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广东省揭阳一中等2014届高三上学期开学摸底联考数学理试题


2013—2014 学年度高三摸底考联考

数学(理)试题
本试卷共 4 页,三大题,满分 150 分。考试时间为 120 分钟。 注意事项: 1、答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。 2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。 3、答案一律写在答题区域内,不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效。

r />第 I 卷(本卷共计 70 分)
一、选择题:(本大题共 8 个小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只
有一项是符合题目要求的.) 1. 已知集合 A ? ??1,1? ,B ? ? x | ax ? 2 ? 0? , B ? A ,则实数 a 的所有可能取值的集合为 若 ( A. )

??2?

B.

?2?
n

C.

??2, 2?

D.

??2, 0, 2?


2. 设 z 是复数, a ( z ) 表示满足 z ? 1 的最小正整数 n ,则对虚数单位, a (i ) ? ( A. 8 D. 2 3.如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形, 且体积为 B. 6 C. 4

1 ,则该几何体的俯视图可以是 2

4.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 表示焦点在y轴上的椭圆”的(
2 2


开始 k=0,S=1

A. 充分而不必要条件 C. 既不充分也不必要条件

B. 必要而不充分条件 D. 充要条件

?1 3 ? 5.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 ? , ,则 log 9 f (3) 的值为 ?3 3 ? ? ? ?
( )

k=k+1 S=S× 2
k

1 A. 4

1 B. ? 4

C.2

D.-2
k<3




输出 S 结束

6.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

) )

A.2 B.4 C.8 D.16 7.已知函数 y ? sin x ? cos x ,则下列结论正确的是( A. 此函数的图象关于直线 x ? ? 对称 4 B. 此函数在区间 (?

? ? 上是增函数 , )
4 4

C. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ? 8.若不等式

t t?2 ? a ? 2 在 t∈(0,2]上恒成立,则 a 的取值范围是( t ?9 t
2

)

1 A.?6,1? ? ?

2 B.?13,1? ? ?

1 4 C.?6,13? ? ?

1 D.?6,2 2? ? ?

二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.本大题分为必做题和选做题两部分.) (一)必做题:(第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答.)
9.函数 y ? x 2 ? 1 ?

1 的定义域是______________. lg(4 ? x)

?x ? y ? 5≥ 0 ? 10.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 0 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最小值是_________. ?y ≤0 ?

11. 若 ? x ? 2 ? 展开式中所有二项式系数之和为 16,则展开式常数项为 ? ? x? ? 12.若双曲线

n

.

y2 x2 - 2 =1 的渐近线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 相切,则此双曲线的离心率为 a2 b



13. 已知正项等比数列 ?an ? 满足:a7 ? a6 ? 2a5 , 若存在两项 am , an 使得 am an ? 4a1 , 则 最小值为

1 4 ? 的 m n

(二) 选做题: 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的得分.) (第
14. (几何证明选讲选做题)已知 AB 是圆 O 的一条弦,点 P 为 AB 上一点, C
P B

PC ? OP ,PC 交 圆 O 于 点 C , 若 AP ? 6 , PB ? 3 , 则 PC 的 长
为 .

A O

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,已知两点 A、B 的极坐标分别为 第 14 题 ? 2, ? ? , ? ? ? 3?

? ? ? ,则△ABC(其中 O 为极点)的面积为 ? 4, ? ? 6?

.

第 II 卷(本卷共计 80 分)
三、解答题:(本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
16.(本题满分 12 分)已知向量 a ? ? A sin x , A cos x ? , b ? ? cos ? ,sin ? ? ,函数 f ( x) ? a ? b ? ? ? ? 3 3? 6 6? ? ? ( A ? 0, x ? R ),且 f (2? ) ? 2 . (1)求函数 y ? f ( x) 的表达式;

? 16 (2)设 ? , ? ? [0, ] , f (3? ? ? ) ? , f ? 3? ? 5? ? ? ? 20 ;求 cos(? ? ? ) 的值 ? ? 2 5 2 ? 13 ? 17.(本题满分 12 分)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在
该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算 前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率.(注:将频率视为概率) ... 18.(本题满分 14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中 垂足 O 落在线段 AD 上,已知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ)证明:AP⊥BC;
A O B D C P

点,PO⊥平面 ABC,

(Ⅱ) 在线段 AP 上是否存在点 M, 使得二面角 A-MC-B 为直二面角?若 的长;若不存在,请说明理由.

