9 3 3

综上知,ξ 有分布列 1 ξ
[gkstk.Com]

2

3

P 从而有

1 27

14 27

4 9

E? ? 1 ?

1 14 4 65 ? 2? ? 3? ? . 27 27 9 27

-7-

19.解:证明:方法一:由 又 故 同理可得 又
A

平面 , 3分

,得



,则 , ,则 ,则

平面

为矩形, 为正方形,故 . 5分

G

E

D

B

C

方法二:由已知可得 故平面 平面 ,则顶点

,设 在底面 平面



的中点,则 必在 作 ,故 ,垂足为 .

,则

平面



上的射影 ,过

(Ⅱ)方法一:由(I)的证明过程知 即为二面角

,则易证得

,故

的平面角,

8分

由已知可得 又 ,则

,则 ,

,故 10 分

,则





,即二面角

的余弦值为

12 分

方法二: 由(I)的证明过程知

为正方形,如图建立坐标系, 8分 的一个法

则 E (0,0,0) , F (0,6,0) A(0, 0, 6) , B(6, 0, 0) C (6,6,0) ,可得 G(2, 2, 4) , 则 ED ? (0,6,0) , EG ? (2, 2, 4) ,易知平面 向量为 BD ? (?6,6,0) ,设平面 的一个法向量为

n ? ? x, y,1?

,则由

? ?n ? ED ? 0 ? ? ?n ? EG ? 0 得 n ? ? ?2,0,1?

10 分



-8-

cos ? BD, n ??

BD ? n BD ? n

?

,即二面角 考点:1.垂直关系的证明;2.二面角;3.空间向量.

10 5

10 的余弦值为 5 .

12 分

(3)由 (Ⅱ)知 F2 (1,0)

l : y ? k ( x ? 1)

? y ? k ( x ? 1) ? 2 ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4

代入得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0

设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y 2 ) 则 x1 ? x 2 ?

8k 2 , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) 3 ? 4k 2

?8′

PM ? PN ? ( x1 ? m, y1 ) ? ( x2 ? m, y2 ) ? ( x1 ? x2 ? 2m, y1 ? y2 )
由于菱形对角线垂直,则 (PM ? PN) ? MN ? 0 故 k ( y1 ? y2 ) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0 则 k ( x1 ? x2 ? 2) ? x1 ? x2 ? 2m ? 0
2

k2 (

8k 2 8k 2 ? ? 2m ? 0 ? 2 ) 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
k2 1 ?m ? ? 2 3 3 ? 4k ?4 k2

?10′

由已知条件知 k ? 0 且 k ? R

?0 ? m ?

1 4

-9-

故存在满足题意的点 P 且 m 的取值范围是 0 ? m ? 21.解(1)当 a ? ?1 时,

1 . 4

?12′

f ( x) ? x 2 ? e ? x , x ? [?1,1] , f ?( x) ? 2 xe? x ? x 2 e ? x ? ? x( x ? 2)e ? x
f ?( x ) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 , f ( x ), f ?( x ) 随 x 变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

?1

( ?1,0)


0
0
最小值 0

(0,1)

1

[学优高考网 gkstk]

?
1 e
?5′

e

? x ? [?1,1] 时, f max ( x) ? e, f min ( x) ? 0
(2)命题等价于对任意 a ? 0 ,

x 2 ? e ax ? 2 x ? e ax ? ax 2 ? e ax ?

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 ax e 恒成立, a
?6′

x 2 ? ax ? a 2 ? 1 即 x ? 2 x ? ax ? 对任意 a ? 0 恒成立。 a
2 2

1 x2 ? 3x 1? 2 ? 2 ( a ? 0) , ? a ? ? x ? 1 ? x ? 3x , a ? ? 2 a x ?1 a? ?
又? a ? 0 ? a ?

?

?

?8′

1 1 ? 2 a? ? 2, a a

?9′

只需

x 2 ? 3x ? 2?10' ? x ? ?2 或 x ? ?1 。 x2 ? 1

综上: x 的取值范围为 x ? ?2 或 x ? ?1 。 ?12′ 22. (1)因为 ?EAC ? ?ABC ? ?ACB ? ?ABC ? ?BCF ? ?ACF ? ?ABC ? ?BCF ? ?ABF ? ?BCF ? ?FBC 又 ?EAC ? 2?FAB ? 2?BCF 所以 ?FCB ? ?FBC , 所以 FB ? FC ?3′ (2)因为 ? FBA ∽ ? FDB ,所以

FB FA ? FD FB
0

?6′
0 0

(3)因为 AB 为直径,所以 ?ACB ? 60 ,所以 ?ABC ? 30 , ?BAC ? 60 , 又 ?DAC ? 60 , ?ACD ? 90 ,所以 CD ? BC ? 6, AC ? 2 3 ,所以 AD ? 4 3 ?10′
0 0

23.试题分析: (1)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0 ,即 x2 ? ( y ? 5)2 ? 5 4 分
- 10 -

(2)将 l 的参数方程代入圆 c 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 2 2

t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0 ,由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,可设 t1t2 是上述方程的两个实根。
所以 ? 1

?t ? t 2 ? 3 2 ? ?t1 ? t2 ? 3 2 ? ,又直线 l 过点 P(3 ? ? ? ?t1t2 ? 4 ?t1t2 ? 4
10 分

,可得: 5)

PA ? PB ? t1 ? t2 ? t1 ? t2 ? 3 2
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(2)因为存在 x 使得 f ( x ) ? a ? 0 成立,所以 ? a ? f ( x )min ? ?

7 7 ,所以 a ? 2 2

?10′

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- 11 -

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