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正余弦定理 2


正弦定理和 余弦定理

正弦定理
a b c ? ? (1)正弦定理: sin A sin B sin C

? 2R

(其中R为该三角形外接圆的半径)

(2)常见变形公式: a

? 2 R sin A(角化边)
(边化角) (比例)

/>a : b : c ? sin A :sin B :sin C

a sin A ? 2R

余弦定理
2 2 2

a ? b ? c ? 2 bc cos A (1)余弦定理: 2 2 2 b ? c ? a ? 2ca cos B
c ? a ? b ? 2ab cos C
2 2 2

(2)常见变形公式:

b ?c ?a cos A ? 2bc
2 2

2

(边角互化,求角,判别角)

问题一:三角形中的边角运算 问题二:三角形的形状判断 问题三:三角形的面积求解

三角形的边角运算
1、在△ABC中,已知b=12,A=300,B=1200,
则 a=

4 3。
,B=600,c=1, D. 不确定

2、在△ABC中,b= 3

则此三角形有( A ) A. 一解 B. 两解 C. 无解

c? 3、在△ABC中,若a=3,b=4,
则这个三角形中最大角为

37,

1200 。

4、已知△ABC中,a=4,b=6,C=600,

则 c=

2 7



可归纳出—— 解斜三角形的类型:

求角时要注意用“大 边对大角” 进行取舍。 正弦 ①已知两角和任一边,求其他两边和一角,用 定理

②已知两边和一边的对角,求第三边和其他两角,用 正弦 定理。 ③已知三边求三角,用 余弦 定理。

④已知两边和它的夹角,求第三边和其他两个角,用 余弦 定理。 要数形结合,画图分析边角关系,合理使用公式。

三角形的形状判断

(1)在△ABC中,a=5,b=6,c=8,

△ABC的形状是(
A.锐角三角形
2 2 2

C



B. 直角三角形

C. 钝角三角形 D. 都有可能

a ? b ? c 25 ? 36 ? 64 1 cos C ? ? ?? ?0 2ab 2? 5? 6 20

三角形的面积求解

S ?ABC

1 ? ? 底?高 2

1 1 1 S ?ABC ? ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2

S?ABC

1 ? (a ? b ? c)r (r是该三角形内切圆半径) 2
0

在?ABC中,A ? 120 , AB ? 5, BC ? 7, 15 3 求?ABC的面积。 4

1、在△ABC中,已知sinA:sinB:sinC 0 = 5: 7: 8 , 则 B = 60

2、在?ABC中,AB ? 3, AC ? 1, ?B ? 30 ,
0

求此三角形的面积
0

2 5 3、已知?ABC中,B ? 45 , AC ? 10,cos C ? . 5 (1)求该三角形面积; 3 (2)记AB中点为D,求中线CD的长.
3

3 3 或 4 2

4、在?ABC中,若lg sin A ? lg cos B
等腰三角形 ? lg sin C ? lg 2, 判定其形状。

5、在?ABC中,若a ? 7, b ? 8, 1 13 cosC ? , 求最大角的余弦值 7 14 6、在?ABC中,若a ? 7, b ? 3, c ? 8,

求其面积 6 3 3 7、在?ABC中,若cos(A ? C ) ? cos B ? , 2 0 2 b ? ac, 求B 60

小结

熟记:正、余弦定理及其变形,三角

形面积公式,合理采用公式(求边、 外接圆半径、角、面积等) 活用:灵活运用定理,实现边角 转化(判别三角形形状等)

注重:数形结合与转化思想

作业:P24 第1题


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