nbhkdz.com冰点文库

2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(教师版)新人教版


2013 年高考数学一轮复习精品教学案 14.4 不等式选讲 (新课标人教 版,教师版)

【考纲解读】 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: ① a?b ? a ? b . ② a?b ? a?c ? c?b . 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:
ax ? b ? c ; ax ? b ? c

; x ? a ? x ? b ? c .

3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1 .不等式选讲是历年来高考重点内容之一,在选择题、填空题与解答题中均有可能出现,难 度不大,又经常与其它知识结合,在考查基础知识的同时,考查转化与化归等数学思想,以 及分析问题、解决问 题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持在选择题、填空题中考查,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1. 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|>a(a>0)?f(x)>a 或 f(x)<-a; (2)|f(x)|<a(a>0)?-a<f(x)<a; (3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c 的不等式,可利用绝对值不等式的几何 意义求解. 2.含有绝对值的不等式的性质 |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 3.基本不等式 定理 1:设 a,b∈R,则 a +b ≥2ab.当且仅当 a=b 时,等号成立. 定理 2:如果 a、b 为正数,则
2 2

a+b
2

≥ ab,当且仅当 a=b 时,等号成立. 3 ≥ abc,当且仅当 a=b=c 时,等号成立.

定理 3:如果 a、b、c 为正数,则

a+b+c
3

定理 4:(一般形式的算术-几何平均值不等式)如果 a1 、 a2 、…、 an 为 n 个正数,则

a1+a2+…+an n ≥ a1a2…an,当且仅当 a1=a2=…=an 时,等号成立. n
1

4.柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式: a, c, 为实数, 设 b, d 则(a2+b2)· 2 (c +d2)≥(ac+bd)2,当且仅当 ad=bc 时等号成立. (2)若 ai,bi(i∈N*)为实数,则( ?a2)( ?b2)≥( ?aibi)2,当且仅当 i i
i=1 i=1 i=1 n n n

bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,…, n)时,等号成立. (3)柯西不等式的向量形式:设 α,β 为平面上的两个向量,则 |α|· |β|≥|α·β|,当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.

5.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. 【例题精析】 考点一 含绝对值不等式的解法 例 1. (2012 年高考江西卷理科 15)在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6 的解集为 ___________.

【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法以及转化与划归、分类讨论的数学思想. 不等式的求解除了用分类讨论法外,还可以利用绝对值的几何意义——数轴来求解;后者 有时用起来会事半功倍.体现考纲中要求会用绝对值的几何意义求解常见的绝对值不等式. 来年需要注意绝对值不等式公式 a ? b ? a ? b , a ? b ? a ? c ? c ? b 的转化应用. 【变式训练】
2

1. (2 012 年高考湖南卷理科 10)不等式| 2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.

考点二

不等式的证明与柯西不等式
1 3 , 2 x ? y |? | 1 6 ,求证: y |? | 5 18

例 2. 2012 年高考江苏卷 21) ( 已知实数 x, 满足: x ? y |? y |



【解析】证明:∵ 3 | y | =| 3 y | = | 2 ? x ? y ? ? ? 2 x ? y ? |? 2 x ? y ? 2 x ? y , 由题设 | x ? y |?
1 3 , 2 x ? y |? | 1 6 ,∴ 3 | y |< 1 3 ? 1 6 = 5 6

,∴ | y |?

5 18

.

【名师点睛】本小题主要考查不等式的证明,属于中档题,难度适中.切实注意绝对值不 等式的性质与其灵活运用. 【变式训练】 2.
2 2

(2012
2

年 高 考 湖
2 2 2

北 卷 理 科

6) 设
?(

a,b,c,x,y,z )

是 正 数 , 且

a +b +c =1 0,x +y +z =40,ax+by+cz=20,则
1 4 1 3 1 2 3 4

a?b?c x? y?z

A.

B.

C.