存在, 求出 AM

19.(本题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 1 ? an (n ? N * ) 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)设 b ? n

bnbn ?1 1 , cn ? , 记 Tn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn , 证明:Tn<1. log 1 an n ?1 ? n
2

20.(本题满分 14 分)已知圆 C 的圆心为 C (m, 0), m ? 3 ,半径为 5 ,圆 C 与椭圆 E :
x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 有一个公共点 A (3,1), F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. a2 b2

(1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和 直线 PF1 的方程;若不能,请说明理由.

21.(本题满分14分)已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ? (1)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值;

x3 ? x 2 ? 2ax(a ? R) . 3

(2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?
3 1 1? x? b 时,方程 f (1 ? x) ? ? ? 有实根,求实数 b 的最大值。 2 3 x

2013—2014 学年度高三摸底考联考

数学科答题卷
登分栏: 第三题 第一题 第二题 第 16 题 第 17 题 第 18 题 第 19 题 第 20 题 第 21 题 总分

一、选择题:(8 小题,共 40 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题:(共 6 小题,共 30 分)

9、 12、

; ;

10、 13、

; ;

11、 ( ) .

三、解答题: (注意:必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在各题指定区域内相应位置.) 16、(本题满分 12 分)

17、(本题满分 12 分)

18、(本题满分 14 分)

P

A O B D

C

19、(本题满分 14 分)

20、(本题满分 14 分)

21、(本题满分 14 分)

2013 — 2014 学年 度高 三摸 底考 联考

数 学 科 参 考 答 案
一、 选择 题:

题号 答案 二、填空题:

1 D

2 C

3 C

4 D

5 A

6 C

7 B

8 B

9. ? ??, ?1? ? ?1,3? ? ? 3, 4 ? ;

10. ?15 ;

11.24;

12.2; 三、解答题:

13.

3 ; 2

14. 3 2 ;

15.2

16.解:(1)依题意得 f ( x) ? A sin x cos ? ? A cos x sin ? ? A sin ? x ? ? ? ??2 分 ? ? 3 6 3 6 ?3 6?

5? 2? ? ? 又 f (2? ) ? 2 得 A sin ? ? 2 ,∴ A ? 4 ??3 分 ? ? ? 2 ,即 A sin ? 6 ? 3 6?
∴ f ( x) ? 4sin ? ?

x ?? ? ? ????4 分 3 6? ?
16 得 4sin ? 1 (3? ? ? ) ? ? ? ? 16 ,即 4sin ? ? ? ? ? ? 16 ??5 分 ? ? ?3 5 6? 5 2? 5 ? ? ?

(2)由 f (3? ? ? ) ? ∴ cos ? ?

4 ,??6 分 5

又∵ ? ? [0,

?

2

] ,∴ sin ? ?

3 ,??7 分 5

由 f ? 3? ? 5? ? 2 ? ∴ sin ? ?

5 20 5? ? ? 20 ? ?1 ? ? ? 得 4sin ? (3? ? ) ? ? ? ? ,即 sin( ? ? ? ) ? ? 13 ??8 分 13 3 2 6? 13 ? ?

5 ,??9 分 13

12 ??10 分 2 13 4 12 3 5 33 ??12 分 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
又∵ ? ? [0,

?

] ,∴ cos ? ?

17. 解:(1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. ??2 分 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的 100 位顾客一次购物的结算时 间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得
p ( X ? 1) ? 15 3 30 3 25 1 ? , p ( X ? 1.5) ? ? , p( X ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4

p ( X ? 2.5) ?
X

20 1 10 1 ? , p ( X ? 3) ? ? . ??????????????4 分 100 5 100 10
X

的分布为 X 1 3 20 1.5 3 10 2 1 4 2.5

P

1 5

3 1 10

X 的数学期望为 E ( X ) ? 1? 3 ? 1.5 ? 3 ? 2 ? 1 ? 2.5 ? 1 ? 3 ? 1 ? 1.9 . ????6 分 20 10 4 5 10 (Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”, X i (i ? 1, 2) 为该顾客前面第位顾 客的结算时间,则

P( A) ? P( X 1 ? 1且X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1且X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5且X 2 ? 1) . ??8 分

由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以

P( A) ? P( X 1 ? 1) ? P(X 2 ? 1) ? P( X 1 ? 1) ? P( X 2 ? 1.5) ? P( X 1 ? 1.5) ? P( X 2 ? 1)
? 3 3 3 3 3 3 9 . ??????11 分 ? ? ? ? ? ? 20 20 20 10 10 20 80

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 .??????12 分 80 18. 方法一: (Ⅰ)证明:如图, 以 O 为原点,以射线 OP 为 z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz.则 O(0,0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4)???1 分

??? ? ??? ? AP ? (0,3, 4), BC ? (?8, 0, 0), ????2 分
由此可得 AP ? BC ? 0 所以 AP ⊥ BC ,即 AP⊥BC.????4 分 (Ⅱ)解:设 PM ? ? PA, ? ? 1, 则PM ? ? (0, ?3, ?4), ??5 分

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

???? ?

