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2014届高考数学(理)一轮复习专题集训:平面向量基本定理及坐标表示

时间:2014-01-30


平面向量基本定理及坐标表示
(时间:35 分钟 分值:80 分) 基础热身 → → → 1.[2013· 广东卷] 若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=( ) A.(-2,-4) B.(2,4) C.(6,10) D.(-6,-10) 2.[2013· 哈尔滨模拟] 已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),则 AC 和 OB 交点 P 的坐标为

) A.(3,2) B.(3,3) C.(2,3) D.(1,3) 3 sinx, ?与 b=(cosx,-1)共线,则 tanx 的值为( 3.若向量 a=? ) 2? ? 3 3 2 3 A.- B. C.- D.- 2 2 3 4 4.已知向量 a=(1,2),b=(0,1),设 u=a+kb,v=2a-b,若 u∥v,则实数 k 的值为 ) 1 1 A.-1 B.- C. D.1 2 2

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能力提升 5. 已知向量 u=(x, y)与向量 v=(y, 2y-x)的对应关系用 v=f(u)表示, 则使 f(c)=(p, q)(p, q 为常数)的向量 c 的坐标为( ) A.(p,q) B.(1-p,q) C.(2p-q,p) D.(p-2q,q) → → 6. 在平面直角坐标系中, O 为原点, 设向量OA=a, OB=b, 其中 a=(3, 1), b=(1, 3). 若 → OC=λa+μb,且 0≤λ≤μ≤1,C 点的所有可能位置区域用阴影表示正确的是( )

图 K26-1 7.[2013· 江西师大附中、临川一中联考] 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b,c,且 m=( 3b-c,cosC),n=(a,cosA),m∥n,则 cosA 的值等于( ) 2 2 3 3 A. B.- C. D.- 2 2 3 3

图 K26-2 8.[2013· 郑州模拟] 如图 K26-2,△ABC 中,AD=DB,AE=EC,CD 与 BE 交于 F,设 → → → AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则(x,y)为( ) 1 1 2 2 ? ? ? A.? ?2,2? B.?3,3? 1 1? ?2 1? C.? ?3,3? D.?3,2? 9.已知向量 a 是以点 A(3,-1)为起点,且与向量 b=(-3,4)平行的单位向量,则向量

a 的终点坐标是________. → → → 10.设OA=(1,-2),OB=(a,-1),OC=(-b,0),a>0,b>0,O 为坐标原点,若 A, 1 2 B,C 三点共线,则 + 的最小值是________. a b 11.[2013· 石家庄模拟] P={a|a=(-1,1)+m(1,2),m∈R},Q={b|b=(1,-2)+n(2, 3),n∈R}是两个向量集合,则 P∩Q=________. → → → 12.(13 分)已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP=AB+λAC(λ∈R),试求 λ 为何值 时,点 P 在第一、三象限的角平分线上?点 P 在第三象限内?

难点突破 13.(12 分)已知向量 a=(1,2),b=(cosα ,sinα ),设 m=a+tb(t 为实数). π (1)若 α= ,求当|m|取最小值时实数 t 的值; 4 π (2)若 a⊥b,问:是否存在实数 t,使得向量 a-b 和向量 m 的夹角为 ,若存在,请求出 4 t;若不存在,请说明理由.