D,

【易错专区】 问题:综合应用 例. (2012 年高考辽宁卷理 科 24)已知 f ( x ) ?| ax ? 1 | ( a ? R ) ,不等式 f ( x )? 3 的解集为
3

{ x | ? 2剎 x? 1 }.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若 | f ( x ) ? 2 f ( ) | ? k 恒成立,求 k 的取值范围.
2 x

【名师点睛】本小题主要考查了分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用,考 查分类讨论思想在解题中的灵活运用,第( Ⅰ)问,要真对 a 的取值情况进行讨论,第(Ⅱ) 问要真对 f ( x ) ? 2 f ( ) 的正负进行讨论从而用分段函数表示,进而求出 k 的取值范围。本
2 x

题属于中档题,难度 适中.平时复习中,要切实注意绝对值不等式的性质与其灵活运用。 【课时作业】 1.(2011 年高考山东卷理科 4)不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集为( (A)[-5.7] (C) ( ?? , ? 5] ? [7, ?? ) (B)[-4,6] (D) ( ?? , ? 4] ? [6, ?? ) )

2. (2010 年高考陕西卷理科 15)不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? 3 的解集为 __________ __ . 【答案】 ?x x ? 1? 【解析】 (方法一)当 x ? ? 3 时,∵原不 等式即为 ? ? x ? 3 ? ? ? x ? 2 ? ? 3 ? ? 5 ? 3 ,这显

4

的图象,如图所示,并作直线 y ? 3 与之交于点 A . 又令 2 x ? 1 ? 3 ,则 x ? 1 ,即点 A 的横坐标为 1 . 故结合图形知,不等式的解集为 ?x x ? 1? .

3.(2011 年高考辽宁卷 24)(本小题满分 10 分)已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (I)证明:-3≤f(x )≤3; (II)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
x?2 ? ? 3, ? 【解析】 (I) f ? x ? ? | x ? 2 | ? | x ? 5 |? ? 2 x ? 7, 2 ? x ? 5 ? 3, x?5 ?
2

当 2 ? x ? 5 时, ? 3 ? 2 x ? 7 ? 3 ,所以 ? 3 ? f ? x ? ? 3 . (II)由(I)知,

5

当 x ? 2 时, f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5 时, f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集为 x | 5 ?
2

?

3? x?5 ;

?

当 x ? 5 时, f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集为 ? x | 5 ? x ? 6? ;
2

综上,不等式 f ? x ? ? x ? 8 x ? 15 的解集是 x | 5 ?
2

?

3? x?6 .

?

4. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)(本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等选讲 设函数 f ( x ) ? x ? a ? 3 x , a ? 0 (1)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x ) ? 3 x ? 2 的解集;(2)如果 不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 ?x x ? ? 1? ,求 a 的值。

5.(2011 年高考江苏卷 21)(本小题满分 10 分)解不等式: x ? | 2 x ? 1 |? 3 【解析】原不等式等价于: x ? 3 ? 2 x ? 1 ? 3 ? x ,? ? 2 ? x ?
4 4 ,解集为 ( ? 2, ) . 3 3

6.(2011 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)设不等式 2 x - 1 <1 的解集为 M. (I)求集合 M; (II)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小. 【解析】 (I)由 | 2 x ? 1 |? 1得 ? 1 ? 2 x ? 1 ? 1, 解 得 0 ? x ? 1. 所以 M ? { x | 0 ? x ? 1}. (II)由(I)和 a , b ? M 可 知 0<a<1,0<b<1 ,

6

所以 ( ab ? 1) ? ( a ? b ) ? ( a ? 1)( b ? 1) ? 0. 故 ab ? 1 ? a ? b. 7. (2010 年高考福建卷理科 21) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) ? | x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 ? x | ? 1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x ) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围。

8. (2010 年高考江苏卷试题 21) (本小题满分 10 分) 设 a、b 是非负实数,求证: a ? b ?
3 3

ab ( a ? b ) 。
2 2

?( a ?

b )[( a ) ? ( b ) ]
5 5

7

【考题回放】 1. (2012 年高考陕西卷文科 15)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1 |? 3 成立,则实数 a 的取值 范围是

2



(2011

















13)

已 ,





合 合

1 ? ? A ? ? x ? R | x ? 3 ? x ? 4 ? 9 ? , B ? ? x ? R | x ? 4 t ? ? 6, t ? (0, ? ? ) ? t ? ?

