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选修2-2 第二章 推理与证明(A)


选修 2-2 第二章 推理与证明(A)
一、选择题 1、数列{an}中,若 a1=2,an=
1 A.-1 B. C.1 D.2 2 1 1 (n≥2,n∈N*),则 a2 011 的值为( 1-an-1 )

2、下列说法中正确的是(

)

A.合情推理就是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理 C

.归纳推理是从一般到特殊的推理过程 D.类比推理是从特殊到特殊的推理过程

3、下面几种推理是合情推理的是(

)

①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是 180° 归纳出所有三角形的内角和都是 180° ; ③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形内角和是 180° ,四边形内角和是 360° ,五边形内角和是 540° ,由此得凸多边形内角和是(n -2)· 180° . A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④

4、观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满
足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于( A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) )

5、有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误 的,是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误

6、用反证法证明命题: “一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①∠A+∠B+∠C=90° +90° +∠C>180° ,这与三角形内角和为 180° 相矛盾,∠A=∠B=90° 不成立; ②所以一个三角形中不能有两个直角; ③假设∠A、∠B、∠C 中有两个角是直角,不妨设∠A=∠B=90° . 正确顺序的序号排列为( ) A.①②③ B.②③① C.③①② D.③②①

7、类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列一些性质,你 认为比较恰当的是( ) ①各棱长相等,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等;

②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等; ③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任两条棱的夹角都相等. A.① B.①② C.①②③ D.③

8、用数学归纳法证明等式 1+2+3+?+(n+3)=
左边应取的项是( ) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4

?n+3??n+4? (n∈N*),验证 n=1 时, 2

9、若函数 f(x)=x2-2x+m (x∈R)有两个零点,并且不等式 f(1-x)≥-1 恒成立,则实
数 m 的取值范围为( ) A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1]

10、求证: 1+ 5<2 3.
证明:因为 1+ 5和 2 3都是正数, 所以为了证明 1+ 5<2 3, 只需证明( 1+ 5)2<(2 3)2, 展开得 6+2 5<12,即 5<3, 只需证明 5<9.因为 5<9 成立. 所以不等式 1+ 5<2 3成立. 上述证明过程应用了( ) A.综合法 B.分析法 C.反证法 D.间接证法

11、若 a,b,c 均为实数,则下面四个结论均是正确的:
①ab=ba;②(ab)c=a(bc); ③若 ab=bc,b≠0,则 a-c=0; ④若 ab=0,则 a=0 或 b=0. 对向量 a,b,c,用类比的思想可得到以下四个结论: ①a· b=b· a;②(a· b)c=a(b· c);③若 a· b=b· c,b≠0,则 a=c; ④若 a· b=0,则 a=0 或 b=0. 其中结论正确的有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

12、用反证法证明命题“如果 a>b,那么 a> b”时,假设的内容应是(
3 3 A. a= b 3 3 3 3 C. a= b,且 a< b 3 3 B. a< b 3 3 3 3 D. a= b或 a< b

3

3

)

二、填空题 13、已知 x>0,由不等式 x+x≥2,x+x2=2+2+x2≥3,?,启发我们可以得到推广结
m 论:x+ n≥n+1 (n∈N*),则 m=________. x 1 4 x x 4

14、已知数列{an},a1=2,an+1=
想 an=______.

1

3an ,则 a2,a3,a4,a5 分别为______________,猜 an+3

15、在平面上,若两个正三角形的边长比为 1∶2,则它们的面积比为 1∶4.类似地,在 空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为______.

16、观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,?,根据上述规律,
第五个等式为________.

三、解答题 17、 设 f(x)=x2+ax+b,
1 求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2

18、已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an· bn+1,bn+1=

bn (n∈N*)且点 P1 的坐标为 1-4a2 n

(1,-1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N*,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上.

19、 在 Rt△ABC 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:AD2=AB2+AC2,那么在四
面体 A-BCD 中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想,并说明理由.

1

1

1

20、已知 a>0,求证:

1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

21、 已知正数数列{an}的前 n 项和 Sn=2(an+a ),
n

1

1

(1)求 a1,a2,a3; (2)归纳猜想 an 的表达式,并用数学归纳法证明你的结论.

22、 用反证法证明:已知 a 与 b 均为有理数,且 a与 b都是无理数, 证明: a+ b是无理数.

以下是答案 一、选择题
1 1 ,∴a2= =2, 1 1-an-1 1- 2 1 1 1 a3= =-1,a4= = . 1-2 1-?-1? 2

1、B [∵a1=2,an=

1

∴an+3=an,即周期为 3. 1 ∴a2 011=a670×3+1=a1= .] 2

2、D 3、C [①是类比,②④是归纳推理.] 4、D [由观察知,若 f(x)为偶函数,则 g(x)为奇函数.] 5、C 6、C 7、C [因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的二面所成的二面角(或
共顶点的两棱夹角)类比,所以①②③都恰当.]

8、D [n=1 时,n+3=4,∴左边=1+2+3+4.]