??? ?

???? ?

???? ??? ???? ??? ? ? ? ? ??? ? BM ? BP ? PM ? BP ? ? PA ? (?4, ?2, 4) ? ? (0, ?3, ?4)
? (?4, ?2 ? 3? , 4 ? 4? ), ??6 分
M

z P

???? ??? ? AC ? (?4,5, 0), BC ? (?8, 0, 0). ????7 分
设平面 BMC 的法向量 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ), 平面 APC 的法向量

A x O B D y

C

??

?? ? n2 ? ( x2 , y2 , z2 ), ????8 分
???? ?? ? ? BM ? n1 ? 0, ??4 x1 ? (2 ? 3? ) y1 ? (4 ? 4? ) z1 ? 0, ? x1 ? 0, ? ? 由 ? ??? ?? 得? 即? ? 2 ? 3? ? BC ? n1 ? 0, ??8 x1 ? 0, ? z1 ? 4 ? 4? y1 , ? ?
可取 n ? (0,1,

?

2 ? 3? ), ????10 分 4 ? 4?

5 ? ??? ?? ? ? ? AP ? n2 ? 0, ?3 y2 ? 4 z2 ? 0, ? x2 ? 4 y2 , ? ? 由 ? ???? ?? 即? 得? ? AC ? n1 ? 0, ??4 x2 ? 5 y2 ? 0, ? z ? ? 3 y , ? 2 ? 2 ? 4
可取 n2 ? (5, 4, ?3), ????12 分

?? ?

由 n1 ? n2 ? 0 ,得 4 ? 3 ? 解得 ? ?

?? ?? ?

2 ? 3? ? 0, 4 ? 4?

2 ,????13 分 5

综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.????14 分 方法二: (Ⅰ)证明:由 AB=AC,D 是 BC 的中点,得 AD⊥BC,????1 分 又 PO⊥平面 ABC,得 PO⊥BC.????2 分 因为 PO∩AD=0,所以 BC⊥平面 PAD????3 分 故 BC⊥PA.????4 分 (Ⅱ)解:如下图,在平面 PAB 内作 BM⊥PA 于 M,连 CM. ????5 分 由(Ⅰ)中知 AP⊥BC,得 AP⊥平面 BMC. ????6 分 又 AP ? 平面 APC,所以平面 BMC⊥平面 APC。????7 分 在 Rt△ADB 中,AB2=AD2+BD2=41,得 AB= 41 ????8 分 在 Rt△POD 中, PB2=PO2+OD2, 在 Rt△PDB 中, PB2=PD2+BD2,
A M P

C O B D

所以 PB =PO +OD +BD =36,得 PB=6.????9 分 在 Rt△POA 中, PA2=AO2+OP2=25,得 PA=5????10 分 又 cos ?BPA ?

2

2

2

2

PA ? PB ? AB 1 ? , ????11 分 2 PA ? PB 3
2 2 2

从而 PM ? PB cos ?BPA ? 2, 所以 AM ? PA ? PM ? 3 ????13 分 综上所述,存在点 M 符合题意,AM=3.????14 分 19. 解(1)当 n ? 1时 时,由 S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ?

1 ,??????2 分 2

当 n ? 2 时,? S n ? 1 ? an , ??????????①

? S n ?1 ? 1 ? an ?1 , ????????????②
1 an ?1. ??????4 分 2 1 1 所以数列 ?an ? 是以首项为 ,公比为 的等比数列,??????5 分 2 2 1 求得 an ? n n ? N * . ????????7 分 2
上面两式相减,得 an ?

?

?

(2) bn ?

1 ? log 1 an
2

1 ? . ????????????????????9 分 n ?1? log 1 ? ? 2 2? ?
n

1

cn ?

n ?1 ? n 1 1 ? ? ???????? ?????????11 分 n?n ? 1? n n ?1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? Tn ? c1 ? c2 ? ??? ? cn ? ?1 ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? ??? 2? ? 2 3? ? 3 4? n ?1 ? ? ? n

? 1?