【基础热身】 → → → → [解析] ∵BC=BA-CA,∴BC=(2,3)-(4,7)=(-2,-4),所以选择 A. → → 2.B [解析] (1)方法一:设OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),则 → → → AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t). → AC=(2,6)-(4,0)=(-2,6), → → 由AP,AC共线的充要条件知(4t-4)×6-4t×(-2)=0. 3 解得 t= , 4 → ∴OP=(4t,4t)=(3,3), ∴P 点坐标为(3,3). → → 方法二:设 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4). → → ∵OP,OB共线,∴4x-4y=0.① → → 又CP=(x-2,y-6),CA=(2,-6), → → 且向量CP,CA共线, ∴-6 (x-2)+2(6-y)=0.② 解①②组成的方程组,得 x=3,y=3, ∴点 P 的坐标为(3,3). 3.A [解析] ∵向量 a 与向量 b 共线, 3 3 ∴ cosx+sinx=0,即 tanx=- . 2 2 4.B [解析] ∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又 u∥v, 1 ∴1×3=2(2+k),得 k=- ,故选 B. 2 【能力提升】 5.C [解析] 设 c=(x,y),则 f(c)=(y,2y-x)=(p,q), ?y=p, ?x=2p-q, ? ? ∴? 即? ?2y-x=q, ? ?y=p, ? ∴c=(2p-q,p). → 6.A [解析] OC=λa+μb=(3λ+μ,λ+3μ), → 令OC=(x,y),则 x-y=(3λ+μ)-(λ+3μ) =2(λ-μ)≤0, ∴点 C 对应区域在直线 y=x 的上方,故选 A. 7.C [解析] 由 m∥n 可知 acosC=( 3b-c)cosA, ∴ 3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB, 3 ∵sinB≠0,∴cosA= . 3 → → 8.C [解析] 设CF=λCD,∵E,D 分别为 AC,AB 的中点, 1 → → → ∴BE=BA+AE=-a+ b, 2 1 → → → ? BF=BC+CF=(b-a)+λ? ?2a-b? 1 ? =? ?2λ-1?a+(1-λ)b, 1.A

1 λ -1 2 1-λ 2 → → ∵BE与BF共线,∴ = ,∴λ= , 1 3 -1 2 2→ 2 1 → → → a-b? ∴AF=AC+CF=b+ CD=b+ ? ? 3 3? 2 1 1 1 1 = a+ b,故 x= ,y= . 3 3 3 3 12 1 18 9 ? ? ? 9.? ? 5 ,-5?或? 5 ,-5? [解析] 设向量 a 的终点坐标是(x,y),则 a=(x-3,y+1),由题意可知 4(x-3)+3(y+1) =0,(x-3)2+(y+1)2=1, 12 1 18 9 解得 x= ,y=- 或 x= ,y=- , 5 5 5 5 12 1 18 9 ? ? ? 故填? ? 5 ,-5?或? 5 ,-5?. → → 10.8 [解析] 据已知AB∥AC, → → 又∵AB=(a-1,1),AC=(-b-1,2), ∴2(a-1)-(-b-1)=0,∴2a+b=1, 1 2 2a+b 4a+2b b 4a b 4a b 4a 1 1 ∴ + = + =4+ + ≥4+2 · =8,当且仅当 = ,即 a= ,b= a b a b a b a b a b 4 2 时取等号, 1 2 ∴ + 的最小值是 8. a b 11.{(-13,-23)} [解析] 转化为向量相等列出方程组,求出 m,n 即可. P 中,a=(-1+m,1+2m),Q 中,b=(1+2n,-2+3n). ?-1+m=1+2n, ?m=-12, ? ? ∴? 解得? ?1+2m=-2+3n, ?n=-7. ? ? 此时,a=b=(-13,-23). 12.解:设点 P 的坐标为(x,y),则 → AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3). → → AB+λAC=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). → → → ∵AP=AB+λAC,∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ), ? ? ?x-2=3+5λ, ?x=5+5λ, ∴? 解得? ?y-3=1+7λ, ?y=4+7λ. ? ? ∴P 点的坐标为(5+5λ,4+7λ). (1)若点 P 在第一、三象限的角平分线上, 1 则 5+5λ=4+7λ,∴λ= . 2 ?λ <-1, ? ?5+5λ<0, ? (2)若点 P 在第三象限内,则? 即? ∴λ <-1, 4 ?4+7λ<0, ?λ<- . ? 7 ? 即 λ<-1 时,点 P 在第三象限内. 【难点突破】 π 3 2 2 2 13.解:(1)当 α= 时,b=? , ?,a· b= , 4 2 2? ?2 ∴|m|= (a+tb)2= 5+t2+2ta· b 2 3 2? 1 = t2+3 2t+5= ?t+ + , 2 ? 2 ?

3 2 2 ∴当 t=- 时,|m|取到最小值,最小值为 . 2 2 π (a-b)· (a+tb) (2)由条件得 cos = , 4 |a-b||a+tb| ∵|a-b|= (a-b)2= 6,|a+tb|= (a+tb)2= 5+t2, (a-b)· (a+tb)=5-t, 5-t 2 ∴ 2= 2 ,且 t<5, 6 5+t ∴t2+5t-5=0,∴存在 t= -5± 3 5 满足条件. 2


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