则 集

A ? B =________

3. (2011 年高考江西卷理科 15)对于实数 x, y ,若 x ? 1 ? 1, y ? 2 ? 1, 则 x ? 2 y ? 1 的最 大值为

4. (2011 年高考广东卷理科 9)不等式 x ? 1 ? x ? 3 ? 0 的解集是______. 【解析】{ x | x ? 1} 。由题得 | x ? 1 |? | x ? 3 | ? ( x ? 1) ? ( x ? 3 )
2 2

?x ?1

所以不等式

的解集为 { x | x ? 1} 。 5. (2011 年高考陕西卷理科 15)若关于 x 的不等式 a ? x ? 1 ? x ? 2 存在实数解, 则实数 a

8

的取值范围是

6.(2012 年高考新课标全国卷 24)(本小题满分 10 分)
f( ? x) ? x ? a2 ? x









(1)当 a ? ? 3 时,求不等式 f ( x ) ? 3 的解集; (2)若 f ( x ) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。

7. (2012 年高考福建卷理科 21)(本小题满分 7 分)已知函数 f ( x ) ? m ? | x ? 2 |, m ? R , 且 f ( x ? 2 ) ? 0 的解集为 [? 1,1] 。 (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a , b , c ? R ,且
1 a ? 1 2b ? 1 3c ? m ,求证: a ? 2 b ? 3c ? 9 。

9

? ( a.

1 a

?

2b .

1 2b

?

3c .

1 3c

) ?9
2

.

10


2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 14.4 不等式选讲 (新课标人...

2013高考数学一轮复习 14.4 不等式选讲精品教学案(学生版)新人教版

2013高考数学一轮复习精品教学案 14.4 不等式选讲 (新课标人教 版,学生版)【考纲解读】 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下...

2013高考数学一轮复习 14.1 几何证明选讲精品教学案(学生版)新人教版

2013高考数学一轮复习精品教学案 14.1 几何证明选讲 (新课标人 教版,学生版)【考纲解读】 1.理解相似三角形的判定和性质定理的应用及直角三角形的射影定理...

2013高考数学一轮复习 14.3 坐标系与参数方程精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 14.3 坐标系与参数方程精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 14.3 坐标系与参数方程...

2013高考数学一轮复习 13.1 算法与程序框图精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 13.1 算法与程序框图精品教学案(教师版)新人教版 隐藏>...4 2 ? 16, Q ? 15, n ? 3 ,此时 P ? Q 不满足,输出 n ? 3 ,...

2013高考数学一轮复习 2.8 函数与方程精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 2.8 函数与方程精品教学案(教师版)新人教版 隐藏>> 2013...(2010 年高考天津卷文科 4) 函数 f x) e ? x ? 2的零点所在的一个区间...

2013高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 3.1 导数的概念及运算精品教学案(教师版)新人教版 隐藏>> 2013 年高考数学一轮复习精品教学案 3.1 导数的概念及运算(新课 标人教版,教师...

2013高考数学一轮复习 2.7 幂函数精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 2.7 幂函数精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育_教育专区。2013 年高考数学一轮复习精品教学案 2.7 幂函数(新课标人教版, 教师版)...

2013高考数学一轮复习 14.2 矩阵变换精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 14.2 矩阵变换精品教学案(教师版)新人教版 隐藏>> 2013...? 4 6 ? ? 【名师点睛】 本小题主要考查矩阵的解法与矩阵变换, 掌握本...

2013高考数学一轮复习 12.1 随机抽样精品教学案(教师版)新人教版

2013高考数学一轮复习 12.1 随机抽样精品教学案(教师版)新人教版_数学_高中教育...4 ? 160 . 7 4 4.(2010 年高考安徽卷文科 14)某地有居民 100 000 户,...