1 <1.?????14 分 n ?1

20. 解:(1)由已知可设圆 C 的方程为 ( x ? m) 2 ? y 2 ? 5(m ? 3) .???????1 分 将点 A 的坐标代入圆 C 的方程,得 (3 ? m) ? 1 ? 5 ,
2

即 (3 ? m) ? 4 ,解得 m ? 1,或m ? 5 .???????????????3 分
2

∵ m ? 3 ,∴ m ? 1 ,∴圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 5 .???????5 分
2 2

(2)依题意,可得直线 PF1 的方程为 y ? k ( x ? 4) ? 4 ,即 kx ? y ? 4k ? 4 ? 0 .?6 分 若直线 PF1 与圆 C 相切,则

k ? 0 ? 4k ? 4 k 2 ?1

? 5 ????????????7 分

∴ 4k 2 ? 24k ? 11 ? 0 ,解得 k ? 当k ?

11 1 ,或k ? ??????????????8 分 2 2.

11 36 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ,不合题意,舍去;????9 分 2 11 1 当 k ? 时,直线 PF1 与 x 轴的交点横坐标为 ? 4 ,??????10 分 2
∴ c ? 4,F1 (?4,0),F2 (4,0) ,????11 分

∴由椭圆的定义得 2a ? AF1 ? AF2 ?

(3 ? 4) 2 ? 12 ? (3 ? 4) 2 ? 12 ? 5 2 ? 2 ? 6 2



∴ a ? 3 2 ,即 a 2 ? 18 , ∴ b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 ,????????????13 分
2 2 直线 PF1 能与圆 C 相切,直线 PF1 的方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 ,椭圆 E 的方程为 x ? y ? 1 .???14 18 2

分 21. 解:(1) f '( x) ?

x ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ? 2a ? .??1分 2 ? x ? 2 x ? 2a ? ? 2ax ? 1 2ax ? 1

因为 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,所以 f '(2) ? 0 .?????????????2分 即

2a ? 2a ? 0 ,解得 a ? 0 .???????????3分 4a ? 1

又当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ,从而 x ? 2 为 f ( x) 的极值点成立.????4分 (2)因为 f ( x) 在区间 ?3, ?? ? 上为增函数, 所以 f '( x) ?

x ? 2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2) ? ? ? 2ax ? 1

? 0 在区间 ?3, ?? ? 上恒成立.??5分

①当 a ? 0 时, f '( x) ? x( x ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立, 所以 f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数, a ? 0 故 符合题意.????????????????6分 ②当 a ? 0 时,由函数 f ( x) 的定义域可知,必须有 2ax ? 1 ? 0 对 x ? 3 恒成立,故只能 a ? 0 , 所以 2ax ? (1 ? 4a ) x ? (4a ? 2) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立.
2 2

??????7分

令 g ( x) ? 2ax ? (1 ? 4a ) x ? (4a ? 2) ,其对称轴为 x ? 1 ?
2 2

1 , ???8分 4a

因为 a ? 0 所以 1 ?
2

1 ? 1 ,从而 g ( x) ? 0 在 ?3, ?? ? 上恒成立,只要 g (3) ? 0 即可, 4a

因为 g (3) ? ?4a ? 6a ? 1 ? 0 ,

解得

3 ? 13 3 ? 13 .????????????9分 ?a? 4 4
3 ? 13 . 4

因为 a ? 0 ,所以 0 ? a ?

综上所述, a 的取值范围为 ? 0,

? 3 ? 13 ? ? .?????????10分 4 ? ?
3

?1 ? x ? ? b 可化为 ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? b . 1 (3)若 a ? ? 时,方程 f (1 ? x) ? 3 x 2 x
问题转化为 b ? x ln x ? x(1 ? x ) ? x (1 ? x ) ? x ln x ? x ? x 在 ? 0, ?? ? 上有解,
2 2 3

即求函数 g ( x) ? x ln x ? x ? x 的值域.??????????11分
2 3

因为 g ( x) ? x(ln x ? x ? x ) ,令 h( x) ? ln x ? x ? x ,
2 2

则 h '( x) ?

1 (2 x ? 1)(1 ? x) ,??????????12分 ?1? 2x ? x x

所以当 0 ? x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ? 0,1? 上为增函数, 当 x ? 1 时 h '( x) ? 0 ,从而 h( x) 在 ?1, ?? ? 上为减函数,?????13分 因此 h( x) ? h(1) ? 0 . 而 x ? 0 ,故 b ? x ? h( x ) ? 0 , 因此当 x ? 1 时, b 取得最大值0.?????????????14分


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