9、B [∵f(x)=x2-2x+m 有两个零点,
∴Δ=4-4m>0,∴m<1, 又 f(1-x)=(1-x)2-2(1-x)+m=x2+m-1≥m-1.而 f(1-x)≥-1 恒成立, ∴m-1≥-1,∴m≥0,∴0≤m<1.]

10、B [本题中的证明执果索因,是分析法.] 11、B [①正确,其余错误.] 12、D 二、填空题 13、nn 14、7,8,3,10 15、1∶8
解析 ∵两个正三角形是相似的三角形,∴它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是 两个相似几何体,体积之比为相似比的立方, ∴它们的体积比为 1∶8. 3 3 1 3 3 n+5

16、13+23+33+43+53+63=212.
解析 由前三个式子可以得出如下规律:每个式子等号的左边是从 1 开始的连续正整数 的立方和,且个数依次多 1,等号的右边是一个正整数的平方,后一个正整数依次比前 一个大 3,4,?,因此,第五个等式为 13+23+33+43+53+63=212.

三、解答题 17、证明 假设|f(1)|<2,|f(2)|<2,|f(3)|<2,
1 1 于是有- <1+a+b< ,① 2 2 1 1 - <4+2a+b< ,② 2 2 1 1 - <9+3a+b< .③ 2 2 ①+③,得-1<10+4a+2b<1, 所以-3<8+4a+2b<-1, 3 1 所以- <4+2a+b<- . 2 2 1 1 由②知- <4+2a+b< ,矛盾, 2 2 1 所以假设不成立,即|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于 . 2 1 1 1

18、(1)解 由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1.

b1 1 1 ∴b2= b2= . 2=3,a2=a1· 3 1-4a1 1 1? ∴点 P2 的坐标为? ?3,3?. ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)证明 ①当 n=1 时,2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. ②假设 n=k (k∈N*,k≥1)时,2ak+bk=1 成立. 则 2ak+1+bk+1=2akbk+1+bk+1 = 1-2ak bk bk = =1. 2(2ak+1)= 1-4ak 1-2ak 1-2ak

∴n=k+1 时,命题也成立. 由①②知,对 n∈N*,都有 2an+bn=1,即点 Pn 在直线 l 上.

19、

① 解
2

如图①所示,由射影定理知

AD =BD· DC, AB2=BD· BC, AC2=BC· DC, 1 1 ∴ 2= AD BD· DC BC2 BC2 = = 2 . BD· BC· DC· BC AB · AC2 又 BC2=AB2+AC2, AB2+AC2 1 1 1 ∴ 2= = + . AD AB2· AC2 AB2 AC2 1 1 1 所以 2= 2+ 2. AD AB AC 类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想: 四面体 A-BCD 中,AB、AC、AD 两两垂直, 1 1 1 1 AE⊥平面 BCD,则 2= 2+ 2+ 2. AE AB AC AD

② 如图②,连接 BE 交 CD 于 F, 连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,

∴AB⊥平面 ACD. 而 AF?平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2. AE AB AF 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2. AF AC AD 1 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2+ 2,故猜想正确. AE AB AC AD 1 1 a2+ 2- 2≥a+ -2 a a 1 1 只须证 a2+ 2+2≥a+ + 2,∵a>0, a a 1 1 ?2 故只要证( a2+ 2+2)2≥? ?a+a+ 2? . a 1 1 即 a2+ 2+4 a2+ 2+4 a a 1? 1 2 ≥a +2+ 2+2 2? ?a+a?+2. a 1? 1 从而只要证 2 a2+ 2≥ 2? ?a+a?. a 1? ? 2 1 2 ? 只要证 4? ?a +a2?≥2?a +a2+2? 1 即 a2+ 2≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立. a

20、证明 要证

21、解 (1)a1=1,a2= 2-1,a3= 3- 2.
(2)猜想 an= n- n-1. 证明:①当 n=1 时,由 a1= 1=1 得结论成立; ②假设 n=k(k∈N*)时结论成立, 即 ak= k- k-1. 当 n=k+1 时, 1 1 1 1 ak+1=Sk+1-Sk= (ak+1+ )- (ak+ ) 2 ak ak+1 2 1 1 1 = (ak+1+ )- ( k- 2 ak+1 2 又由 ak+1>0, -2 k+ 4k+4 解得 ak+1= = 2 这说明当 n=k+1 时结论成立. 由①②可知,an= n- n-1对任意正整数 n 都成立. k+1- k, k-1+ 1 k- k-1 ),

从而有 a2 k+1+2 kak+1-1=0,

22、证明 假设 a+ b为有理数,
则( a+ b)( a- b)=a-b,

由 a>0,b>0,得 a+ b>0. ∴ a- b= a-b a+ b

∵a、b 为有理数且 a+ b为有理数. ∴ a-b a+ b ,即 a- b为有理数.

∴( a+ b)+( a- b),即 2 a为有理数. 从而 a也就为有理数,这与已知 a为无理数矛盾, ∴ a+ b一定为无理数.


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